Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Kiến thức: $v(t)=s'(t)$, $a(t)=s''(t)$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $v(t)$ và giải $v(t)=0$.
2. Tính $a(t)=6t-12$ tại từng nghiệm.

Kiến thức: các bước giải bài toán tối ưu; tìm giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$ bằng bảng biến thiên.

Gợi ý các bước:

1. Gọi $x$ là cạnh vuông góc với tường; cạnh song song với tường là $\dfrac{200}{x}$.
2. Hàng rào dài $L(x)=2x+\dfrac{200}{x}$; tìm giá trị nhỏ nhất.

Kiến thức: hộp có đáy là hình vuông cạnh $60-2x$ và chiều cao $x$, với $0<x<30$.

Gợi ý các bước:

1. Lập $V(x)=x(60-2x)^2$.
2. Tính $V'(x)$, phân tích thành nhân tử, chỉ giữ nghiệm thuộc $(0; 30)$.

Kiến thức: tốc độ thay đổi tức thời là $N'(t)$; giá trị về lâu dài là $\lim\limits_{t\to+\infty}N(t)$ (tiệm cận ngang).

Gợi ý các bước:

1. Tính $N'(t)$ bằng công thức đạo hàm của thương.
2. Thay $t=5$ và tính giới hạn.

Kiến thức: doanh thu = giá một phòng $\times$ số phòng được thuê.

Gợi ý các bước:

1. Viết giá và số phòng theo $x$.
2. Tính $R'(x)$, tìm điểm $R'(x)=0$.
3. Tính giá phòng và doanh thu tại điểm đó.

Kiến thức: thể tích $V=\pi r^2h$; diện tích toàn phần $S=2\pi r^2+2\pi rh$.

Gợi ý các bước:

1. Từ $\pi r^2h=1000$, viết $h$ theo $r$ và lập $S(r)=2\pi r^2+\dfrac{2000}{r}$.
2. Giải $S'(r)=0$ và kiểm tra dấu.

Kiến thức: tìm giá trị lớn nhất của $g(t)=f'(t)$ trên đoạn $[0; 20]$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $g(t)=f'(t)=60t-3t^2$.
2. Giải $g'(t)=0$ và so sánh với hai đầu mút.

Kiến thức: thời gian chạy là $\dfrac{300}{v}$ giờ; tổng chi phí bằng chi phí mỗi giờ nhân thời gian.

Gợi ý các bước:

1. Lập $C(v)=\dfrac{300}{v}\left(500+\dfrac{v^2}{5}\right)=\dfrac{150\,000}{v}+60v$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[40; 90]$.

Kiến thức: mặt cắt là hình thang có chiều cao $10\cos\theta$, đáy nhỏ $10$, đáy lớn $10+20\sin\theta$; đạo hàm của $\sin$, $\cos$ và công thức $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ (lớp 11).

Gợi ý các bước:

1. Lập $A(\theta)=100\cos\theta(1+\sin\theta)$.
2. Tính $A'(\theta)$ và đưa về phương trình theo $\sin\theta$.
3. So sánh với giá trị tại $\theta=0$.

Kiến thức: nếu nửa chiều rộng của cửa là $x$ thì đỉnh trên của cửa nằm trên nửa đường tròn, nên chiều cao là $\sqrt{100-x^2}$ (định lí Pythagore).

Gợi ý các bước:

1. Lập $S(x)=2x\sqrt{100-x^2}$ với $0<x<10$.
2. Tính $S'(x)$, giải $S'(x)=0$.