Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Một chiếc flycam bay trong $7$ phút. Độ cao của nó sau $t$ phút là $h(t)=t^3-12t^2+36t+10$ (mét). Lúc cất cánh từ nóc nhà nó ở độ cao $10$ m, sau $2$ phút ở $42$ m, sau $6$ phút lại xuống còn $10$ m, rồi lên $17$ m khi hết giờ. Vậy trong khoảng thời gian nào flycam đang lên cao, trong khoảng nào đang hạ xuống, và nó "đổi chiều" ở những thời điểm nào?

Để trả lời chính xác, ta không cần tính độ cao ở thật nhiều thời điểm. Chỉ cần biết dấu của đạo hàm $h'(t)$ .

Tính đơn điệu

Khám phá: khi nào đồ thị đi lên?

Ta tính độ cao tại các phút tròn và đạo hàm $h'(t)=3t^2-24t+36=3(t-2)(t-6)$ :

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$
$h(t)$	$10$	$35$	$42$	$37$	$26$	$15$	$10$	$17$
$h'(t)$	$36$	$15$	$0$	$-9$	$-12$	$-9$	$0$	$15$

Từ $t=0$ đến $t=2$ độ cao tăng và $h'>0$ . Từ $t=2$ đến $t=6$ độ cao giảm và $h'<0$ . Sau $t=6$ độ cao lại tăng và $h'>0$ . Điều này hợp lí: $h'(t)$ là hệ số góc của tiếp tuyến, hệ số góc dương thì đồ thị đi lên.

Độ cao của flycam

h(t)=t^3-12t^2+36t+10

Vì sao định lí đúng? Đạo hàm $f'(x)$ là giới hạn của tỉ số $\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ . Nếu đồ thị có tiếp tuyến dốc lên ở mọi điểm của $K$ thì nó không thể đi xuống ở đâu trong $K$ . Một vài điểm có tiếp tuyến nằm ngang (như $y=x^3$ tại $x=0$ ) không làm đồ thị quay đầu.

Để xét tính đơn điệu, ta làm theo thứ tự:

Tìm tập xác định.
Tính $f'(x)$ , tìm các điểm làm $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định.
Lập bảng biến thiên: xét dấu $f'$ trên từng khoảng.
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ Hàm bậc ba

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=x^3-6x^2+9x+1$ .

Lời giải. Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ . Ta tính đạo hàm và phân tích thành nhân tử để thấy dấu:

$y'=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3),\qquad y'=0\iff x=1\ \text{hoặc}\ x=3.$

Tam thức $y'$ có $a=3>0$ nên dương ở ngoài hai nghiệm, âm ở giữa. Ta có $y(1)=5$ , $y(3)=1$ và bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$		$1$		$3$		$+\infty$
$y'$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$\nearrow$	$5$	$\searrow$	$1$	$\nearrow$	$+\infty$

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$ .

Ví dụ tiếp theo cho thấy $f'(x_0)=0$ chưa chắc làm hàm số đổi chiều.

Cực trị của hàm số

Trong bài toán flycam, thời điểm $t=2$ cho độ cao lớn hơn mọi thời điểm lân cận, dù chưa chắc là cao nhất trong cả chuyến bay. Ta gọi đó là một điểm cực đại.

Lí do: đổi dấu từ $+$ sang $-$ nghĩa là đồ thị đi lên ngay trước $x_0$ và đi xuống ngay sau $x_0$ , nên $f(x_0)$ lớn hơn các giá trị lân cận. Trong Ví dụ 1, $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=1$ , nên $x=1$ là điểm cực đại, $y_{\text{CĐ}}=5$ ; tương tự $x=3$ là điểm cực tiểu, $y_{\text{CT}}=1$ .

Ví dụ Hàm bậc bốn có ba cực trị

Tìm cực trị của hàm số $y=x^4-2x^2+3$ .

Lời giải. Ta tìm nghiệm của $y'$ rồi xét dấu từng thừa số:

$y'=4x^3-4x=4x(x-1)(x+1),\qquad y'=0\iff x\in\{-1; 0; 1\}.$

Thay vào hàm số: $y(-1)=2$ , $y(0)=3$ , $y(1)=2$ . Bảng biến thiên:

$x$	$-\infty$		$-1$		$0$		$1$		$+\infty$
$y'$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$+\infty$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$2$	$\nearrow$	$+\infty$

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm1$ với $y_{\text{CT}}=2$ , và đạt cực đại tại $x=0$ với $y_{\text{CĐ}}=3$ .

Đồ thị

y=x^4-2x^2+3

Với phân thức, điểm làm mẫu bằng $0$ không thuộc tập xác định, nhưng vẫn phải ghi vào bảng biến thiên để chia khoảng.

Ví dụ Hàm phân thức

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $y=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ .

Lời giải. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ . Dùng công thức đạo hàm của thương:

$y'=\frac{2x(x-1)-(x^2+3)}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x-3}{(x-1)^2}=\frac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}.$

Mẫu luôn dương trên $D$ , nên dấu của $y'$ là dấu của $(x+1)(x-3)$ . Ta có $y(-1)=-2$ , $y(3)=6$ :

$x$	$-\infty$		$-1$		$1$		$3$		$+\infty$
$y'$		$+$	$0$	$-$	$\Vert$	$-$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$\nearrow$	$-2$	$\searrow$	$\Vert$	$\searrow$	$6$	$\nearrow$	$+\infty$

Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(3; +\infty)$ , nghịch biến trên $(-1; 1)$ và $(1; 3)$ ; cực đại $y_{\text{CĐ}}=y(-1)=-2$ , cực tiểu $y_{\text{CT}}=y(3)=6$ .

Nhìn lại. Ở đây $y_{\text{CĐ}}<y_{\text{CT}}$ . Không có gì sai: cực đại chỉ lớn hơn các giá trị gần nó.

Đồ thị

y=\dfrac{x^2+3}{x-1}

Dùng đạo hàm cấp hai

Khi xét dấu $f'$ khó (thường gặp với hàm lượng giác), ta có thể dùng đạo hàm cấp hai (lớp 11).

Ví dụ Hàm lượng giác

Tìm cực trị của hàm số $f(x)=x-2\sin x$ trên khoảng $(0; 2\pi)$ .

Lời giải. Ta giải $f'(x)=0$ trên $(0; 2\pi)$ , rồi xét dấu $f''$ tại từng nghiệm:

$f'(x)=1-2\cos x=0\iff \cos x=\frac12\iff x=\frac{\pi}{3}\ \text{hoặc}\ x=\frac{5\pi}{3}.$

Đạo hàm cấp hai là $f''(x)=2\sin x$ :

$f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt3>0,\qquad f''\left(\frac{5\pi}{3}\right)=-\sqrt3<0.$

Vậy $f$ đạt cực tiểu tại $x=\dfrac{\pi}{3}$ với $f_{\text{CT}}=\dfrac{\pi}{3}-\sqrt3$ , và đạt cực đại tại $x=\dfrac{5\pi}{3}$ với $f_{\text{CĐ}}=\dfrac{5\pi}{3}+\sqrt3$ .

Cuối cùng, ta trả lời câu hỏi về flycam ở đầu bài.

Ví dụ Flycam lên và xuống

Độ cao của flycam là $h(t)=t^3-12t^2+36t+10$ (mét), $0\le t\le 7$ (phút). Khi nào flycam lên cao, khi nào hạ xuống? Tìm các cực trị.

Lời giải. Ta xét dấu $h'(t)=3(t-2)(t-6)$ trên $(0; 7)$ : tam thức có $a=3>0$ nên âm giữa hai nghiệm $2$ và $6$ , dương ở ngoài.

$h'(t)>0 \text{ khi } t\in(0; 2)\cup(6; 7),\qquad h'(t)<0 \text{ khi } t\in(2; 6).$

$h'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $t=2$ và từ $-$ sang $+$ tại $t=6$ .

Vậy flycam lên cao trong $2$ phút đầu và trong phút cuối (từ phút thứ $6$ đến phút thứ $7$ ), hạ xuống từ phút thứ $2$ đến phút thứ $6$ . Nó đạt cực đại $42$ m lúc $t=2$ và cực tiểu $10$ m lúc $t=6$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Gộp hai khoảng bằng dấu hợp. Sai: " $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ nghịch biến trên $(-\infty; 1)\cup(1; +\infty)$ ". Lí do sai: $y(0)=-2<y(2)=4$ dù $0<2$ . Đúng: hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ .
Cho rằng $f'(x_0)=0$ là có cực trị. Sai: " $y=x^3-3x^2+3x+5$ có $y'(1)=0$ nên đạt cực trị tại $x=1$ ". Lí do sai: $y'=3(x-1)^2$ không đổi dấu qua $x=1$ . Đúng: hàm số không có cực trị.
Nhầm điểm cực trị với giá trị cực trị. Sai: "điểm cực đại của $y=x^4-2x^2+3$ là $3$ ". Lí do sai: điểm cực đại là giá trị của $x$ . Đúng: điểm cực đại $x=0$ , giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}=3$ , điểm cực đại của đồ thị $(0; 3)$ .
Quên tập xác định. Sai: lập bảng biến thiên của $y=\dfrac{x^2+3}{x-1}$ mà không ghi $x=1$ . Lí do sai: dấu của $y'$ có thể đổi qua $x=1$ và hàm số không xác định tại đó. Đúng: luôn ghi các điểm không xác định vào bảng.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đồng biến	increasing
nghịch biến	decreasing
tính đơn điệu	monotonicity
bảng biến thiên	table of variations
điểm cực đại	local maximum point
điểm cực tiểu	local minimum point
giá trị cực đại	local maximum value
giá trị cực tiểu	local minimum value
cực trị	extremum (turning point)
đạo hàm cấp hai	second derivative

Tóm tắt

$f'>0$ trên $K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; $f'<0$ thì nghịch biến. $f'\ge0$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm thì vẫn đồng biến.
Các bước: tập xác định → $f'$ và nghiệm của $f'$ → bảng biến thiên → kết luận theo từng khoảng.
$f'$ đổi dấu $+\to-$ tại $x_0$ : cực đại; $-\to+$ : cực tiểu. Không đổi dấu: không có cực trị.
Dấu hiệu cấp hai: $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)<0$ thì cực đại, $f''(x_0)>0$ thì cực tiểu.
Phân biệt điểm cực trị $x_0$ , giá trị cực trị $f(x_0)$ và điểm cực trị của đồ thị $(x_0; f(x_0))$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y=-x^3+3x^2+1$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $y'>0$ trên một khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng đó, $y'<0$ thì nghịch biến.

Gợi ý các bước:

Tính $y'$ và phân tích thành nhân tử.
Xét dấu $y'$ (chú ý hệ số âm).

Xem lời giải

$y'=-3x^2+6x=-3x(x-2)$ , có nghiệm $0$ và $2$ . Tam thức có $a=-3<0$ nên dương giữa hai nghiệm, âm ở ngoài.

Đáp số. Đồng biến trên $(0; 2)$ ; nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$ .

Bài 2

Tìm cực trị của hàm số $y=x^4-8x^2+1$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại điểm cực tiểu, từ $+$ sang $-$ tại điểm cực đại.

Gợi ý các bước:

Tính $y'=4x^3-16x$ và tìm ba nghiệm.
Lập bảng biến thiên.
Tính giá trị của $y$ tại các điểm cực trị.

Xem lời giải

$y'=4x(x-2)(x+2)$ , nghiệm $-2$ , $0$ , $2$ . Dấu của $y'$ lần lượt là $-, +, -, +$ trên bốn khoảng. Vậy cực tiểu tại $x=\pm2$ với $y=16-32+1=-15$ , cực đại tại $x=0$ với $y=1$ .

Đáp số. $y_{\text{CT}}=-15$ tại $x=\pm2$ ; $y_{\text{CĐ}}=1$ tại $x=0$ .

Bài 3

Xét tính đơn điệu của hàm số $y=\dfrac{x+2}{x-1}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\left(\dfrac{ax+b}{cx+d}\right)'=\dfrac{ad-bc}{(cx+d)^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tìm tập xác định.
Tính $y'$ và xem dấu của tử.

Xem lời giải

$D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$ và $y'=\dfrac{1\cdot(-1)-2\cdot1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}<0$ với mọi $x\in D$ .

Đáp số. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$ , không có cực trị.

Bài 4

Tìm cực trị của hàm số $y=x+\dfrac{4}{x}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy đồng $y'$ để xét dấu; nhớ $x=0$ không thuộc tập xác định.

Gợi ý các bước:

Tính $y'=1-\dfrac{4}{x^2}=\dfrac{x^2-4}{x^2}$ .
Lập bảng biến thiên với các mốc $-2$ , $0$ , $2$ .

Xem lời giải

$y'=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x^2}$ , dấu là dấu của $(x-2)(x+2)$ : dương khi $|x|>2$ , âm khi $0<|x|<2$ . Vậy $y'$ đổi dấu $+\to-$ tại $x=-2$ và $-\to+$ tại $x=2$ .

Đáp số. $y_{\text{CĐ}}=y(-2)=-4$ ; $y_{\text{CT}}=y(2)=4$ .

Bài 5

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f'(x)=x(x-1)^2(x+2)$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $f$ đồng biến trên khoảng $(0; +\infty)$ .

b) $f$ có ba điểm cực trị.

c) $f$ đạt cực đại tại $x=-2$ .

d) $f$ nghịch biến trên khoảng $(-2; 1)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thừa số $(x-1)^2$ không âm nên không làm $f'$ đổi dấu; cực trị chỉ có tại nơi $f'$ đổi dấu.

Gợi ý các bước:

Lập bảng xét dấu của $f'$ với các mốc $-2$ , $0$ , $1$ .
Đọc khoảng đơn điệu và các điểm đổi dấu.

Xem lời giải

Dấu của $f'$ là dấu của $x(x+2)$ (trừ tại $x=1$ thì $f'=0$ ): dương trên $(-\infty; -2)$ , âm trên $(-2; 0)$ , dương trên $(0; 1)$ và $(1; +\infty)$ .

a) Đúng: $f'\ge 0$ trên $(0; +\infty)$ và chỉ bằng $0$ tại $x=1$ .

b) Sai: $f'$ chỉ đổi dấu tại $x=-2$ và $x=0$ , nên có hai điểm cực trị.

c) Đúng: $f'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-2$ .

d) Sai: trên $(0; 1)$ ta có $f'>0$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Bài 6

Hàm số $y=x^3-3x^2-9x+4$ có giá trị cực đại $y_{\text{CĐ}}$ và giá trị cực tiểu $y_{\text{CT}}$ . Tính $y_{\text{CĐ}}-y_{\text{CT}}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: với hàm bậc ba có hai cực trị và $a>0$ , điểm cực đại là nghiệm nhỏ hơn của $y'$ .

Gợi ý các bước:

Giải $y'=3x^2-6x-9=0$ .
Tính $y$ tại hai nghiệm.

Xem lời giải

$y'=3(x+1)(x-3)$ . Vì $a=3>0$ nên $y'$ đổi dấu $+\to-$ tại $x=-1$ và $-\to+$ tại $x=3$ . $y(-1)=-1-3+9+4=9$ , $y(3)=27-27-27+4=-23$ . Hiệu là $9-(-23)=32$ .

Đáp số. $32$ .

Bài 7

Nồng độ một loại thuốc trong máu sau khi tiêm $t$ giờ là $C(t)=\dfrac{30t}{t^2+9}$ (mg/l), $t>0$ . Trong khoảng thời gian nào nồng độ tăng, khi nào giảm? Nồng độ đạt cực đại lúc nào và bằng bao nhiêu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đạo hàm của thương $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $C'(t)$ và rút gọn tử.
Xét dấu $C'(t)$ với $t>0$ .

Xem lời giải

$C'(t)=\dfrac{30(t^2+9)-30t\cdot 2t}{(t^2+9)^2}=\dfrac{30(9-t^2)}{(t^2+9)^2}$ . Với $t>0$ : $C'>0$ khi $0<t<3$ , $C'<0$ khi $t>3$ . Vậy $C$ đạt cực đại tại $t=3$ , $C(3)=\dfrac{90}{18}=5$ .

Đáp số. Tăng trong $3$ giờ đầu, giảm sau đó; cực đại $5$ mg/l lúc $t=3$ giờ.

Bài 8 Ôn tập

Tìm cực trị của hàm số $y=x+2\cos x$ trên khoảng $(0; \pi)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: phương trình $\sin x=\dfrac12$ (phương trình lượng giác cơ bản, lớp 11) và dấu hiệu dùng đạo hàm cấp hai.

Gợi ý các bước:

Giải $y'=1-2\sin x=0$ trên $(0; \pi)$ .
Tính $y''=-2\cos x$ tại từng nghiệm.

Xem lời giải

$\sin x=\dfrac12$ cho $x=\dfrac{\pi}{6}$ hoặc $x=\dfrac{5\pi}{6}$ . $y''\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sqrt3<0$ : cực đại; $y''\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\sqrt3>0$ : cực tiểu.

Đáp số. $y_{\text{CĐ}}=\dfrac{\pi}{6}+\sqrt3$ tại $x=\dfrac{\pi}{6}$ ; $y_{\text{CT}}=\dfrac{5\pi}{6}-\sqrt3$ tại $x=\dfrac{5\pi}{6}$ .

Bài 9 Ôn tập

Chứng minh hàm số $y=x^3+x^2+x+1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tam thức bậc hai có $\Delta<0$ thì luôn cùng dấu với $a$ (xem dấu của tam thức bậc hai).

Gợi ý các bước:

Tính $y'$ .
Tính biệt thức của $y'$ và xem dấu của $a$ .

Xem lời giải

$y'=3x^2+2x+1$ có $\Delta=4-12=-8<0$ và $a=3>0$ , nên $y'>0$ với mọi $x$ .

Đáp số. $y'>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$ , nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

Bài 10 Thử thách

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số $y=x\sqrt{4-x^2}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\left(\sqrt{u}\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ ; hàm căn chỉ xác định khi biểu thức dưới căn không âm.

Gợi ý các bước:

Tìm tập xác định.
Tính $y'$ và quy đồng thành một phân thức.
Xét dấu tử trên $(-2; 2)$ .

Xem lời giải

$D=[-2; 2]$ . Trên $(-2; 2)$ : $y'=\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}=\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}},$ bằng $0$ khi $x=\pm\sqrt2$ . Tử dương khi $|x|<\sqrt2$ , âm khi $\sqrt2<|x|<2$ . $y(\sqrt2)=\sqrt2\cdot\sqrt2=2$ , $y(-\sqrt2)=-2$ .

Đáp số. Đồng biến trên $(-\sqrt2; \sqrt2)$ , nghịch biến trên $(-2; -\sqrt2)$ và $(\sqrt2; 2)$ ; $y_{\text{CT}}=-2$ tại $x=-\sqrt2$ , $y_{\text{CĐ}}=2$ tại $x=\sqrt2$ .

Tính đơn điệu

Khám phá: khi nào đồ thị đi lên?

Cực trị của hàm số

Dùng đạo hàm cấp hai

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $f'(x)=6x^2-6x-12$ .	Đúng	Sai
b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1; 2)$ .	Đúng	Sai
c) Giá trị cực đại của hàm số bằng $8$ .	Đúng	Sai
d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có hệ số góc bằng $9$ .	Đúng	Sai