Phương trình mặt cầu

Một bộ phát Wi-Fi đặt ở $I(2; 3; 1)$ trong một hội trường (đơn vị: mét). Sóng đủ mạnh trong phạm vi $10$ m quanh bộ phát. Một chiếc điện thoại ở $M(8; 10; 3)$ có bắt được sóng không? Một chiếc loa treo trên trần tại $N(2; 3; 12)$ thì sao?

Tập hợp các điểm cách $I$ đúng $10$ m là một mặt cầu. Bài này viết mặt cầu thành một phương trình, để mọi câu hỏi "ở trong hay ở ngoài" chỉ còn là một phép tính.

Khám phá: khoảng cách tới bộ phát

Ta tính khoảng cách từ bộ phát tới hai điểm: $IM=\sqrt{6^2+7^2+2^2}=\sqrt{89}\approx9{,}43<10,\qquad IN=\sqrt{0^2+0^2+11^2}=11>10.$ Vậy điện thoại bắt được sóng, còn chiếc loa nằm ngoài vùng phủ sóng. Một điểm $P(x; y; z)$ nằm đúng trên biên của vùng phủ sóng khi $IP=10$ , tức $(x-2)^2+(y-3)^2+(z-1)^2=100.$

Mặt cầu tâm

I

bán kính

R

Vì sao đúng? $M(x; y; z)$ thuộc mặt cầu khi và chỉ khi $IM^2=R^2$ , và $IM^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2$ . Với dạng thứ hai, thêm bớt để có bình phương: phương trình tương đương $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=a^2+b^2+c^2-d$ . Vế phải phải dương thì mới là $R^2$ .

Ví dụ Biết tâm và bán kính; biết đường kính

a) Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $4$ , và kiểm tra rằng $A(1; 2; 3)$ thuộc mặt cầu.

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(1; 3; -1)$ , $B(3; -1; 5)$ .

Lời giải. a) Thay tâm và bán kính vào công thức. Chú ý $y-(-2)=y+2$ :

$(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16.$

Thay $A$ : $0^2+4^2+0^2=16$ , nên $A$ thuộc mặt cầu.

b) Tâm là trung điểm $I$ của $AB$ , bán kính bằng nửa $AB$ :

$I(2; 1; 2),\qquad AB=\sqrt{2^2+(-4)^2+6^2}=\sqrt{56},\qquad R=\frac{\sqrt{56}}{2}=\sqrt{14}.$

Vậy a) $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16$ ; b) $(x-2)^2+(y-1)^2+(z-2)^2=14$ .

Khi phương trình đã khai triển, ta đọc $a$ , $b$ , $c$ bằng cách chia hệ số của $x$ , $y$ , $z$ cho $-2$ .

Ví dụ Từ dạng khai triển

Mỗi phương trình sau có phải phương trình mặt cầu không? Nếu có, tìm tâm và bán kính.

a) $x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2=0$ . b) $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6=0$ .

Lời giải. a) Chia các hệ số $-4$ , $2$ , $-6$ cho $-2$ : $a=2$ , $b=-1$ , $c=3$ ; còn $d=-2$ . Kiểm tra điều kiện:

$a^2+b^2+c^2-d=4+1+9+2=16>0,\qquad R=4.$

b) $a=1$ , $b=-2$ , $c=0$ , $d=6$ :

$a^2+b^2+c^2-d=1+4+0-6=-1<0.$

Vậy a) là mặt cầu tâm $I(2; -1; 3)$ , bán kính $4$ ; b) không phải phương trình mặt cầu (không có điểm nào thoả mãn).

Khi biết bốn điểm trên mặt cầu, dạng khai triển cho bốn phương trình bậc nhất với bốn ẩn $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .

Ví dụ Mặt cầu đi qua bốn điểm

Viết phương trình mặt cầu đi qua $O(0; 0; 0)$ , $A(2; 0; 0)$ , $B(0; 4; 0)$ , $C(0; 0; 6)$ .

Lời giải. Gọi mặt cầu là $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ . Thay lần lượt bốn điểm:

$\begin{aligned} O&: d=0;\\ A&: 4-4a+d=0\Rightarrow a=1;\\ B&: 16-8b+d=0\Rightarrow b=2;\\ C&: 36-12c+d=0\Rightarrow c=3. \end{aligned}$

Khi đó $R^2=1+4+9-0=14$ . Vậy mặt cầu là $x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z=0$ , tâm $I(1; 2; 3)$ , bán kính $\sqrt{14}$ .

Mặt phẳng và mặt cầu

So sánh khoảng cách $h$ từ tâm $I$ đến mặt phẳng với bán kính $R$ , giống như so sánh khoảng cách từ tâm đến đường thẳng trong hình học phẳng.

Ví dụ Ba mặt phẳng và một mặt cầu

Cho $(S): (x-1)^2+(y+1)^2+(z-2)^2=9$ . Xét vị trí của $(S)$ với $(P): 2x-y+2z+2=0$ , $(Q): x+2y+2z-6=0$ , $(R): 2x+2y-z+15=0$ . Nếu tiếp xúc, tìm tiếp điểm; nếu cắt, tìm bán kính đường tròn giao tuyến.

Lời giải. Tâm $I(1; -1; 2)$ , $R=3$ . Ba vectơ pháp tuyến đều có độ dài $3$ , nên:

$d(I, (P))=\frac{|2+1+4+2|}{3}=3,\qquad d(I, (Q))=\frac{|1-2+4-6|}{3}=1,\qquad d(I, (R))=\frac{|2-2-2+15|}{3}=\frac{13}{3}.$

$(P)$ tiếp xúc với $(S)$ . Tiếp điểm $H$ là hình chiếu của $I$ : đường thẳng $x=1+2t$ , $y=-1-t$ , $z=2+2t$ cắt $(P)$ khi $9+9t=0$ , tức $t=-1$ , nên $H(-1; 0; 0)$ .

$(Q)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính $r=\sqrt{9-1}=2\sqrt2$ . Còn $\dfrac{13}{3}>3$ nên $(R)$ không cắt $(S)$ .

Vậy $(P)$ tiếp xúc $(S)$ tại $H(-1; 0; 0)$ , $(Q)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính $2\sqrt2$ , $(R)$ không có điểm chung với $(S)$ .

Ví dụ Mặt phẳng tiếp diện tại một điểm

Cho $(S): (x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=9$ và $M(3; 3; 1)$ . Chứng minh $M\in(S)$ và viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của $(S)$ tại $M$ .

Lời giải. Thay $M$ : $2^2+1^2+2^2=9$ , nên $M\in(S)$ . Mặt phẳng tiếp diện nhận $\overrightarrow{IM}=(2; 1; 2)$ làm vectơ pháp tuyến:

$2(x-3)+(y-3)+2(z-1)=0\iff 2x+y+2z-11=0.$

Vậy mặt phẳng tiếp diện là $2x+y+2z-11=0$ .

Kiểm tra. $d(I, (P))=\dfrac{|2+2-2-11|}{3}=3=R$ .

Ví dụ cuối là một bài toán thực tế nhiều bước, nên ta làm theo bốn bước.

Mặt cắt thẳng đứng của vùng radar (đơn vị:

10

km)

Ví dụ Vùng quét của radar

Một trạm radar đặt ở $O(0; 0; 0)$ phát hiện được máy bay trong phạm vi $50$ km. Một máy bay bay thẳng ở độ cao $30$ km theo đường $x=-60+t$ , $y=20$ , $z=30$ (đơn vị: km). Máy bay bay bao nhiêu kilômét trong vùng radar phát hiện được (làm tròn đến hàng phần mười)?

Lời giải.

Hiểu đề. Vùng phát hiện là khối cầu $x^2+y^2+z^2\le2500$ . Cần độ dài phần đường bay nằm trong khối cầu.

Tìm cách giải. Đường bay nằm trong mặt phẳng $z=30$ . Mặt phẳng này cách $O$ một khoảng $h=30<50$ , nên cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính $r=\sqrt{50^2-30^2}=40$ , tâm $(0; 0; 30)$ .

Giải. Ở độ cao $30$ , máy bay trong vùng radar khi $x^2+y^2\le1600$ . Với $y=20$ :

$x^2\le1600-400=1200\iff -20\sqrt3\le x\le20\sqrt3.$

Đoạn này dài $40\sqrt3\approx69{,}3$ km (mỗi đơn vị $t$ ứng với $1$ km theo trục $Ox$ ).

Vậy máy bay bay khoảng $69{,}3$ km trong vùng radar.

Nhìn lại. Ta đã đưa bài toán không gian về một đường tròn trong mặt phẳng $z=30$ , nhờ công thức $r=\sqrt{R^2-h^2}$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Sai dấu toạ độ tâm. Sai: $(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$ có tâm $(1; -2; 0)$ . Vì sao sai: $x+1=x-(-1)$ . Đúng: tâm $I(-1; 2; 0)$ .
Nhầm $R$ với $R^2$ . Sai: mặt cầu tâm $I(1; -2; 3)$ , bán kính $4$ là $(x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=4$ . Đúng: vế phải là $R^2=16$ .
Đọc tâm khi hệ số của $x^2$ khác $1$ . Với $2x^2+2y^2+2z^2-4x+8y-2=0$ , sai: $a=2$ , $b=-4$ . Vì sao sai: công thức cần hệ số của $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ bằng $1$ . Đúng: chia cho $2$ được $x^2+y^2+z^2-2x+4y-1=0$ , nên $a=1$ , $b=-2$ , $c=0$ , $R=\sqrt{1+4+0+1}=\sqrt6$ .
Quên kiểm tra $a^2+b^2+c^2-d>0$ . Sai: $x^2+y^2+z^2-2x+4y+6=0$ có $R=\sqrt{-1}$ "không xác định nhưng vẫn là mặt cầu". Đúng: điều kiện không thoả mãn, phương trình không biểu diễn mặt cầu nào.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
mặt cầu	sphere
tâm	centre
bán kính	radius
đường kính	diameter
khối cầu	solid sphere (ball)
mặt phẳng tiếp diện	tangent plane
tiếp điểm	point of contact
đường tròn giao tuyến	circle of intersection

Tóm tắt

Tâm $I(a; b; c)$ , bán kính $R$ : $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ .
$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu $\iff a^2+b^2+c^2-d>0$ ; khi đó $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .
Đường kính $AB$ : tâm là trung điểm $AB$ , $R=\dfrac{AB}{2}$ .
Điểm $M$ : $IM<R$ ở trong, $IM=R$ ở trên, $IM>R$ ở ngoài mặt cầu.
Mặt phẳng: $h=d(I, (P))$ ; $h>R$ không cắt, $h=R$ tiếp xúc, $h<R$ cắt theo đường tròn bán kính $\sqrt{R^2-h^2}$ .
Tiếp diện tại $M$ : qua $M$ , vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Viết phương trình mặt cầu tâm $I(-1; 2; 0)$ , bán kính $3$ . Điểm $A(1; 3; 2)$ nằm trong, trên hay ngoài mặt cầu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$ ; so sánh $IA$ với $R$ .

Gợi ý các bước:

Thay $a=-1$ , $b=2$ , $c=0$ , $R=3$ .
Tính $IA^2$ .

Xem lời giải

$(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$ . $IA^2=2^2+1^2+2^2=9=R^2$ .

Đáp số. $(x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9$ ; $A$ nằm trên mặt cầu.

Bài 2

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu $x^2+y^2+z^2+4x-6y+2z-11=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $a$ , $b$ , $c$ bằng hệ số của $x$ , $y$ , $z$ chia cho $-2$ ; $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Gợi ý các bước:

Đọc $a$ , $b$ , $c$ , $d$ .
Tính $R$ .

Xem lời giải

$a=-2$ , $b=3$ , $c=-1$ , $d=-11$ . $R^2=4+9+1+11=25$ .

Đáp số. $I(-2; 3; -1)$ , $R=5$ .

Bài 3

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu? Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu đó.

a) $x^2+y^2+z^2-2x+4z+1=0$ . b) $x^2+y^2+z^2+2y+5=0$ . c) $2x^2+2y^2+2z^2-4x+8y-2=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: điều kiện $a^2+b^2+c^2-d>0$ , với hệ số của $x^2$ , $y^2$ , $z^2$ bằng $1$ .

Gợi ý các bước:

Ở câu c), chia hai vế cho $2$ trước.
Kiểm tra điều kiện cho từng phương trình.

Xem lời giải

a) $a=1$ , $b=0$ , $c=-2$ , $d=1$ : $1+0+4-1=4>0$ , tâm $(1; 0; -2)$ , $R=2$ . b) $a=0$ , $b=-1$ , $c=0$ , $d=5$ : $1-5=-4<0$ , không phải mặt cầu. c) $x^2+y^2+z^2-2x+4y-1=0$ : $1+4+0+1=6>0$ , tâm $(1; -2; 0)$ , $R=\sqrt6$ .

Đáp số. a) và c) là mặt cầu; b) không phải.

Bài 4

Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$ với $A(2; -1; 3)$ , $B(0; 3; -1)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tâm là trung điểm của $AB$ , $R=\dfrac{AB}{2}$ .

Gợi ý các bước:

Tìm trung điểm $I$ .
Tính $AB$ rồi $R$ .

Xem lời giải

$I(1; 1; 1)$ , $AB=\sqrt{4+16+16}=6$ , $R=3$ .

Đáp số. $(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=9$ .

Bài 5

(Ôn lại Phương trình mặt phẳng.) Viết phương trình mặt cầu tâm $I(1; 2; -1)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P): 2x-2y+z+9=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mặt cầu tiếp xúc với $(P)$ khi $R=d(I, (P))$ .

Gợi ý các bước:

Tính $d(I, (P))$ bằng công thức khoảng cách.
Viết phương trình với $R$ vừa tìm.

Xem lời giải

$R=d(I, (P))=\frac{|2-4-1+9|}{\sqrt{4+4+1}}=\frac63=2.$

Đáp số. $(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=4$ .

Bài 6

Cho mặt cầu $(S): (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=9$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$ .

b) $(S)$ có bán kính bằng $9$ .

c) Điểm $M(4; 1; 1)$ thuộc $(S)$ .

d) Mặt phẳng $z=4$ cắt $(S)$ theo một đường tròn.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đọc tâm, bán kính; so sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với $R$ .

Gợi ý các bước:

Đọc $I$ và $R$ .
Thay $M$ vào vế trái.
Tính khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $z=4$ .

Xem lời giải

a) Đúng. $x-2$ , $y+1=y-(-1)$ , $z-0$ .

b) Sai. $R^2=9$ , nên $R=3$ .

c) Đúng. $2^2+2^2+1^2=9$ .

d) Sai. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $z=4$ là $|0-4|=4>3$ , nên không có điểm chung.

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Bài 7

Một chiếc loa Bluetooth treo ở $I(2; 3; 4)$ trong phòng (đơn vị: mét), sàn nhà là mặt phẳng $z=0$ . Tiếng loa nghe rõ trong phạm vi $6$ m quanh loa. Tính diện tích phần sàn nhà nghe rõ tiếng loa (đơn vị: m², làm tròn đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mặt phẳng cách tâm $h<R$ cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính $r=\sqrt{R^2-h^2}$ .

Gợi ý các bước:

$h=4$ , $R=6$ ; tính $r$ .
Diện tích hình tròn $\pi r^2$ .

Xem lời giải

$r^2=36-16=20$ , nên diện tích là $20\pi\approx62{,}8$ m².

Đáp số. $62{,}8$ .

Bài 8

Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên trục $Ox$ và đi qua hai điểm $A(1; 2; 3)$ , $B(3; 0; 1)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tâm trên $Ox$ có dạng $I(t; 0; 0)$ ; điều kiện $IA=IB$ .

Gợi ý các bước:

Viết $IA^2=IB^2$ theo $t$ .
Giải $t$ , rồi tính $R^2=IA^2$ .

Xem lời giải

$(1-t)^2+4+9=(3-t)^2+0+1\iff 14-2t=10-6t\iff t=-1.$ $I(-1; 0; 0)$ , $R^2=4+4+9=17$ .

Đáp số. $(x+1)^2+y^2+z^2=17$ .

Bài 9

(Ôn lại Phương trình đường thẳng trong không gian.) Tìm giao điểm của đường thẳng $d: x=1+t$ , $y=2$ , $z=2-3t$ với mặt cầu $(S): x^2+y^2+z^2=9$ , và tính độ dài dây cung tạo thành.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thay phương trình tham số vào phương trình mặt cầu được một phương trình bậc hai theo $t$ .

Gợi ý các bước:

Thay $x$ , $y$ , $z$ vào $(S)$ và rút gọn.
Giải $t$ , tìm hai giao điểm, rồi tính khoảng cách giữa chúng.

Xem lời giải

$(1+t)^2+4+(2-3t)^2=9\iff 10t^2-10t=0\iff t=0\ \text{hoặc}\ t=1.$ Hai giao điểm là $(1; 2; 2)$ và $(2; 2; -1)$ . Dây cung dài $\sqrt{1^2+0^2+3^2}=\sqrt{10}$ .

Đáp số. $(1; 2; 2)$ , $(2; 2; -1)$ ; dây cung dài $\sqrt{10}\approx3{,}16$ .

Bài 10 Thử thách

Coi Trái Đất là mặt cầu tâm $O$ , bán kính $6400$ km. Chọn đơn vị là nghìn km: $(S): x^2+y^2+z^2=40{,}96$ . Một vệ tinh ở $V(0; 0; 8)$ . Những điểm $M$ trên mặt đất "nhìn thấy" vệ tinh ở đường chân trời là những điểm có $VM$ tiếp xúc với mặt cầu, tức $\overrightarrow{OM}\perp\overrightarrow{MV}$ . Chứng minh các điểm đó nằm trên một mặt phẳng và tính bán kính đường tròn biên của vùng phủ sóng (đơn vị: km).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MV}=0$ ; $OM^2=40{,}96$ ; $r=\sqrt{R^2-h^2}$ .

Gợi ý các bước:

Viết $\overrightarrow{MV}=\overrightarrow{OV}-\overrightarrow{OM}$ và khai triển $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{MV}=0$ .
Suy ra $8z=40{,}96$ , rồi tính $r$ .

Xem lời giải

$\overrightarrow{OM}\cdot(\overrightarrow{OV}-\overrightarrow{OM})=0\iff\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{OV}=OM^2\iff 8z=40{,}96\iff z=5{,}12.$ Vậy các điểm đó nằm trên mặt phẳng $z=5{,}12$ , cách $O$ một khoảng $h=5{,}12$ : $r=\sqrt{40{,}96-5{,}12^2}=\sqrt{14{,}7456}=3{,}84.$

Đáp số. Mặt phẳng $z=5{,}12$ ; bán kính đường tròn biên là $3840$ km.

Phương trình mặt cầu