Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Kiến thức: $y'>0$ trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, $y'<0$ thì nghịch biến.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'$ và phân tích thành nhân tử.
2. Xét dấu $y'$ (chú ý hệ số âm).

Kiến thức: $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại điểm cực tiểu, từ $+$ sang $-$ tại điểm cực đại.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'=4x^3-16x$ và tìm ba nghiệm.
2. Lập bảng biến thiên.
3. Tính giá trị của $y$ tại các điểm cực trị.

Kiến thức: $\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$.

Gợi ý các bước:

1. Tìm tập xác định.
2. Tính $y'$ và xem dấu của tử.

Kiến thức: quy đồng $y'$ để xét dấu; nhớ $x=0$ không thuộc tập xác định.

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}$.
2. Lập bảng biến thiên với các mốc $-2$, $0$, $2$.

Kiến thức: thừa số $(x-1)^2$ không âm nên không làm $f'$ đổi dấu; cực trị chỉ có tại nơi $f'$ đổi dấu.

Gợi ý các bước:

1. Lập bảng xét dấu của $f'$ với các mốc $-2$, $0$, $1$.
2. Đọc khoảng đơn điệu và các điểm đổi dấu.

Kiến thức: với hàm bậc ba có hai cực trị và $a>0$, điểm cực đại là nghiệm nhỏ hơn của $y'$.

Gợi ý các bước:

1. Giải $y'=3x^2-6x-9=0$.
2. Tính $y$ tại hai nghiệm.

Kiến thức: đạo hàm của thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $C'(t)$ và rút gọn tử.
2. Xét dấu $C'(t)$ với $t>0$.

Kiến thức: phương trình $\sin x=\dfrac12$ (phương trình lượng giác cơ bản, lớp 11) và dấu hiệu dùng đạo hàm cấp hai.

Gợi ý các bước:

1. Giải $y'=1-2\sin x=0$ trên $(0; \pi)$.
2. Tính $y''=-2\cos x$ tại từng nghiệm.

Kiến thức: tam thức bậc hai có $\Delta<0$ thì luôn cùng dấu với $a$ (xem dấu của tam thức bậc hai).

Gợi ý các bước:

1. Tính $y'$.
2. Tính biệt thức của $y'$ và xem dấu của $a$.

Kiến thức: $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$; hàm căn chỉ xác định khi biểu thức dưới căn không âm.

Gợi ý các bước:

1. Tìm tập xác định.
2. Tính $y'$ và quy đồng thành một phân thức.
3. Xét dấu tử trên $(-2; 2)$.