Ôn tập: phương pháp toạ độ trong không gian

Mặt phẳng đi qua $M(1; -2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2; -1; 1)$ có phương trình là

A. $2x-y+z-7=0$. B. $2x-y+z+7=0$. C. $x-2y+3z-7=0$. D. $2x-y+z-3=0$.

Khoảng cách từ điểm $M(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(P)\colon 2x-2y+z+3=0$ bằng

A. $4$. B. $\dfrac49$. C. $\dfrac43$. D. $\dfrac23$.

Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$ là

A. $I(1; -2; 3)$, $R=4$. B. $I(-1; 2; -3)$, $R=4$. C. $I(1; -2; 3)$, $R=2\sqrt3$. D. $I(2; -4; 6)$, $R=4$.

Cho đường thẳng $d\colon x=1+t$, $y=2-t$, $z=2t$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+z-3=0$.

a) $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u=(1; -1; 2)$.

b) Điểm $A(2; 1; 2)$ thuộc $d$.

c) $d$ song song với $(P)$.

d) $d$ cắt $(P)$ tại điểm $(1; 2; 0)$.

Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1\colon x=t$, $y=1+t$, $z=2$ và $d_2\colon x=1$, $y=2+s$, $z=-s$ (đơn vị: độ).

Cho $A(1; 0; 1)$, $B(2; 1; 0)$, $C(0; 2; 3)$. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật dài $6$ m, rộng $4$ m, cao $3$ m. Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc ở một góc sàn, các trục chạy theo ba cạnh, đơn vị là mét. Người ta căng một sợi dây thẳng từ điểm $A(0; 0; 3)$ ở góc trần đến điểm $B(6; 4; 0)$ ở góc sàn đối diện. Tính độ dài sợi dây (đơn vị: m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một thiết bị bay không người lái xuất phát từ gốc $O$ và bay thẳng, sau $t$ giây ở vị trí $M(2t; 2t; t)$ (đơn vị: m). Vùng cấm bay là phần không gian gồm các điểm thoả mãn $x+2y+2z\ge30$. Sau bao nhiêu giây thì thiết bị bắt đầu đi vào vùng cấm bay?

Cho điểm $A(3; 1; -2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y-2z=0$. Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $(P)$, tìm toạ độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên $(P)$ và tính $d(A, (P))$.