Phương trình mặt phẳng

Một tấm bạt che nắng hình tam giác được căng giữa ba điểm: hai cọc trên mặt đất và một móc trên cột ở góc sân. Đặt chân cột ở gốc toạ độ, đơn vị mét: ba góc tấm bạt là $A(3; 0; 0)$, $B(0; 6; 0)$ và $C(0; 0; 3)$. Một chiếc drone quay phim đang đứng yên tại $M(3; 6; 3)$. Drone cách mặt phẳng tấm bạt bao xa?

Để trả lời, ta cần một phương trình mô tả mọi điểm của mặt phẳng $(ABC)$. Bài này cho ta phương trình đó và một công thức khoảng cách chỉ gồm vài phép tính.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Khám phá: một vectơ vuông góc với tấm bạt

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3; 6; 0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-3; 0; 3)$. Thử vectơ $\vec{n}=(2; 1; 2)$: $$\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=-6+6+0=0,\qquad \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=-6+0+6=0.$$ Vậy $\vec{n}$ vuông góc với hai cạnh không cùng phương của tấm bạt, nên vuông góc với cả tấm bạt. Một điểm $P(x; y; z)$ nằm trên mặt phẳng $(ABC)$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AP}\perp\vec{n}$, tức là $$2(x-3)+1\cdot(y-0)+2(z-0)=0\iff 2x+y+2z-6=0.$$

Khi chỉ biết một cặp vectơ chỉ phương, ta cần một cách tìm ngay một vectơ vuông góc với cả hai.

Vì sao đúng? Nhân vô hướng với $\vec{u}$: $a(bc'-b'c)+b(ca'-c'a)+c(ab'-a'b)=0$, vì các số hạng triệt tiêu từng cặp. Tương tự $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$. Vì $\vec{u}$, $\vec{v}$ không cùng phương nên $\vec{n}\neq\vec{0}$.

Cách nhớ. Viết toạ độ $\vec{u}$ trên, $\vec{v}$ dưới. Muốn toạ độ thứ nhất, che cột thứ nhất và tính định thức $2\times2$ còn lại; toạ độ thứ hai che cột thứ hai rồi lấy cột 3 nhân chéo với cột 1; toạ độ thứ ba che cột thứ ba.

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Vì sao đúng? Điểm $M(x; y; z)$ thuộc mặt phẳng khi và chỉ khi $\overrightarrow{M_0M}=(x-x_0; y-y_0; z-z_0)$ vuông góc với $\vec{n}$, tức tích vô hướng của chúng bằng $0$. Khai triển ta được dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $D=-(Ax_0+By_0+Cz_0)$.

Khi đề cho ba điểm, ta tự tạo cặp vectơ chỉ phương từ ba điểm đó.

Các mặt phẳng đặc biệt

Xét $(P): Ax+By+Cz+D=0$.

• $D=0$: $(P)$ đi qua gốc $O$.
• $A=0$: $\vec{n}=(0; B; C)$ vuông góc với $\vec{i}$, nên $(P)$ song song với hoặc chứa trục $Ox$. Tương tự với $B=0$ (trục $Oy$) và $C=0$ (trục $Oz$).
• $A=B=0$: $(P): z=z_0$ song song với hoặc trùng mặt phẳng $(Oxy)$. Ba mặt phẳng toạ độ là $(Oxy): z=0$, $(Oyz): x=0$, $(Ozx): y=0$.
• Mặt phẳng cắt ba trục tại $(a; 0; 0)$, $(0; b; 0)$, $(0; 0; c)$ với $abc\neq0$ có phương trình theo đoạn chắn $$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1.$$

Với tấm bạt, $a=3$, $b=6$, $c=3$, nên $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{3}=1$; nhân hai vế với $6$ ta lại được $2x+y+2z-6=0$.

Hai mặt phẳng song song, vuông góc

Hai mặt phẳng song song có vectơ pháp tuyến cùng phương. Hai mặt phẳng vuông góc thì hai vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc.

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Vì sao đúng? Gọi $H$ là hình chiếu của $M_0$ trên $(P)$. Khi đó $\overrightarrow{HM_0}=t\vec{n}$ với một số $t$, và $M_0H=|t|\cdot|\vec{n}|$. Vì $H$ thuộc $(P)$, thay $H=M_0-t\vec{n}$ vào phương trình ta được $Ax_0+By_0+Cz_0+D=t(A^2+B^2+C^2)$. Rút $t$ rồi nhân với $|\vec{n}|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ ta có công thức.

Ví dụ cuối nhiều bước hơn, nên ta làm theo bốn bước.

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Mặt phẳng qua $M_0(x_0; y_0; z_0)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(A; B; C)$: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$.
• $Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $(A; B; C)$.
• Cặp vectơ chỉ phương $\vec{u}=(a; b; c)$, $\vec{v}=(a'; b'; c')$ cho $\vec{n}=[\vec{u}, \vec{v}]=(bc'-b'c;\ ca'-c'a;\ ab'-a'b)$.
• Theo đoạn chắn: $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}+\dfrac{z}{c}=1$; $(Oxy): z=0$, $(Oyz): x=0$, $(Ozx): y=0$.
• Song song: $\vec{n'}=k\vec{n}$, $D'\neq kD$. Vuông góc: $\vec{n}\cdot\vec{n'}=0$.
• $d(M_0, (P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Kiểm tra mini