Phương trình đường thẳng trong không gian

Một chiếc drone cất cánh từ điểm $M_0(1; 2; 0)$ trên sân trường (đơn vị: mét). Nó bay thẳng, mỗi giây dịch chuyển theo vectơ $\vec{u}=(2; 1; 2)$ . Trên cao có một vòng kiểm tra đặt tại $N(9; 6; 8)$ . Drone có bay qua vòng kiểm tra không, và nếu có thì sau bao nhiêu giây?

Giống như trong mặt phẳng, một đường thẳng trong không gian được xác định bởi một điểm và một hướng. Chỉ khác là bây giờ có ba toạ độ.

Phương trình tham số của đường thẳng

Khám phá: vị trí của drone

Sau $t$ giây, drone ở điểm $M$ với $\overrightarrow{M_0M}=t\vec{u}$ . Ta ghi vài vị trí:

$t$ (giây)	$0$	$1$	$2$	$3$
vị trí	$(1; 2; 0)$	$(3; 3; 2)$	$(5; 4; 4)$	$(7; 5; 6)$

Vị trí sau $t$ giây là $(1+2t; 2+t; 2t)$ . Để tới $N(9; 6; 8)$ cần $1+2t=9$ , $2+t=6$ , $2t=8$ . Cả ba đều cho $t=4$ , nên drone qua vòng kiểm tra sau $4$ giây. Quãng đường đã bay là $4|\vec{u}|=4\cdot3=12$ m.

Đường thẳng qua

M_0

có vectơ chỉ phương

\vec{u}

Định nghĩa Vectơ chỉ phương, phương trình tham số

Vectơ $\vec{u}\neq\vec{0}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $\Delta$ . Mọi vectơ $k\vec{u}$ ( $k\neq0$ ) cũng là vectơ chỉ phương.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)$ có phương trình tham số $\begin{cases}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{cases}\quad(t\in\mathbb{R}).$
Nếu $a$ , $b$ , $c$ đều khác $0$ , khử $t$ ta được phương trình chính tắc $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}.$

Vì sao đúng? Điểm $M(x; y; z)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{M_0M}$ cùng phương với $\vec{u}$ , tức có số $t$ để $\overrightarrow{M_0M}=t\vec{u}$ . Viết theo từng toạ độ: $x-x_0=at$ , $y-y_0=bt$ , $z-z_0=ct$ . Khi $abc\neq0$ , cả ba phân số đều bằng $t$ .

Ví dụ Từ một điểm và vectơ chỉ phương

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua $M(1; -2; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(2; 0; -1)$ . Viết phương trình tham số của $\Delta$ , tìm điểm ứng với $t=2$ và xét xem $A(-3; -2; 5)$ có thuộc $\Delta$ không.

Lời giải. Thay điểm và vectơ chỉ phương vào công thức:

$\Delta: \begin{cases}x=1+2t\\ y=-2\\ z=3-t.\end{cases}$

Với $t=2$ ta được điểm $(5; -2; 1)$ . Với $A$ , từ $1+2t=-3$ ta có $t=-2$ ; khi đó $z=3+2=5$ và $y=-2$ đều khớp.

Vậy $A$ thuộc $\Delta$ (ứng với $t=-2$ ). Đường thẳng này không có phương trình chính tắc, vì toạ độ thứ hai của $\vec{u}$ bằng $0$ .

Khi biết hai điểm, ta lấy vectơ nối chúng làm vectơ chỉ phương. Khi đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chính là vectơ chỉ phương.

Ví dụ Qua hai điểm; vuông góc với một mặt phẳng

a) Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng $AB$ với $A(1; 2; -1)$ , $B(3; -1; 1)$ .

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $M(2; 0; -1)$ và vuông góc với $(P): x-2y+2z+3=0$ .

Lời giải. a) Lấy $\vec{u}=\overrightarrow{AB}=(2; -3; 2)$ và điểm $A$ :

$AB: \begin{cases}x=1+2t\\ y=2-3t\\ z=-1+2t\end{cases}\qquad\text{và}\qquad \frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{2}.$

b) $d\perp(P)$ nên $d$ nhận $\vec{n}_P=(1; -2; 2)$ làm vectơ chỉ phương:

$d: \begin{cases}x=2+t\\ y=-2t\\ z=-1+2t.\end{cases}$

Vậy ta có các phương trình như trên.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian, hai đường thẳng có bốn khả năng. Khác với mặt phẳng, hai đường thẳng không cắt nhau và không song song vẫn có thể tồn tại: đó là hai đường thẳng chéo nhau.

Ví dụ Cắt nhau hay chéo nhau

Cho $d_1: \begin{cases}x=1+t\\ y=2t\\ z=2-t\end{cases}$ , $d_2: \begin{cases}x=1+s\\ y=3-s\\ z=-1+2s\end{cases}$ và $d_3: \begin{cases}x=1+s\\ y=3-s\\ z=2s.\end{cases}$ Xét vị trí của $d_1$ với $d_2$ và của $d_1$ với $d_3$ .

Lời giải. Vectơ chỉ phương $\vec{u}_1=(1; 2; -1)$ và $(1; -1; 2)$ không cùng phương (toạ độ đầu bằng nhau nhưng toạ độ thứ hai khác). Ta dùng hai tham số khác nhau $t$ , $s$ và giải hệ. Với $d_1$ , $d_2$ :

$\begin{cases}1+t=1+s\\ 2t=3-s\\ 2-t=-1+2s\end{cases}\iff\begin{cases}t=s\\ 3t=3\\ 3=3s\end{cases}\iff t=s=1.$

Hệ có nghiệm, nên $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm ứng với $t=1$ , tức $(2; 2; 1)$ .

Với $d_1$ , $d_3$ : hai phương trình đầu vẫn cho $t=s=1$ , nhưng phương trình thứ ba cần $2-1=2\cdot1$ , tức $1=2$ , vô lí.

Vậy $d_1$ cắt $d_2$ tại $(2; 2; 1)$ , còn $d_1$ và $d_3$ chéo nhau.

Đường thẳng và mặt phẳng

Để xét đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ , ta thay phương trình tham số của $d$ vào phương trình của $(P)$ và được một phương trình bậc nhất theo $t$ .

Ví dụ Một đường thẳng và ba mặt phẳng

Cho $d: \begin{cases}x=1+2t\\ y=-1+t\\ z=2-t.\end{cases}$ Xét vị trí của $d$ với $(P): x+y+z-6=0$ , $(Q): x-y+z-4=0$ và $(R): x-y+z+1=0$ .

Lời giải. Thay $d$ vào từng phương trình rồi rút gọn:

$\begin{aligned} (P)&: (1+2t)+(-1+t)+(2-t)-6=2t-4=0\iff t=2;\\ (Q)&: (1+2t)-(-1+t)+(2-t)-4=0\ \text{với mọi}\ t;\\ (R)&: (1+2t)-(-1+t)+(2-t)+1=5=0\ \text{(vô lí)}. \end{aligned}$

Vậy $d$ cắt $(P)$ tại điểm ứng với $t=2$ , tức $(5; 1; 0)$ ; $d$ nằm trong $(Q)$ ; $d\parallel(R)$ .

Hình chiếu vuông góc của một điểm

Hình chiếu $H$ của điểm $M$ trên mặt phẳng $(P)$ là giao điểm của $(P)$ với đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ . Hình chiếu $H$ của $M$ trên đường thẳng $d$ là điểm $H\in d$ sao cho $\overrightarrow{MH}\perp\vec{u}$ .

Hình chiếu

H

của

M

trên mặt phẳng

(P)

Ví dụ Điểm trên sườn đồi gần drone nhất

Sườn đồi là mặt phẳng $(P): x+2y+2z-5=0$ (đơn vị: mét), drone ở $M(4; 5; 9)$ . Tìm điểm $H$ trên sườn đồi gần drone nhất và khoảng cách $MH$ .

Lời giải. Điểm gần nhất là hình chiếu của $M$ trên $(P)$ . Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $(P)$ có vectơ chỉ phương $\vec{n}=(1; 2; 2)$ : $x=4+t$ , $y=5+2t$ , $z=9+2t$ . Thay vào $(P)$ :

$(4+t)+2(5+2t)+2(9+2t)-5=27+9t=0\iff t=-3.$

Khi đó $H(1; -1; 3)$ và $\overrightarrow{HM}=(3; 6; 6)$ , nên $MH=\sqrt{9+36+36}=9$ .

Vậy điểm gần drone nhất là $H(1; -1; 3)$ , cách drone $9$ m.

Kiểm tra. Công thức khoảng cách: $\dfrac{|4+10+18-5|}{3}=9$ .

Ví dụ cuối nhiều bước hơn, nên ta làm theo bốn bước.

Ví dụ Đoạn dây ngắn nhất tới một ống nước

Một ống nước thẳng nằm dọc đường thẳng $d: x=1+t$ , $y=-1+2t$ , $z=2t$ (đơn vị: mét). Từ móc $M(0; 0; 4)$ cần kéo một sợi dây ngắn nhất tới ống. Tìm điểm buộc dây $H$ trên ống và độ dài sợi dây.

Lời giải.

Hiểu đề. Sợi dây ngắn nhất là đoạn vuông góc từ $M$ tới $d$ , nên $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ .

Tìm cách giải. Viết $H$ theo $t$ , rồi dùng điều kiện $\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0$ với $\vec{u}=(1; 2; 2)$ .

Giải. $H(1+t; -1+2t; 2t)$ nên $\overrightarrow{MH}=(1+t; -1+2t; 2t-4)$ . Khi đó:

$\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=(1+t)+2(-1+2t)+2(2t-4)=9t-9=0\iff t=1.$

Vậy $H(2; 1; 2)$ , $\overrightarrow{MH}=(2; 1; -2)$ và $MH=\sqrt{4+1+4}=3$ . Sợi dây dài $3$ m.

Nhìn lại. Chỉ cần một điều kiện vuông góc là tìm được $t$ . Độ dài $MH$ chính là khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Dùng chung một tham số cho hai đường thẳng. Sai: giải $d_1$ , $d_2$ bằng hệ $1+t=1+t$ , $2t=3-t$ , ... Vì sao sai: mỗi đường thẳng có tham số riêng; một giao điểm có thể ứng với $t$ và $s$ khác nhau. Đúng: dùng $t$ cho $d_1$ , $s$ cho $d_2$ .
Kết luận "song song" chỉ vì không cắt nhau. Sai: $d_1$ , $d_3$ không có điểm chung nên song song. Vì sao sai: trong không gian còn trường hợp chéo nhau. Đúng: song song cần thêm $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ cùng phương.
Viết phương trình chính tắc khi có toạ độ bằng $0$ . Sai: $\Delta$ ở Ví dụ 1 viết thành $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+2}{0}=\dfrac{z-3}{-1}$ . Vì sao sai: không chia được cho $0$ . Đúng: dùng phương trình tham số.
Dùng vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương cho đường thẳng song song với mặt phẳng. Sai: đường thẳng song song với $(P)$ nhận $\vec{n}_P$ làm vectơ chỉ phương. Vì sao sai: $\vec{n}_P$ vuông góc với $(P)$ . Đúng: $\vec{n}_P$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với $(P)$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đường thẳng	line
vectơ chỉ phương	direction vector
phương trình tham số	parametric equations
tham số	parameter
phương trình chính tắc	Cartesian (symmetric) equations
hai đường thẳng cắt nhau	intersecting lines
hai đường thẳng chéo nhau	skew lines
giao điểm	point of intersection
hình chiếu vuông góc	orthogonal projection

Tóm tắt

Đường thẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ , vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)$ : $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ .
Khi $abc\neq0$ : $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ .
Qua hai điểm $A$ , $B$ : $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ . Vuông góc với $(P)$ : $\vec{u}=\vec{n}_P$ .
Hai đường thẳng: $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ cùng phương thì song song hoặc trùng nhau; không cùng phương thì giải hệ theo $t$ , $s$ : có nghiệm là cắt nhau, vô nghiệm là chéo nhau.
Đường thẳng và mặt phẳng: thay vào được phương trình theo $t$ ; một nghiệm là cắt, vô nghiệm là song song, mọi $t$ là nằm trong.
Hình chiếu trên $(P)$ : giao của $(P)$ với đường thẳng qua $M$ có vectơ chỉ phương $\vec{n}$ . Hình chiếu trên $d$ : $H\in d$ , $\overrightarrow{MH}\cdot\vec{u}=0$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua $A(2; -1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1; 4; -2)$ . Tìm điểm ứng với $t=-1$ và kiểm tra xem $B(4; 7; -1)$ có thuộc đường thẳng không.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ .

Gợi ý các bước:

Viết phương trình tham số.
Thay $t=-1$ .
Tìm $t$ từ hoành độ của $B$ rồi kiểm tra hai toạ độ còn lại.

Xem lời giải

$x=2+t$ , $y=-1+4t$ , $z=3-2t$ . Với $t=-1$ : $(1; -5; 5)$ . Với $B$ : $2+t=4$ cho $t=2$ , khi đó $y=7$ , $z=-1$ , khớp.

Đáp số. $(1; -5; 5)$ ; $B$ thuộc đường thẳng (ứng với $t=2$ ).

Bài 2

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua $A(1; 0; -2)$ và $B(3; 2; -1)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}$ .
Viết hai dạng phương trình với điểm $A$ .

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}=(2; 2; 1)$ . $\begin{cases}x=1+2t\\ y=2t\\ z=-2+t\end{cases}\qquad\frac{x-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{1}.$

Đáp số. Như trên.

Bài 3

Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M(1; -1; 2)$ và vuông góc với $(P): 2x-y+3z+5=0$ . Tìm giao điểm của $d$ và $(P)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $d\perp(P)$ thì $\vec{u}_d=\vec{n}_P$ ; giao điểm: thay phương trình tham số vào $(P)$ .

Gợi ý các bước:

Viết $d$ với $\vec{u}=(2; -1; 3)$ .
Thay vào $(P)$ , giải $t$ .

Xem lời giải

$d: x=1+2t$ , $y=-1-t$ , $z=2+3t$ . Thay vào $(P)$ : $2(1+2t)-(-1-t)+3(2+3t)+5=14+14t=0\iff t=-1.$ Giao điểm là $(-1; 0; -1)$ .

Đáp số. $(-1; 0; -1)$ .

Bài 4

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua $M(0; 1; -1)$ và song song với $\Delta: \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+3}{-1}=\dfrac{z}{3}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hai đường thẳng song song có chung vectơ chỉ phương; đọc $\vec{u}$ ở các mẫu số.

Gợi ý các bước:

Đọc $\vec{u}=(2; -1; 3)$ .
Viết phương trình qua $M$ .

Xem lời giải

$\begin{cases}x=2t\\ y=1-t\\ z=-1+3t\end{cases}\qquad\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{3}.$ $M$ không thuộc $\Delta$ (vì $\dfrac{0-1}{2}\neq\dfrac{1+3}{-1}$ ), nên đường thẳng này song song, không trùng $\Delta$ .

Đáp số. Như trên.

Bài 5

Cho $d_1: \begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=3+t\end{cases}$ và $d_2: \dfrac{x-3}{-4}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-4}{-2}$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\vec{u}_1=(2; -1; 1)$ là một vectơ chỉ phương của $d_1$ .

b) Điểm $M(3; -1; 4)$ thuộc $d_1$ .

c) $d_1$ song song với $d_2$ .

d) $d_1$ vuông góc với mặt phẳng $(P): 2x-y+z=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hai vectơ chỉ phương cùng phương thì hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau; kiểm tra thêm một điểm.

Gợi ý các bước:

Đọc $\vec{u}_1$ , $\vec{u}_2$ .
Thay $M$ vào $d_1$ (tìm $t$ ).
So sánh $\vec{u}_1$ với $\vec{n}_P$ .

Xem lời giải

a) Đúng. Hệ số của $t$ là $2$ , $-1$ , $1$ .

b) Đúng. $t=1$ cho $(3; -1; 4)$ .

c) Sai. $\vec{u}_2=(-4; 2; -2)=-2\vec{u}_1$ , và $M(3; -1; 4)$ thuộc cả $d_2$ , nên hai đường thẳng trùng nhau.

d) Đúng. $\vec{n}_P=(2; -1; 1)=\vec{u}_1$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 6

Một máy bay cất cánh từ điểm $O(0; 0; 0)$ và bay thẳng, mỗi giây dịch chuyển theo vectơ $\vec{v}=(80; 60; 10)$ (đơn vị: mét). Khi máy bay đạt độ cao $1500$ m, hình chiếu của nó trên mặt đất cách $O$ bao nhiêu kilômét?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: vị trí sau $t$ giây là $(80t; 60t; 10t)$ .

Gợi ý các bước:

Giải $10t=1500$ .
Hình chiếu trên mặt đất là $(80t; 60t; 0)$ ; tính khoảng cách tới $O$ .

Xem lời giải

$t=150$ giây. Hình chiếu là $(12000; 9000; 0)$ , cách $O$ một khoảng $\sqrt{12000^2+9000^2}=15000$ m.

Đáp số. $15$ .

Bài 7

Cho $d: x=2+t$ , $y=1-t$ , $z=3+2t$ . Xét vị trí của $d$ với $(P_1): x+y-1=0$ , $(P_2): x+3y+z-8=0$ , $(P_3): x-y+z-6=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng.

Gợi ý các bước:

Thay vào từng mặt phẳng và rút gọn theo $t$ .
Đọc số nghiệm.

Xem lời giải

$(P_1)$ : $(2+t)+(1-t)-1=2=0$ , vô lí, nên $d\parallel(P_1)$ . $(P_2)$ : $(2+t)+3(1-t)+(3+2t)-8=0$ với mọi $t$ , nên $d$ nằm trong $(P_2)$ . $(P_3)$ : $(2+t)-(1-t)+(3+2t)-6=4t-2=0$ , $t=\dfrac12$ , giao điểm $\left(\dfrac52; \dfrac12; 4\right)$ .

Đáp số. Song song với $(P_1)$ ; nằm trong $(P_2)$ ; cắt $(P_3)$ tại $\left(\dfrac52; \dfrac12; 4\right)$ .

Bài 8

Xét vị trí của hai đường thẳng $d_1: x=1+t$ , $y=1-t$ , $z=2t$ và $d_2: x=1+2s$ , $y=-2+s$ , $z=5-s$ . Nếu chúng cắt nhau, tìm giao điểm.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: vectơ chỉ phương không cùng phương thì giải hệ theo $t$ , $s$ .

Gợi ý các bước:

So sánh $(1; -1; 2)$ và $(2; 1; -1)$ .
Giải hai phương trình đầu, rồi thử phương trình thứ ba.

Xem lời giải

Hai vectơ không cùng phương. Từ $1+t=1+2s$ và $1-t=-2+s$ : $t=2s$ , $1-2s=-2+s$ , nên $s=1$ , $t=2$ . Phương trình thứ ba: $2\cdot2=5-1$ , đúng.

Đáp số. Cắt nhau tại $(3; -1; 4)$ .

Bài 9

(Ôn lại Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.) Ở bài trước, ta chứng minh $A(1; 2; -1)$ , $B(3; 1; 1)$ , $C(7; -1; 5)$ thẳng hàng bằng vectơ cùng phương. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$ và chỉ ra giá trị $t$ ứng với điểm $C$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ ; $C$ thuộc $AB$ khi có một $t$ chung cho cả ba toạ độ.

Gợi ý các bước:

$\overrightarrow{AB}=(2; -1; 2)$ .
Giải $1+2t=7$ và kiểm tra.

Xem lời giải

$AB: x=1+2t$ , $y=2-t$ , $z=-1+2t$ . Từ $1+2t=7$ ta có $t=3$ ; khi đó $y=-1$ , $z=5$ , khớp với $C$ .

Đáp số. $t=3$ , đúng với $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$ ở bài trước.

Bài 10 Thử thách

Một tia laze xuất phát từ $A(1; 2; 3)$ , phản xạ trên một tấm gương phẳng nằm trong mặt phẳng $(P): x+2y+2z-2=0$ rồi tới $B(3; 2; 2)$ . Tìm điểm phản xạ $M$ trên gương. (Gợi ý: đường đi $A\to M\to B$ ngắn nhất khi $M$ nằm trên đoạn $A'B$ , với $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$ .)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hình chiếu $H$ của $A$ trên $(P)$ ; $H$ là trung điểm của $AA'$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $H$ , rồi $A'=2H-A$ (theo toạ độ).
Viết đường thẳng $A'B$ và tìm giao điểm với $(P)$ .

Xem lời giải

Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $(P)$ : $x=1+t$ , $y=2+2t$ , $z=3+2t$ . Thay vào $(P)$ : $9+9t=0$ , $t=-1$ , nên $H(0; 0; 1)$ và $A'(-1; -2; -1)$ . Thay $A'$ và $B$ vào vế trái của $(P)$ được $-9$ và $9$ , nên $A'$ , $B$ ở hai phía và cách $(P)$ bằng nhau; vì vậy $M$ là trung điểm của $A'B$ : $M\left(1; 0; \tfrac12\right),\qquad 1+0+2\cdot\tfrac12-2=0.$ Đường đi của tia sáng dài $A'B=\sqrt{16+16+9}=\sqrt{41}\approx6{,}40$ .

Đáp số. $M\left(1; 0; \dfrac12\right)$ .

Phương trình tham số của đường thẳng

Khám phá: vị trí của drone

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng và mặt phẳng

Hình chiếu vuông góc của một điểm

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $\vec{u}=(1; -1; 2)$ là một vectơ chỉ phương của $d$ .	Đúng	Sai
b) $d$ song song với $(P)$ .	Đúng	Sai
c) $d$ cắt $(P)$ tại điểm $(2; 1; 1)$ .	Đúng	Sai
d) $d$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): x-y+2z+7=0$ .	Đúng	Sai