LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 5.1

Phương trình mặt phẳng

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Nhận biết vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của một mặt phẳng.
Viết phương trình mặt phẳng qua một điểm khi biết vectơ pháp tuyến, qua ba điểm, theo đoạn chắn.
Nhận biết các mặt phẳng đặc biệt; xét hai mặt phẳng song song, vuông góc.
Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

Ghi nhớ

Mặt phẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$ , vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A; B; C)$ : $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ .
$Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $(A; B; C)$ .
Cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)$ , $\vec{v}=(a'; b'; c')$ cho $\vec{n}=[\vec{u}, \vec{v}]=(bc'-b'c;\ ca'-c'a;\ ab'-a'b)$ .
Theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ ; $(Oxy): z=0$ , $(Oyz): x=0$ , $(Ozx): y=0$ .
Song song: $\vec{n'}=k\vec{n}$ , $D'\neq kD$ . Vuông góc: $\vec{n}\cdot\vec{n'}=0$ .
$d(M_0, (P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Bài tập

Bài 1

Viết phương trình mặt phẳng đi qua $M(2; 1; -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1; -3; 2)$ .

Bài 2

Cho $A(1; 2; 3)$ và $B(3; 0; 5)$ . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ (mặt phẳng vuông góc với $AB$ tại trung điểm của nó).

Bài 3

Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A(2; 1; -1)$ , $B(3; 0; 1)$ , $C(1; 3; 0)$ .

Bài 4

Một mặt phẳng cắt các trục $Ox$ , $Oy$ , $Oz$ lần lượt tại $(2; 0; 0)$ , $(0; -3; 0)$ , $(0; 0; 6)$ . Viết phương trình tổng quát của nó.

Bài 5

Cho mặt phẳng $(P): 2x-y+2z-3=0$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\vec{n}=(2; -1; 2)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ .

b) Điểm $M(1; 2; 1)$ thuộc $(P)$ .

c) $(P)$ song song với mặt phẳng $(Q): 4x-2y+4z+1=0$ .

d) Khoảng cách từ $O$ đến $(P)$ bằng $3$ .

Bài 6

Một sườn đồi được coi gần đúng là mặt phẳng $(P): x+2y+2z-30=0$ (đơn vị: mét). Một drone khảo sát địa hình đang ở $M(10; 20; 25)$ . Tính khoảng cách từ drone đến sườn đồi (đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần mười).

Bài 7

Chứng minh hai mặt phẳng $(P): 2x-2y+z+4=0$ và $(Q): 2x-2y+z-5=0$ song song và tính khoảng cách giữa chúng.

Bài 8

Viết phương trình mặt phẳng chứa trục $Oz$ và đi qua điểm $A(1; 2; 5)$ .

Bài 9

(Ôn lại Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ.) Ở bài trước, với $A(1; 0; 2)$ , $B(2; 3; -1)$ , $C(0; 4; 1)$ , ta tìm được $D(-1; 1; 4)$ để $ABCD$ là hình bình hành. Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$ và kiểm tra rằng $D$ thuộc mặt phẳng đó.

Bài 10 Thử thách

Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ song song với $(Q): x+2y+2z+1=0$ và cách điểm $A(1; 1; 1)$ một khoảng bằng $2$ .

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

(P): 3x-z+2=0

là

(3; -1; 2)

.B.

(3; 0; -1)

.C.

(3; -1; 0)

.D.

(0; 3; -1)

Câu 2. Mặt phẳng đi qua

M(1; 2; -1)

và có vectơ pháp tuyến

\vec{n}=(2; -1; 3)

có phương trình là

2x-y+3z-3=0

.B.

2x-y+3z=0

.C.

2x-y+3z+3=0

.D.

x+2y-z+3=0

Câu 3. Khoảng cách từ

A(1; -2; 3)

đến mặt phẳng

(P): 2x-y+2z+1=0

bằng

\dfrac{10}{3}

.B.

\dfrac{11}{3}

.C.

\dfrac{11}{9}

.D.

11

Câu 4. Mặt phẳng nào sau đây song song với

(P): x-2y+2z-1=0

2x-4y+4z-2=0

.B.

2x+y=0

.C.

-x+2y-2z+3=0

.D.

x+2y+2z-1=0

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, cho

A(2; 0; 0)

B(0; 1; 0)

C(0; 0; 2)

a) Mặt phẳng $(ABC)$ có phương trình $x+2y+z-2=0$ .	Đ / S
b) Điểm $M(1; 0; 1)$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .	Đ / S
c) Khoảng cách từ $O$ đến $(ABC)$ bằng $\dfrac13$ .	Đ / S
d) Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q): x-y+z+5=0$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Mặt phẳng đi qua

A(1; 2; -1)

và song song với

(Q): 2x+y-2z+7=0

có phương trình

2x+y-2z+d=0

. Tìm

d

Câu 2. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

(P): x+2y-2z+1=0

và

(Q): 2x+4y-4z-7=0

(làm tròn đến hàng phần mười).

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ .

Gợi ý các bước:

Thay $x_0=2$ , $y_0=1$ , $z_0=-1$ và $A=1$ , $B=-3$ , $C=2$ .
Khai triển và rút gọn.

Bài 2.

Kiến thức: mặt phẳng trung trực đi qua trung điểm $I$ của $AB$ và nhận $\overrightarrow{AB}$ làm vectơ pháp tuyến.

Gợi ý các bước:

Tìm $I$ và $\overrightarrow{AB}$ .
Rút gọn vectơ pháp tuyến rồi viết phương trình.

Bài 3.

Kiến thức: $\vec{n}=[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ là một vectơ pháp tuyến của $(ABC)$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ .
Tính tích có hướng, rồi viết phương trình qua $A$ .

Bài 4.

Kiến thức: phương trình theo đoạn chắn $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$ .

Gợi ý các bước:

Thay $a=2$ , $b=-3$ , $c=6$ .
Nhân hai vế với $6$ để bỏ mẫu.

Bài 5.

Kiến thức: vectơ pháp tuyến $(A; B; C)$ ; điều kiện song song $\vec{n'}=k\vec{n}$ , $D'\neq kD$ ; công thức khoảng cách.

Gợi ý các bước:

Đọc vectơ pháp tuyến và thay toạ độ $M$ .
So sánh hệ số của $(P)$ và $(Q)$ .
Tính $d(O, (P))$ .

Bài 6.

Kiến thức: $d(M, (P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Gợi ý các bước:

Thay toạ độ $M$ vào vế trái, lấy giá trị tuyệt đối.
Chia cho $\sqrt{1+4+4}$ .

Bài 7.

Kiến thức: khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt này đến mặt kia.

Gợi ý các bước:

So sánh vectơ pháp tuyến và hệ số tự do.
Lấy một điểm dễ tìm trên $(P)$ , ví dụ cho $x=y=0$ .

Bài 8.

Kiến thức: mặt phẳng chứa $Oz$ đi qua $O$ và có $C=0$ , nên có dạng $Ax+By=0$ .

Gợi ý các bước:

Thay $A(1; 2; 5)$ vào $Ax+By=0$ .
Chọn một cặp số $A$ , $B$ thoả mãn.

Bài 9.

Kiến thức: $\vec{n}=[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ ; một điểm thuộc mặt phẳng khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình.

Gợi ý các bước:

$\overrightarrow{AB}=(1; 3; -3)$ , $\overrightarrow{AC}=(-1; 4; -1)$ ; tính tích có hướng.
Viết phương trình qua $A$ , rồi thay $D$ .

Bài 10.

Kiến thức: $(P)$ có dạng $x+2y+2z+D=0$ với $D\neq1$ ; công thức khoảng cách.

Gợi ý các bước:

Lập phương trình $\dfrac{|1+2+2+D|}{3}=2$ .
Giải, rồi loại giá trị làm $(P)$ trùng $(Q)$ .

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐