Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Một xưởng cần làm những chiếc thùng tôn không nắp, đáy hình vuông, chứa được đúng $32$ dm³ (tức $32$ lít). Thùng càng tốn ít tôn thì càng rẻ. Nếu đáy rộng $2$ dm thì thùng phải cao $8$ dm; nếu đáy rộng $6$ dm thì chỉ cần cao chưa đến $1$ dm. Nên chọn cạnh đáy bao nhiêu để tốn ít tôn nhất?

Bài toán tối ưu

Khám phá: thử vài kích thước

Gọi cạnh đáy là $x$ (dm). Chiều cao là $h=\dfrac{32}{x^2}$ , và diện tích tôn (đáy và bốn mặt bên) là $S(x)=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x}.$

$x$ (dm)	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$S(x)$ (dm²)	$68$	$\approx51{,}67$	$48$	$50{,}6$	$\approx57{,}33$

Đáy nhỏ thì thành cao, tốn tôn ở mặt bên; đáy lớn thì tốn tôn ở đáy. Giá trị tốt nhất có vẻ ở gần $x=4$ , nhưng bảng chưa chứng minh được điều đó. Đạo hàm sẽ trả lời chính xác.

Ví dụ Thùng tôn tốn ít vật liệu nhất

Tìm cạnh đáy và chiều cao của thùng tôn không nắp, đáy vuông, thể tích $32$ dm³, sao cho diện tích tôn cần dùng là nhỏ nhất.

Lời giải. Với cạnh đáy $x>0$ , diện tích tôn là $S(x)=x^2+\dfrac{128}{x}$ (phần khám phá). Ta tìm giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$ :

$S'(x)=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2(x^3-64)}{x^2},\qquad S'(x)=0\iff x^3=64\iff x=4.$

Với $0<x<4$ thì $S'<0$ , với $x>4$ thì $S'>0$ , nên $S$ nhỏ nhất tại $x=4$ : $S(4)=16+32=48$ . Khi đó $h=\dfrac{32}{16}=2$ .

Vậy nên làm thùng có đáy $4\times4$ dm và cao $2$ dm; lượng tôn ít nhất là $48$ dm².

Kiểm tra. Thể tích $4\cdot4\cdot2=32$ dm³, đúng yêu cầu.

Diện tích tôn

S(x)=x^2+\dfrac{128}{x}

Bài toán kinh doanh cũng có dạng này, nhưng miền của ẩn thường là một đoạn, nên phải so sánh cả hai đầu mút.

Ví dụ Lợi nhuận lớn nhất

Một công ty ước tính nếu sản xuất $x$ trăm sản phẩm mỗi tháng ( $0\le x\le 15$ ) thì lợi nhuận là $P(x)=-x^3+9x^2+120x-200$ (triệu đồng). Công ty nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?

Lời giải. Ta tìm giá trị lớn nhất của $P$ trên đoạn $[0; 15]$ . Đạo hàm là một tam thức, ta phân tích thành nhân tử:

$P'(x)=-3x^2+18x+120=-3(x-10)(x+4)=0\iff x=10\ \ (\text{loại } x=-4).$

So sánh giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút:

$P(0)=-200,\qquad P(10)=-1000+900+1200-200=900,\qquad P(15)=250.$

Vậy công ty nên sản xuất $1000$ sản phẩm mỗi tháng ( $x=10$ ); lợi nhuận lớn nhất là $900$ triệu đồng.

Vận tốc, gia tốc và tốc độ thay đổi

Đạo hàm $f'(t_0)$ là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $f$ tại thời điểm $t_0$ . Với một vật chuyển động trên đường thẳng có quãng đường $s(t)$ :

vận tốc là $v(t)=s'(t)$ ;
gia tốc là $a(t)=v'(t)=s''(t)$ (xem đạo hàm cấp hai ở lớp 11).

Ví dụ Vận tốc lớn nhất

Một chiếc xe thử nghiệm chạy trên đường thẳng với quãng đường $s(t)=-t^3+9t^2$ (mét) sau $t$ giây, $0\le t\le 6$ . Tính gia tốc tại $t=1$ và tìm vận tốc lớn nhất của xe.

Lời giải. Ta đạo hàm hai lần để có vận tốc và gia tốc:

$v(t)=s'(t)=-3t^2+18t,\qquad a(t)=v'(t)=-6t+18.$

Tại $t=1$ : $a(1)=12$ m/s². Để tìm vận tốc lớn nhất trên $[0; 6]$ , ta giải $v'(t)=a(t)=0$ :

$a(t)=0\iff t=3;\qquad v(0)=0,\quad v(3)=-27+54=27,\quad v(6)=-108+108=0.$

Vậy tại $t=1$ gia tốc là $12$ m/s²; vận tốc lớn nhất là $27$ m/s, đạt tại $t=3$ giây.

Nhìn lại. Vận tốc lớn nhất xảy ra đúng lúc gia tốc bằng $0$ : trước đó xe tăng tốc ( $a>0$ ), sau đó giảm tốc ( $a<0$ ).

Tốc độ thay đổi không chỉ dùng cho chuyển động. Ví dụ sau là nhiệt độ.

Ví dụ Cốc trà nguội đi

Nhiệt độ của một cốc trà sau $t$ phút là $T(t)=20+\dfrac{70}{1+0{,}1t}$ (°C). Tính nhiệt độ lúc đầu, và tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm $t=10$ phút.

Lời giải. Lúc đầu $T(0)=20+70=90$ °C. Viết $T(t)=20+70(1+0{,}1t)^{-1}$ rồi đạo hàm hàm hợp:

$T'(t)=-70\cdot0{,}1\cdot(1+0{,}1t)^{-2}=\frac{-7}{(1+0{,}1t)^2},\qquad T'(10)=\frac{-7}{2^2}=-1{,}75.$

Vậy lúc đầu trà nóng $90$ °C; tại $t=10$ phút, nhiệt độ đang giảm với tốc độ $1{,}75$ °C mỗi phút (dấu âm nghĩa là giảm).

Đường đi và chi phí nhỏ nhất

Bài toán có nhiều dữ kiện nên ta giải theo bốn bước.

Đường ống từ trạm bơm

A

đến nhà máy

F

Ví dụ Đường ống rẻ nhất

Nhà máy $F$ cách bờ sông (thẳng) $3$ km, $H$ là điểm trên bờ gần $F$ nhất. Trạm bơm $A$ nằm trên bờ, cách $H$ là $8$ km. Người ta đặt ống dọc bờ từ $A$ đến một điểm $M$ thuộc đoạn $AH$ , rồi đặt ống thẳng từ $M$ đến $F$ . Mỗi km ống dọc bờ tốn $3$ tỉ đồng, mỗi km ống trên đất liền từ $M$ đến $F$ tốn $5$ tỉ đồng. Chọn $M$ thế nào để chi phí nhỏ nhất?

Lời giải.

Hiểu đề. Cần chọn vị trí $M$ trên đoạn $AH$ dài $8$ km; chi phí gồm hai đoạn ống có giá khác nhau.

Tìm cách giải. Đặt $HM=x$ (km), $0\le x\le 8$ . Khi đó $AM=8-x$ và, theo định lí Pythagore, $MF=\sqrt{x^2+9}$ . Chi phí là $C(x)=3(8-x)+5\sqrt{x^2+9}\ \ (\text{tỉ đồng}).$

Giải. Ta giải $C'(x)=0$ ; cả hai vế không âm nên được bình phương:

$C'(x)=-3+\frac{5x}{\sqrt{x^2+9}}=0\iff 5x=3\sqrt{x^2+9}\iff 25x^2=9x^2+81\iff x=\frac94.$

Với $x=\dfrac94=2{,}25$ : $\sqrt{x^2+9}=\sqrt{14{,}0625}=3{,}75$ , nên $C(2{,}25)=3\cdot5{,}75+5\cdot3{,}75=36$ . Hai đầu mút: $C(0)=24+15=39$ , $C(8)=5\sqrt{73}\approx42{,}72$ .

Nhìn lại. Nếu đặt ống thẳng từ $A$ đến $F$ ( $x=8$ ) thì đường ngắn nhất nhưng đắt nhất, vì toàn bộ ống đi trên đất liền.

Vậy chọn $M$ cách $H$ là $2{,}25$ km (cách $A$ là $5{,}75$ km); chi phí nhỏ nhất là $36$ tỉ đồng.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Quên điều kiện của ẩn. Sai: hộp làm từ tấm bìa $60$ cm, cắt hình vuông cạnh $x$ , giải $V'(x)=0$ được $x=10$ và $x=30$ rồi lấy cả hai. Lí do sai: phải có $0<x<30$ để hộp tồn tại. Đúng: chỉ lấy $x=10$ .
Tìm được điểm tới hạn nhưng không kiểm tra đó là lớn nhất hay nhỏ nhất. Sai: " $S'(4)=0$ nên $S(4)$ là lớn nhất". Lí do sai: $S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $4$ . Đúng: $S(4)$ là nhỏ nhất.
Bỏ qua đầu mút trong bài toán trên một đoạn. Sai: kết luận lợi nhuận lớn nhất mà không tính $P(0)$ , $P(15)$ . Lí do sai: giá trị lớn nhất có thể ở đầu mút. Đúng: so sánh cả ba giá trị.
Trả lời thiếu đơn vị hoặc sai đại lượng. Sai: "đáp số là $x=10$ " khi đề hỏi số sản phẩm và $x$ tính theo trăm. Lí do sai: $x=10$ là $10$ trăm. Đúng: $1000$ sản phẩm, lợi nhuận $900$ triệu đồng.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
bài toán tối ưu	optimisation problem
hàm mục tiêu	objective function
điều kiện của ẩn	constraint on the variable
vận tốc	velocity
gia tốc	acceleration
tốc độ thay đổi tức thời	instantaneous rate of change
chi phí	cost
lợi nhuận	profit
doanh thu	revenue

Tóm tắt

Bốn bước: chọn ẩn và điều kiện → lập hàm số → tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền → kết luận có đơn vị.
Miền là một khoảng: dùng bảng biến thiên. Miền là một đoạn: so sánh giá trị tại điểm tới hạn và hai đầu mút.
Chuyển động: $v(t)=s'(t)$ , $a(t)=v'(t)=s''(t)$ ; vận tốc lớn nhất thường đạt khi $a(t)=0$ .
$f'(t_0)$ là tốc độ thay đổi tức thời của $f$ tại $t_0$ ; dấu âm nghĩa là đại lượng đang giảm.
Luôn kiểm tra kết quả: có thoả điều kiện không, có hợp lí với thực tế không.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Một vật chuyển động trên đường thẳng với quãng đường $s(t)=t^3-6t^2+9t$ (mét) sau $t$ giây. Tìm các thời điểm vận tốc bằng $0$ , và tính gia tốc tại các thời điểm đó.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $v(t)=s'(t)$ , $a(t)=s''(t)$ .

Gợi ý các bước:

Tính $v(t)$ và giải $v(t)=0$ .
Tính $a(t)=6t-12$ tại từng nghiệm.

Xem lời giải

$v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)=0\iff t=1$ hoặc $t=3$ . $a(t)=6t-12$ : $a(1)=-6$ , $a(3)=6$ .

Đáp số. $t=1$ s (gia tốc $-6$ m/s²) và $t=3$ s (gia tốc $6$ m/s²).

Bài 2

Bác Hùng rào một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $200$ m², một cạnh dựa vào bức tường có sẵn (không cần rào). Tìm kích thước vườn để tổng chiều dài hàng rào là nhỏ nhất.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: các bước giải bài toán tối ưu; tìm giá trị nhỏ nhất trên $(0; +\infty)$ bằng bảng biến thiên.

Gợi ý các bước:

Gọi $x$ là cạnh vuông góc với tường; cạnh song song với tường là $\dfrac{200}{x}$ .
Hàng rào dài $L(x)=2x+\dfrac{200}{x}$ ; tìm giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

$L'(x)=2-\dfrac{200}{x^2}=0\iff x=10$ . $L'<0$ khi $0<x<10$ , $L'>0$ khi $x>10$ , nên $L$ nhỏ nhất tại $x=10$ : $L(10)=20+20=40$ . Cạnh song song với tường là $\dfrac{200}{10}=20$ m.

Đáp số. Vườn $10$ m $\times$ $20$ m (cạnh $20$ m dựa tường); hàng rào ngắn nhất $40$ m.

Bài 3

Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $60$ cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ cm ở bốn góc rồi gấp lên thành một chiếc hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích hộp lớn nhất.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hộp có đáy là hình vuông cạnh $60-2x$ và chiều cao $x$ , với $0<x<30$ .

Gợi ý các bước:

Lập $V(x)=x(60-2x)^2$ .
Tính $V'(x)$ , phân tích thành nhân tử, chỉ giữ nghiệm thuộc $(0; 30)$ .

Xem lời giải

$V'(x)=(60-2x)^2-4x(60-2x)=(60-2x)(60-6x)=12(x-30)(x-10)$ . Trong $(0; 30)$ chỉ có $x=10$ ; $V'>0$ khi $0<x<10$ , $V'<0$ khi $10<x<30$ . $V(10)=10\cdot40^2=16\,000$ .

Đáp số. $x=10$ cm; thể tích lớn nhất $16\,000$ cm³ ( $16$ lít).

Bài 4

Dân số của một thị trấn sau $t$ năm (tính từ năm 2025) được ước tính là $N(t)=\dfrac{26t+10}{t+5}$ (nghìn người). Tính tốc độ tăng dân số tại thời điểm $t=5$ . Về lâu dài dân số tiến tới khoảng bao nhiêu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tốc độ thay đổi tức thời là $N'(t)$ ; giá trị về lâu dài là $\lim\limits_{t\to+\infty}N(t)$ (tiệm cận ngang).

Gợi ý các bước:

Tính $N'(t)$ bằng công thức đạo hàm của thương.
Thay $t=5$ và tính giới hạn.

Xem lời giải

$N'(t)=\dfrac{26(t+5)-(26t+10)}{(t+5)^2}=\dfrac{120}{(t+5)^2}$ , nên $N'(5)=\dfrac{120}{100}=1{,}2$ nghìn người/năm. $\lim\limits_{t\to+\infty}N(t)=26$ .

Đáp số. Tăng $1{,}2$ nghìn người mỗi năm (tức $1200$ người/năm); về lâu dài dân số tiến gần $26$ nghìn người.

Bài 5

Một khách sạn có $50$ phòng. Với giá $400$ nghìn đồng mỗi đêm thì kín phòng; cứ tăng giá thêm $20$ nghìn đồng thì có thêm một phòng bị bỏ trống. Gọi $x$ là số lần tăng giá ( $0\le x\le 50$ ) và $R(x)$ là doanh thu mỗi đêm (nghìn đồng). Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $R(x)=(400+20x)(50-x)$ .

b) $R$ đồng biến trên khoảng $(0; 15)$ .

c) Doanh thu lớn nhất khi giá phòng là $700$ nghìn đồng.

d) Doanh thu lớn nhất mỗi đêm là $24\,000\,000$ đồng.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: doanh thu = giá một phòng $\times$ số phòng được thuê.

Gợi ý các bước:

Viết giá và số phòng theo $x$ .
Tính $R'(x)$ , tìm điểm $R'(x)=0$ .
Tính giá phòng và doanh thu tại điểm đó.

Xem lời giải

a) Đúng: giá là $400+20x$ , số phòng thuê là $50-x$ .

b) Đúng: $R(x)=-20x^2+600x+20\,000$ , $R'(x)=600-40x>0$ khi $x<15$ .

c) Đúng: $R'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=15$ , nên $R$ lớn nhất tại $x=15$ ; giá $400+300=700$ nghìn đồng.

d) Sai: $R(15)=700\cdot35=24\,500$ nghìn đồng, tức $24\,500\,000$ đồng.

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Bài 6

Một lon nước hình trụ có nắp, thể tích $1000$ cm³. Tìm bán kính đáy $r$ (cm) để tốn ít vật liệu nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thể tích $V=\pi r^2h$ ; diện tích toàn phần $S=2\pi r^2+2\pi rh$ .

Gợi ý các bước:

Từ $\pi r^2h=1000$ , viết $h$ theo $r$ và lập $S(r)=2\pi r^2+\dfrac{2000}{r}$ .
Giải $S'(r)=0$ và kiểm tra dấu.

Xem lời giải

$S'(r)=4\pi r-\dfrac{2000}{r^2}=0\iff r^3=\dfrac{500}{\pi}\iff r=\sqrt[3]{\dfrac{500}{\pi}}\approx5{,}419$ . $S'<0$ khi $r$ nhỏ hơn giá trị này và $S'>0$ khi lớn hơn, nên đây là điểm nhỏ nhất.

Đáp số. $r\approx5{,}42$ .

Bài 7

Trong một đợt cúm, số người mắc bệnh tính đến ngày thứ $t$ được ước tính là $f(t)=30t^2-t^3$ ( $0\le t\le 20$ ). Tốc độ lây lan là $f'(t)$ (người/ngày). Ngày nào tốc độ lây lan lớn nhất, và tốc độ đó là bao nhiêu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tìm giá trị lớn nhất của $g(t)=f'(t)$ trên đoạn $[0; 20]$ .

Gợi ý các bước:

Tính $g(t)=f'(t)=60t-3t^2$ .
Giải $g'(t)=0$ và so sánh với hai đầu mút.

Xem lời giải

$g'(t)=60-6t=0\iff t=10$ . $g(0)=0$ , $g(10)=600-300=300$ , $g(20)=1200-1200=0$ .

Đáp số. Ngày thứ $10$ ; tốc độ lây lan lớn nhất là $300$ người/ngày.

Bài 8

Một xe tải chạy quãng đường $300$ km với vận tốc không đổi $v$ (km/h), $40\le v\le 90$ . Mỗi giờ chạy xe tốn $500$ nghìn đồng (lương, khấu hao) cộng với tiền nhiên liệu $\dfrac{v^2}{5}$ nghìn đồng. Chọn $v$ để tổng chi phí chuyến đi nhỏ nhất.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thời gian chạy là $\dfrac{300}{v}$ giờ; tổng chi phí bằng chi phí mỗi giờ nhân thời gian.

Gợi ý các bước:

Lập $C(v)=\dfrac{300}{v}\left(500+\dfrac{v^2}{5}\right)=\dfrac{150\,000}{v}+60v$ .
Tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[40; 90]$ .

Xem lời giải

$C'(v)=-\dfrac{150\,000}{v^2}+60=0\iff v^2=2500\iff v=50$ . $C(40)=3750+2400=6150$ , $C(50)=3000+3000=6000$ , $C(90)=\dfrac{5000}{3}+5400\approx7066{,}67$ .

Đáp số. $v=50$ km/h; chi phí nhỏ nhất $6000$ nghìn đồng ( $6$ triệu đồng).

Bài 9 Ôn tập

Một tấm tôn rộng $30$ cm được gấp thành máng nước: đáy rộng $10$ cm, hai thành mỗi bên rộng $10$ cm, mỗi thành nghiêng ra ngoài một góc $\theta$ so với phương thẳng đứng ( $0\le\theta<\dfrac{\pi}{2}$ ). Tìm $\theta$ để diện tích mặt cắt của máng lớn nhất.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mặt cắt là hình thang có chiều cao $10\cos\theta$ , đáy nhỏ $10$ , đáy lớn $10+20\sin\theta$ ; đạo hàm của $\sin$ , $\cos$ và công thức $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ (lớp 11).

Gợi ý các bước:

Lập $A(\theta)=100\cos\theta(1+\sin\theta)$ .
Tính $A'(\theta)$ và đưa về phương trình theo $\sin\theta$ .
So sánh với giá trị tại $\theta=0$ .

Xem lời giải

$A=\dfrac{10+10+20\sin\theta}{2}\cdot10\cos\theta=100\cos\theta(1+\sin\theta)$ . $A'(\theta)=100(\cos^2\theta-\sin\theta-\sin^2\theta)=100(1-\sin\theta-2\sin^2\theta)=-100(2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)$ . Vậy $A'=0\iff\sin\theta=\dfrac12\iff\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ; $A'>0$ trước và $A'<0$ sau điểm này. $A\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=100\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac32=75\sqrt3\approx129{,}9$ , lớn hơn $A(0)=100$ .

Đáp số. $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ( $30^\circ$ ); diện tích mặt cắt lớn nhất $75\sqrt3\approx129{,}9$ cm².

Bài 10 Thử thách

Một ô cửa sổ hình chữ nhật được đặt trong một khung hình bán nguyệt bán kính $10$ dm, một cạnh của cửa nằm trên đường kính. Tìm kích thước cửa để diện tích cửa lớn nhất.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nếu nửa chiều rộng của cửa là $x$ thì đỉnh trên của cửa nằm trên nửa đường tròn, nên chiều cao là $\sqrt{100-x^2}$ (định lí Pythagore).

Gợi ý các bước:

Lập $S(x)=2x\sqrt{100-x^2}$ với $0<x<10$ .
Tính $S'(x)$ , giải $S'(x)=0$ .

Xem lời giải

$S'(x)=2\sqrt{100-x^2}-\dfrac{2x^2}{\sqrt{100-x^2}}=\dfrac{2(100-2x^2)}{\sqrt{100-x^2}}=0\iff x=5\sqrt2$ . $S'>0$ khi $x<5\sqrt2$ và $S'<0$ khi $x>5\sqrt2$ . Chiều rộng $2x=10\sqrt2$ , chiều cao $\sqrt{100-50}=5\sqrt2$ , diện tích $10\sqrt2\cdot5\sqrt2=100$ .

Đáp số. Cửa rộng $10\sqrt2\approx14{,}14$ dm, cao $5\sqrt2\approx7{,}07$ dm; diện tích lớn nhất $100$ dm².

Bài toán tối ưu

Khám phá: thử vài kích thước

Vận tốc, gia tốc và tốc độ thay đổi

Đường đi và chi phí nhỏ nhất

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Vận tốc của quả bóng là $v(t)=20-10t$ (m/s).	Đúng	Sai
b) Quả bóng đạt độ cao lớn nhất tại thời điểm $t=2$ giây.	Đúng	Sai
c) Độ cao lớn nhất của quả bóng là $20$ m.	Đúng	Sai
d) Tốc độ của quả bóng lúc chạm đất lớn hơn $20$ m/s.	Đúng	Sai