LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 5.3

Công thức tính góc trong không gian

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Tính góc giữa hai đường thẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2|}{|\vec{u}_1||\vec{u}_2|}$ .
Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$ .
Tính góc giữa hai mặt phẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$ .
Đặt hình lập phương, hình chóp vào hệ $Oxyz$ để tính góc.

Ghi nhớ

Hai đường thẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2|}{|\vec{u}_1||\vec{u}_2|}$ .
Đường thẳng và mặt phẳng: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$ (sin, vì góc với pháp tuyến bằng $90^\circ-\varphi$ ).
Hai mặt phẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$ .
Mọi góc trên đều thuộc đoạn $[0^\circ; 90^\circ]$ , nhờ dấu giá trị tuyệt đối.
Mặt đất, mặt đáy: $(Oxy)$ với $\vec{k}=(0; 0; 1)$ .
Hình lập phương, hình chóp: chọn gốc ở một đỉnh hoặc tâm đáy để nhiều toạ độ bằng $0$ .

Bài tập

Bài 1

Tính góc giữa $d_1: x=1+t$ , $y=2t$ , $z=-t$ và $d_2: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z+3}{1}$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Bài 2

Tính góc giữa đường thẳng $d: x=1+t$ , $y=t$ , $z=2$ và mặt phẳng $(P): x+z-5=0$ .

Bài 3

Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): 2x-y+z-1=0$ và $(Q): x+y+2z+3=0$ .

Bài 4

Tính góc giữa đường thẳng $\Delta: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{-2}=\dfrac{z}{1}$ và mặt phẳng $(Oxy)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Bài 5

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$ , đặt $A(0; 0; 0)$ , $B(1; 0; 0)$ , $D(0; 1; 0)$ , $A'(0; 0; 1)$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $B'D'$ bằng $90^\circ$ .

b) Góc giữa đường thẳng $A'C$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $45^\circ$ .

c) Góc $\varphi$ giữa mặt phẳng $(A'BD)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ thoả mãn $\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt3}$ .

d) Góc giữa hai đường thẳng $AC'$ và $BD$ bằng $60^\circ$ .

Bài 6

Một đường dốc cho xe lăn là mặt phẳng nghiêng: cứ đi $12$ m theo phương ngang thì lên cao $1$ m. Đặt mặt dốc là $(P): x-12z=0$ (đơn vị: mét). Tính góc giữa mặt dốc và mặt đất (đơn vị: độ, làm tròn đến hàng phần mười).

Bài 7

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật, $AB=3$ , $AD=4$ , $SA$ vuông góc với đáy và $SA=5$ . Tính góc giữa $SC$ và mặt đáy, góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Bài 8

(Ôn lại Phương trình mặt phẳng.) Mặt phẳng đi qua $A(2; 0; 0)$ , $B(0; 1; 0)$ , $C(0; 0; 2)$ tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng phần mười)?

Bài 9

(Ôn lại Phương trình đường thẳng trong không gian.) Cho $A(1; 2; -1)$ , $B(3; -1; 1)$ và $(P): x-2y+2z+3=0$ . Tính góc giữa đường thẳng $AB$ và $(P)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Bài 10 Thử thách

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$ . Tính góc giữa đường chéo $BD'$ và mặt phẳng $(A'BD)$ (làm tròn đến hàng phần mười của độ).

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Góc giữa hai đường thẳng có vectơ chỉ phương

\vec{u}_1=(1; 0; 1)

và

\vec{u}_2=(0; -1; -1)

bằng

60^\circ

.B.

120^\circ

.C.

30^\circ

.D.

45^\circ

Câu 2. Góc giữa đường thẳng có vectơ chỉ phương

\vec{u}=(1; 1; 0)

và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến

\vec{n}=(0; 1; 1)

bằng

60^\circ

.B.

45^\circ

.C.

30^\circ

.D.

90^\circ

Câu 3. Gọi

\varphi

là góc giữa mặt phẳng

(P): x-2y+2z=0

và mặt phẳng

(Oxy)

. Khi đó

\sin\varphi=\dfrac23

.B.

\cos\varphi=\dfrac23

.C.

\cos\varphi=\dfrac29

.D.

\cos\varphi=-\dfrac23

Câu 4. Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D'

. Góc giữa hai đường thẳng

A'C'

và

B'C

bằng

45^\circ

.B.

90^\circ

.C.

60^\circ

.D.

120^\circ

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho mặt phẳng

(P): 2x+y-2z+1=0

và đường thẳng

d: x=1+t

y=-2t

z=3

a) Góc giữa $d$ và $(P)$ bằng $0^\circ$ .	Đ / S
b) $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): x+z-4=0$ .	Đ / S
c) Góc giữa $(P)$ và $(Oxy)$ khoảng $41{,}8^\circ$ .	Đ / S
d) $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng

(P): x+2y+2z-1=0

và

(Q): 2x+y-z+5=0

, theo độ (làm tròn đến hàng phần mười).

Câu 2. Một drone quay phim ở

D(0; 0; 40)

hướng camera về mục tiêu

T(30; 40; 0)

trên mặt đất (đơn vị: mét). Tính góc giữa đường ngắm

DT

và mặt đất, theo độ (làm tròn đến hàng phần mười).

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{u}_1\cdot\vec{u}_2|}{|\vec{u}_1||\vec{u}_2|}$ .

Gợi ý các bước:

Đọc $\vec{u}_1=(1; 2; -1)$ , $\vec{u}_2=(2; -1; 1)$ .
Tính tích vô hướng và hai độ dài.

Bài 2.

Kiến thức: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$ .

Gợi ý các bước:

$\vec{u}=(1; 1; 0)$ , $\vec{n}=(1; 0; 1)$ .
Tính $\sin\varphi$ .

Bài 3.

Kiến thức: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1||\vec{n}_2|}$ .

Gợi ý các bước:

$\vec{n}_1=(2; -1; 1)$ , $\vec{n}_2=(1; 1; 2)$ .
Tính côsin.

Bài 4.

Kiến thức: $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec{k}=(0; 0; 1)$ .

Gợi ý các bước:

$\vec{u}=(2; -2; 1)$ , $|\vec{u}|=3$ .
Tính $\sin\varphi$ .

Bài 5.

Kiến thức: ba công thức góc; $(A'BD): x+y+z-1=0$ (phương trình theo đoạn chắn).

Gợi ý các bước:

Viết toạ độ các vectơ $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{B'D'}$ , $\overrightarrow{A'C}$ , $\overrightarrow{AC'}$ , $\overrightarrow{BD}$ .
Áp dụng đúng công thức cho từng loại góc.

Bài 6.

Kiến thức: góc giữa hai mặt phẳng; mặt đất là $(Oxy)$ .

Gợi ý các bước:

$\vec{n}_P=(1; 0; -12)$ , $\vec{k}=(0; 0; 1)$ .
Tính côsin rồi góc.

Bài 7.

Kiến thức: đặt $A$ ở gốc; $(ABCD)$ là $(Oxy)$ , $(SAB)$ là $(Ozx): y=0$ .

Gợi ý các bước:

$B(3; 0; 0)$ , $D(0; 4; 0)$ , $S(0; 0; 5)$ , $C(3; 4; 0)$ .
$\overrightarrow{SC}=(3; 4; -5)$ ; dùng $\sin\varphi$ với $(0; 0; 1)$ và $(0; 1; 0)$ .

Bài 8.

Kiến thức: phương trình theo đoạn chắn; góc giữa hai mặt phẳng.

Gợi ý các bước:

$(ABC): \dfrac{x}{2}+y+\dfrac{z}{2}=1\iff x+2y+z-2=0$ .
Dùng $\vec{n}=(1; 2; 1)$ và $\vec{k}=(0; 0; 1)$ .

Bài 9.

Kiến thức: đường thẳng $AB$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$ ; $\sin\varphi=\dfrac{|\vec{u}\cdot\vec{n}|}{|\vec{u}||\vec{n}|}$ .

Gợi ý các bước:

$\overrightarrow{AB}=(2; -3; 2)$ .
Tính $\sin\varphi$ với $\vec{n}=(1; -2; 2)$ .

Bài 10.

Kiến thức: đặt hệ trục như bài 5; $(A'BD): x+y+z-1=0$ .

Gợi ý các bước:

$B(1; 0; 0)$ , $D'(0; 1; 1)$ , nên $\overrightarrow{BD'}=(-1; 1; 1)$ .
Tính $\sin\varphi$ với $\vec{n}=(1; 1; 1)$ .

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐