Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Cho $P(B)=0{,}3$, $P(A\mid B)=0{,}6$ và $P(A\mid\overline B)=0{,}2$. Tính $P(A)$ và $P(B\mid A)$.

Một trường có hai cơ sở: $70\%$ học sinh học ở cơ sở 1, $30\%$ ở cơ sở 2. Tỉ lệ học sinh đi xe đạp đến trường ở hai cơ sở lần lượt là $20\%$ và $50\%$. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường. Tính xác suất học sinh đó đi xe đạp. Nếu học sinh đó đi xe đạp, xác suất bạn ấy học ở cơ sở 2 là bao nhiêu?

Hộp I có $4$ bi đỏ, $6$ bi xanh; hộp II có $7$ bi đỏ, $3$ bi xanh. Gieo một con xúc xắc: nếu được mặt $1$ hoặc $2$ chấm thì chọn hộp I, ngược lại chọn hộp II; rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đã chọn. Tính xác suất lấy được bi đỏ và xác suất bi đỏ đó từ hộp I.

Hộp thứ nhất có $3$ bi trắng, $2$ bi đen; hộp thứ hai có $2$ bi trắng, $2$ bi đen. Lấy ngẫu nhiên một viên từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, rồi lấy ngẫu nhiên một viên từ hộp thứ hai. Tính xác suất viên lấy ra sau cùng là bi trắng.

Xác suất trời mưa vào một buổi sáng là $0{,}25$. Nếu trời mưa, xe buýt đến trễ với xác suất $0{,}6$; nếu không mưa, xe đến trễ với xác suất $0{,}2$. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Xác suất xe buýt đến trễ là $0{,}3$.

b) Xác suất xe đến trễ khi trời không mưa là $0{,}8$.

c) Biết xe đến trễ, xác suất trời mưa là $0{,}5$.

d) Biết xe không đến trễ, xác suất trời mưa nhỏ hơn $0{,}25$.

Ba nhà máy cung cấp linh kiện cho một hãng điện thoại theo tỉ lệ $40\%$, $35\%$, $25\%$, với tỉ lệ lỗi lần lượt $2\%$, $3\%$, $4\%$. Một linh kiện được chọn ngẫu nhiên và bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó của nhà máy thứ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong hộp thư của một công ty, $30\%$ thư là thư rác. Cụm từ "trúng thưởng" xuất hiện trong $40\%$ thư rác nhưng chỉ trong $2\%$ thư thường. Một thư mới có cụm từ "trúng thưởng". Tính xác suất đó là thư rác, ghi dưới dạng phần trăm làm tròn đến hàng phần mười.

Máy A làm $300$ sản phẩm, trong đó $9$ sản phẩm lỗi; máy B làm $200$ sản phẩm, trong đó $10$ sản phẩm lỗi. Trộn tất cả lại và lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất sản phẩm bị lỗi bằng hai cách: đếm trực tiếp và dùng công thức xác suất toàn phần. Nếu sản phẩm bị lỗi, xác suất nó do máy B làm là bao nhiêu?

Hộp I có $4$ bi đỏ và $2$ bi trắng; hộp II có $2$ bi đỏ và $4$ bi trắng. Chọn ngẫu nhiên một hộp (mỗi hộp có xác suất $\dfrac12$), rồi lấy ngẫu nhiên đồng thời $2$ viên bi từ hộp đó. Tính xác suất được $2$ bi đỏ. Nếu được $2$ bi đỏ, xác suất đã chọn hộp I là bao nhiêu?