LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 5.2

Phương trình đường thẳng trong không gian

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng khi biết một điểm và vectơ chỉ phương, hoặc biết hai điểm.
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng: song song, trùng nhau, cắt nhau, chéo nhau.
Xét vị trí của đường thẳng và mặt phẳng; tìm giao điểm.
Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm trên mặt phẳng và trên đường thẳng.

Ghi nhớ

Đường thẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ , vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)$ : $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ .
Khi $abc\neq0$ : $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ .
Qua hai điểm $A$ , $B$ : $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ . Vuông góc với $(P)$ : $\vec{u}=\vec{n}_P$ .
Hai đường thẳng: $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ cùng phương thì song song hoặc trùng nhau; không cùng phương thì giải hệ theo $t$ , $s$ : có nghiệm là cắt nhau, vô nghiệm là chéo nhau.
Đường thẳng và mặt phẳng: thay vào được phương trình theo $t$ ; một nghiệm là cắt, vô nghiệm là song song, mọi $t$ là nằm trong.
Hình chiếu trên $(P)$ : giao của $(P)$ với đường thẳng qua $M$ có vectơ chỉ phương $\vec{n}$ . Hình chiếu trên $d$ : $H\in d$ , $\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0$ .

Bài tập

Bài 1

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(2; -1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1; 4; -2)$ . Tìm điểm ứng với $t=-1$ và kiểm tra xem $B(4; 7; -1)$ có thuộc đường thẳng không.

Bài 2

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A(1; 0; -2)$ và $B(3; 2; -1)$ .

Bài 3

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(1; -1; 2)$ và vuông góc với $(P): 2x-y+3z+5=0$ . Tìm giao điểm của $d$ và $(P)$ .

Bài 4

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua $M(0; 1; -1)$ và song song với $\Delta: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{3}$ .

Bài 5

Cho $d_1: \begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=3+t\end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x-3}{-4}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-4}{-2}$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\vec{u}_1=(2; -1; 1)$ là một vectơ chỉ phương của $d_1$ .

b) Điểm $M(3; -1; 4)$ thuộc $d_1$ .

c) $d_1$ song song với $d_2$ .

d) $d_1$ vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x-y+z=0$ .

Bài 6

Một máy bay cất cánh từ điểm $O(0; 0; 0)$ và bay thẳng, mỗi giây dịch chuyển theo vectơ $\vec{v}=(80; 60; 10)$ (đơn vị: mét). Khi máy bay đạt độ cao $1500$ m, hình chiếu của nó trên mặt đất cách $O$ bao nhiêu kilômét?

Bài 7

Cho $d: x=2+t$ , $y=1-t$ , $z=3+2t$ . Xét vị trí của $d$ với $(P_1): x+y-1=0$ , $(P_2): x+3y+z-8=0$ , $(P_3): x-y+z-6=0$ .

Bài 8

Xét vị trí của hai đường thẳng $d_1: x=1+t$ , $y=1-t$ , $z=2t$ và $d_2: x=1+2s$ , $y=-2+s$ , $z=5-s$ . Nếu chúng cắt nhau, tìm giao điểm.

Bài 9

(Ôn lại Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.) Ở bài trước, ta chứng minh $A(1; 2; -1)$ , $B(3; 1; 1)$ , $C(7; -1; 5)$ thẳng hàng bằng vectơ cùng phương. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$ và chỉ ra giá trị $t$ ứng với điểm $C$ .

Bài 10 Thử thách

Một tia laze xuất phát từ $A(1; 2; 3)$ , phản xạ trên một tấm gương phẳng nằm trong mặt phẳng $(P): x+2y+2z-2=0$ rồi tới $B(3; 2; 2)$ . Tìm điểm phản xạ $M$ trên gương. (Gợi ý: đường đi $A\to M\to B$ ngắn nhất khi $M$ nằm trên đoạn $A'B$ , với $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$ .)

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, một vectơ chỉ phương của đường thẳng

d: \begin{cases}x=1-2t\\ y=3\\ z=-1+t\end{cases}

là

(1; 3; -1)

.B.

(-2; 3; 1)

.C.

(-2; 0; 1)

.D.

(2; 0; 1)

Câu 2. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng

\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z-3}{3}

(-1; 2; -3)

.B.

(2; -1; 3)

.C.

(3; -1; 6)

.D.

(1; -2; 3)

Câu 3. Đường thẳng đi qua

A(1; 0; 2)

và vuông góc với

(P): 2x-y+z-3=0

có phương trình là

x=1+2t

y=-t

z=2+t

.B.

x=2+t

y=-1

z=1+2t

.C.

x=1+2t

y=t

z=2+t

.D.

x=1+2t

y=-t

z=2-3t

Câu 4. Cho

d_1: x=1+t

y=2t

z=3-t

và

d_2: x=s

y=1+s

z=2s

. Vị trí của

d_1

và

d_2

là

A. song song.B. cắt nhau.C. chéo nhau.D. trùng nhau.

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho đường thẳng

d: x=1+t

y=2-t

z=-1+2t

và mặt phẳng

(P): x+y+z-4=0

a) $\vec{u}=(1; -1; 2)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ .	Đ / S
b) $d$ song song với $(P)$ .	Đ / S
c) $d$ cắt $(P)$ tại điểm $(2; 1; 1)$ .	Đ / S
d) $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): x-y+2z+7=0$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Đường thẳng

d: x=2+t

y=-1+2t

z=3-t

cắt mặt phẳng

(P): x+y+z-10=0

tại điểm

M(a; b; c)

. Tính

a+b+c

Câu 2. Tính khoảng cách từ

M(2; 3; 1)

đến đường thẳng

d: x=1+2t

y=-1+t

z=1+2t

(làm tròn đến hàng phần trăm).

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ .

Gợi ý các bước:

Viết phương trình tham số.
Thay $t=-1$ .
Tìm $t$ từ hoành độ của $B$ rồi kiểm tra hai toạ độ còn lại.

Bài 2.

Kiến thức: $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}$ .
Viết hai dạng phương trình với điểm $A$ .

Bài 3.

Kiến thức: $d\perp(P)$ thì $\vec{u}_d=\vec{n}_P$ ; giao điểm: thay phương trình tham số vào $(P)$ .

Gợi ý các bước:

Viết $d$ với $\vec{u}=(2; -1; 3)$ .
Thay vào $(P)$ , giải $t$ .

Bài 4.

Kiến thức: hai đường thẳng song song có chung vectơ chỉ phương; đọc $\vec{u}$ ở các mẫu số.

Gợi ý các bước:

Đọc $\vec{u}=(2; -1; 3)$ .
Viết phương trình qua $M$ .

Bài 5.

Kiến thức: hai vectơ chỉ phương cùng phương thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau; kiểm tra thêm một điểm.

Gợi ý các bước:

Đọc $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ .
Thay $M$ vào $d_1$ (tìm $t$ ).
So sánh $\vec{u}_1$ với $\vec{n}_P$ .

Bài 6.

Kiến thức: vị trí sau $t$ giây là $(80t; 60t; 10t)$ .

Gợi ý các bước:

Giải $10t=1500$ .
Hình chiếu trên mặt đất là $(80t; 60t; 0)$ ; tính khoảng cách tới $O$ .

Bài 7.

Kiến thức: thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng.

Gợi ý các bước:

Thay vào từng mặt phẳng và rút gọn theo $t$ .
Đọc số nghiệm.

Bài 8.

Kiến thức: vectơ chỉ phương không cùng phương thì giải hệ theo $t$ , $s$ .

Gợi ý các bước:

So sánh $(1; -1; 2)$ và $(2; 1; -1)$ .
Giải hai phương trình đầu, rồi thử phương trình thứ ba.

Bài 9.

Kiến thức: $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ ; $C$ thuộc $AB$ khi có một $t$ chung cho cả ba toạ độ.

Gợi ý các bước:

$\overrightarrow{AB}=(2; -1; 2)$ .
Giải $1+2t=7$ và kiểm tra.

Bài 10.

Kiến thức: hình chiếu $H$ của $A$ trên $(P)$ ; $H$ là trung điểm của $AA'$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $H$ , rồi $A'=2H-A$ (theo toạ độ).
Viết đường thẳng $A'B$ và tìm giao điểm với $(P)$ .

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐