Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Kiến thức: sơ đồ khảo sát; hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'$, tìm cực trị và lập bảng biến thiên.
2. Tìm giao điểm với trục hoành: $x(x^2-3)=0$.

Kiến thức: $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có $y'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$, tiệm cận đứng $x=-\dfrac dc$, tiệm cận ngang $y=\dfrac ac$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'$ và xét dấu.
2. Tìm hai tiệm cận và giao điểm với các trục.

Kiến thức: chia đa thức để viết $y=x+\dfrac{1}{x+1}$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'=1-\dfrac{1}{(x+1)^2}$ và quy đồng.
2. Lập bảng biến thiên với các mốc $-2$, $-1$, $0$.

Kiến thức: số nghiệm của $f(x)=k$ bằng số giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=k$.

Gợi ý các bước:

1. So sánh $k$ với giá trị cực đại $2$ và cực tiểu $-2$.
2. Đếm giao điểm.

Kiến thức: bảng biến thiên của hàm bậc ba; tâm đối xứng có hoành độ là nghiệm của $y''=0$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'$, tìm cực trị.
2. So sánh $0$ với giá trị cực đại và cực tiểu để đếm nghiệm.
3. Giải $y''=0$.

Kiến thức: tiếp tuyến tại $x_0$: $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$ (đạo hàm, lớp 11).

Gợi ý các bước:

1. Tính $f(3)$ và $f'(3)$.
2. Viết tiếp tuyến rồi cho $x=0$.

Kiến thức: dấu của $N'(t)$ cho biết tăng hay giảm; tiệm cận ngang cho biết giá trị về lâu dài.

Gợi ý các bước:

1. Tính $N(0)$ và $N'(t)$.
2. Tính $\lim\limits_{t\to+\infty}N(t)$.

Kiến thức: $y=\dfrac{ax+b}{x+c}$ có tiệm cận đứng $x=-c$ và tiệm cận ngang $y=a$.

Gợi ý các bước:

1. Từ hai tiệm cận suy ra $c$ và $a$.
2. Thay điểm $(0; -1)$ để tìm $b$.

Kiến thức: hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình $\dfrac{x+1}{x-1}=x-1$ với $x\neq1$; giải phương trình bậc hai (lớp 10).

Gợi ý các bước:

1. Nhân hai vế với $x-1$ và đưa về phương trình bậc hai.
2. Kiểm tra điều kiện $x\neq1$, rồi tính tung độ.

Kiến thức: hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc; hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_0$ là $y'(x_0)$.

Gợi ý các bước:

1. Giải $y'(x_0)=\dfrac{-2}{(x_0-1)^2}=-2$.
2. Với mỗi nghiệm, tính $y_0$ và viết tiếp tuyến; kiểm tra tiếp tuyến không trùng $y=-2x$.