LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 5.4

Phương trình mặt cầu

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Viết phương trình mặt cầu $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ khi biết tâm và bán kính.
Nhận biết phương trình $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu và tìm tâm, bán kính.
Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước, đi qua các điểm cho trước, tiếp xúc với một mặt phẳng.
Xét vị trí của một điểm, một mặt phẳng với mặt cầu; viết phương trình mặt phẳng tiếp diện.

Ghi nhớ

Tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ .
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu $\iff a^2+b^2+c^2-d>0$ ; khi đó $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .
Đường kính $AB$ : tâm là trung điểm $AB$ , $R=\dfrac{AB}{2}$ .
Điểm $M$ : $IM<R$ ở trong, $IM=R$ ở trên, $IM>R$ ở ngoài mặt cầu.
Mặt phẳng: $h=d(I, (P))$ ; $h>R$ không cắt, $h=R$ tiếp xúc, $h<R$ cắt theo đường tròn bán kính $\sqrt{R^2-h^2}$ .
Tiếp diện tại $M$ : qua $M$ , vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$ .

Bài tập

Bài 1

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(-1; 2; 0)$ , bán kính $3$ . Điểm $A(1; 3; 2)$ nằm trong, trên hay ngoài mặt cầu?

Bài 2

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $x^2+y^2+z^2+4x-6y+2z-11=0$ .

Bài 3

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó.

a) $x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$ . b) $x^2+y^2+z^2+2y+5=0$ . c) $2x^2+2y^2+2z^2-4x+8y-2=0$ .

Bài 4

Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(2; -1; 3)$ , $B(0; 3; -1)$ .

Bài 5

(Ôn lại Phương trình mặt phẳng.) Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 2; -1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x-2y+z+9=0$ .

Bài 6

Cho mặt cầu $(S): (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=9$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$ .

b) $(S)$ có bán kính bằng $9$ .

c) Điểm $M(4; 1; 1)$ thuộc $(S)$ .

d) Mặt phẳng $z=4$ cắt $(S)$ theo một đường tròn.

Bài 7

Một chiếc loa Bluetooth treo ở $I(2; 3; 4)$ trong phòng (đơn vị: mét), sàn nhà là mặt phẳng $z=0$ . Tiếng loa nghe rõ trong phạm vi $6$ m quanh loa. Tính diện tích phần sàn nhà nghe rõ tiếng loa (đơn vị: m², làm tròn đến hàng phần mười).

Bài 8

Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A(1; 2; 3)$ , $B(3; 0; 1)$ .

Bài 9

(Ôn lại Phương trình đường thẳng trong không gian.) Tìm giao điểm của đường thẳng $d: x=1+t$ , $y=2$ , $z=2-3t$ với mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2=9$ , và tính độ dài dây cung tạo thành.

Bài 10 Thử thách

Coi Trái Đất là mặt cầu tâm $O$ , bán kính $6400$ km. Chọn đơn vị là nghìn km: $(S): x^2+y^2+z^2=40{,}96$ . Một vệ tinh ở $V(0; 0; 8)$ . Những điểm $M$ trên mặt đất "nhìn thấy" vệ tinh ở đường chân trời là những điểm có $VM$ tiếp xúc với mặt cầu, tức $\overrightarrow{OM}\perp\overrightarrow{MV}$ . Chứng minh các điểm đó nằm trên một mặt phẳng và tính bán kính đường tròn biên của vùng phủ sóng (đơn vị: km).

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, mặt cầu

(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=4

có tâm và bán kính là

I(1; -2; 0)

R=2

.B.

I(-1; 2; 0)

R=2

.C.

I(-1; 2; 0)

R=4

.D.

I(1; -2; 0)

R=4

Câu 2. Bán kính của mặt cầu

x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0

bằng

9

.B.

\sqrt{19}

.C.

3

.D.

\sqrt{14}

Câu 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của một mặt cầu?

x^2+y^2+z^2-2x+4y+6=0

.B.

x^2+y^2+z^2-4x+2z+1=0

.C.

x^2+2y^2+z^2-2=0

.D.

x^2+y^2-z^2+2x=0

Câu 4. Mặt cầu tâm

I(1; 0; -2)

tiếp xúc với mặt phẳng

(P): 2x-y+2z+8=0

có phương trình là

(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=4

.B.

(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=2

.C.

(x+1)^2+y^2+(z-2)^2=4

.D.

(x-1)^2+y^2+(z+2)^2=36

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho mặt cầu

(S): x^2+y^2+z^2-2x-4y+4z=0

a) $(S)$ có tâm $I(1; 2; -2)$ .	Đ / S
b) $(S)$ có bán kính bằng $9$ .	Đ / S
c) Gốc toạ độ $O$ thuộc $(S)$ .	Đ / S
d) Mặt phẳng $(P): x+2y-2z-18=0$ tiếp xúc với $(S)$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Mặt cầu có đường kính

AB

với

A(1; 2; 3)

B(3; -2; -1)

có bán kính bằng bao nhiêu?

Câu 2. Mặt phẳng

z=1

cắt mặt cầu

(x-1)^2+(y+2)^2+(z-4)^2=25

theo một đường tròn. Tính diện tích hình tròn đó (làm tròn đến hàng phần mười).

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ ; so sánh $IA$ với $R$ .

Gợi ý các bước:

Thay $a=-1$ , $b=2$ , $c=0$ , $R=3$ .
Tính $IA^2$ .

Bài 2.

Kiến thức: $a$ , $b$ , $c$ bằng hệ số của $x$ , $y$ , $z$ chia cho $-2$ ; $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Gợi ý các bước:

Đọc $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
Tính $R$ .

Bài 3.

Kiến thức: điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ , với hệ số của $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ bằng $1$ .

Gợi ý các bước:

Ở câu c), chia hai vế cho $2$ trước.
Kiểm tra điều kiện cho từng phương trình.

Bài 4.

Kiến thức: tâm là trung điểm của $AB$ , $R=\dfrac{AB}{2}$ .

Gợi ý các bước:

Tìm trung điểm $I$ .
Tính $AB$ rồi $R$ .

Bài 5.

Kiến thức: mặt cầu tiếp xúc với $(P)$ khi $R=d(I, (P))$ .

Gợi ý các bước:

Tính $d(I, (P))$ bằng công thức khoảng cách.
Viết phương trình với $R$ vừa tìm.

Bài 6.

Kiến thức: đọc tâm, bán kính; so sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với $R$ .

Gợi ý các bước:

Đọc $I$ và $R$ .
Thay $M$ vào vế trái.
Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $z=4$ .

Bài 7.

Kiến thức: mặt phẳng cách tâm $h<R$ cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính $r=\sqrt{R^2-h^2}$ .

Gợi ý các bước:

$h=4$ , $R=6$ ; tính $r$ .
Diện tích hình tròn $\pi r^2$ .

Bài 8.

Kiến thức: tâm trên $Ox$ có dạng $I(t; 0; 0)$ ; điều kiện $IA=IB$ .

Gợi ý các bước:

Viết $IA^2=IB^2$ theo $t$ .
Giải $t$ , rồi tính $R^2=IA^2$ .

Bài 9.

Kiến thức: thay phương trình tham số vào phương trình mặt cầu được một phương trình bậc hai theo $t$ .

Gợi ý các bước:

Thay $x$ , $y$ , $z$ vào $(S)$ và rút gọn.
Giải $t$ , tìm hai giao điểm, rồi tính khoảng cách giữa chúng.

Bài 10.

Kiến thức: $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MV}=0$ ; $OM^2=40{,}96$ ; $r=\sqrt{R^2-h^2}$ .

Gợi ý các bước:

Viết $\overrightarrow{MV}=\overrightarrow{OV}-\overrightarrow{OM}$ và khai triển $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MV}=0$ .
Suy ra $8z=40{,}96$ , rồi tính $r$ .

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐