Ôn tập: phương pháp toạ độ trong không gian

Phương pháp toạ độ trong không gian là chủ đề "dễ lấy điểm" của lớp 12. Phần I thường có hai đến bốn câu hỏi đọc nhanh từ phương trình: vectơ pháp tuyến, tâm và bán kính mặt cầu, khoảng cách. Phần II hoặc Phần III thường có một câu tổng hợp, nhiều khi gắn với tình huống thực tế. Tổng cộng chủ đề này thường chiếm khoảng $1$ đến $1{,}5$ điểm.

Bí quyết là thuộc chắc các công thức và tính cẩn thận dấu. Bài ôn đi qua bốn mảng: vectơ, mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu và mô hình thực tế.

Hệ trục toạ độ

Oxyz

và điểm

M(2; 3; 2)

Vectơ và toạ độ

Định lí Công thức với

\vec a=(a_1; a_2; a_3)

\vec b=(b_1; b_2; b_3)

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)$ , $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ .
Trung điểm $I$ của $AB$ : trung bình cộng toạ độ của $A$ và $B$ ; trọng tâm $G$ của tam giác: trung bình cộng toạ độ ba đỉnh.
Tích vô hướng $\vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ ; $\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0$ .
$\cos(\vec a, \vec b)=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}$ , với $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ .
Tích có hướng $[\vec a, \vec b]=(a_2b_3-a_3b_2; a_3b_1-a_1b_3; a_1b_2-a_2b_1)$ vuông góc với cả $\vec a$ và $\vec b$ .

Ví dụ Trắc nghiệm: côsin của góc giữa hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$ , cho $\vec a=(1; -2; 2)$ và $\vec b=(2; 1; -2)$ . Giá trị của $\cos(\vec a, \vec b)$ là

A. $\dfrac49$ .

B. $-\dfrac49$ .

C. $-\dfrac43$ .

D. $0$ .

Lời giải. Ta tính tích vô hướng và hai độ dài rồi thay vào công thức:

$\vec a\cdot\vec b=2-2-4=-4,\qquad |\vec a|=\sqrt{1+4+4}=3,\qquad |\vec b|=\sqrt{4+1+4}=3.$

Do đó $\cos(\vec a, \vec b)=\dfrac{-4}{3\cdot3}=-\dfrac49$ . Chọn B.

Nhìn lại. Góc giữa hai vectơ có thể tù nên côsin được phép âm. Phương án A là côsin của góc giữa hai đường thẳng (có dấu giá trị tuyệt đối); phương án D sai dấu ở số hạng thứ hai.

Phương trình mặt phẳng

Định lí Mặt phẳng

Mặt phẳng qua $M(x_0; y_0; z_0)$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(A; B; C)$ : $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ .
Mặt phẳng $Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec n=(A; B; C)$ .
Mặt phẳng qua ba điểm $A$ , $B$ , $C$ : dùng $\vec n=[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ . Mặt phẳng theo đoạn chắn qua $(a; 0; 0)$ , $(0; b; 0)$ , $(0; 0; c)$ : $\dfrac xa+\dfrac yb+\dfrac zc=1$ .
Khoảng cách: $d(M, (P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .
$(P)\perp(Q)\iff\vec n_P\cdot\vec n_Q=0$ ; $(P)\parallel(Q)$ khi hai vectơ pháp tuyến cùng phương và hai mặt phẳng không trùng nhau.

Ví dụ Đúng/Sai: mặt phẳng theo đoạn chắn

Trong không gian $Oxyz$ , cho ba điểm $A(1; 0; 0)$ , $B(0; 2; 0)$ , $C(0; 0; 3)$ .

a) Mặt phẳng $(ABC)$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n=(6; 3; 2)$ .

b) Gốc toạ độ $O$ thuộc mặt phẳng $(ABC)$ .

c) Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $\dfrac67$ .

d) Mặt phẳng $(ABC)$ vuông góc với mặt phẳng $(Oxy)$ .

Lời giải. Ba điểm nằm trên ba trục nên ta dùng phương trình đoạn chắn rồi quy đồng với mẫu chung $6$ :

$\frac x1+\frac y2+\frac z3=1\iff 6x+3y+2z-6=0.$

a) Đúng. Các hệ số của $x$ , $y$ , $z$ là $6$ , $3$ , $2$ .

b) Sai. Thay $O$ : $0+0+0-6=-6\neq0$ .

c) Đúng. $d(O, (ABC))=\dfrac{|-6|}{\sqrt{36+9+4}}=\dfrac67$ .

d) Sai. Mặt phẳng $(Oxy)$ có vectơ pháp tuyến $\vec k=(0; 0; 1)$ và $\vec n\cdot\vec k=2\neq0$ .

Vậy đáp án là a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Phương trình đường thẳng và công thức góc

Định lí Đường thẳng và góc

Đường thẳng qua $M(x_0; y_0; z_0)$ có vectơ chỉ phương $\vec u=(a; b; c)$ : phương trình tham số $x=x_0+at$ , $y=y_0+bt$ , $z=z_0+ct$ ; nếu $abc\neq0$ , phương trình chính tắc $\dfrac{x-x_0}{a}=\dfrac{y-y_0}{b}=\dfrac{z-z_0}{c}$ .
Góc giữa hai đường thẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec u'|}{|\vec u|\cdot|\vec u'|}$ .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: $\sin\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}$ .
Góc giữa hai mặt phẳng: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec n'|}{|\vec n|\cdot|\vec n'|}$ .

Đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng làm vectơ chỉ phương. Đây là ý của rất nhiều câu trắc nghiệm.

Ví dụ Trắc nghiệm: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng đi qua $A(1; 2; -1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)\colon 2x-y+3z-5=0$ có phương trình tham số là

A. $x=1+2t$ , $y=2-t$ , $z=-1+3t$ .

B. $x=2+t$ , $y=-1+2t$ , $z=3-t$ .

C. $x=1+2t$ , $y=2+t$ , $z=-1+3t$ .

D. $x=1+2t$ , $y=2-t$ , $z=1+3t$ .

Lời giải. Đường thẳng vuông góc với $(P)$ nên có vectơ chỉ phương $\vec u=\vec n_P=(2; -1; 3)$ ; điểm đi qua là $A(1; 2; -1)$ :

$x=1+2t,\qquad y=2-t,\qquad z=-1+3t.$

Chọn A. Phương án B đổi vai trò điểm và vectơ, phương án C sai dấu hệ số của $y$ , phương án D sai dấu toạ độ $z$ của $A$ .

Ví dụ Trả lời ngắn: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Tính góc giữa đường thẳng $d\colon\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z+1}{2}$ và mặt phẳng $(P)\colon 2x-y+2z+3=0$ (đơn vị: độ, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng dùng sin, với $\vec u=(1; 2; 2)$ và $\vec n=(2; -1; 2)$ :

$\sin\varphi=\frac{|2-2+4|}{\sqrt{1+4+4}\cdot\sqrt{4+1+4}}=\frac49\ \Rightarrow\ \varphi\approx26{,}39^\circ.$

Vậy góc cần tìm khoảng $26^\circ$ (ghi $26$ ).

Mặt cầu và mô hình toạ độ thực tế

Trong bài toán thực tế, ta đặt gốc toạ độ ở một vị trí thuận tiện (góc phòng, chân tháp, trạm radar), chọn đơn vị (m hoặc km), rồi dịch câu hỏi thành câu hỏi về điểm, đường thẳng, mặt phẳng hay mặt cầu.

Ví dụ Trả lời ngắn: máy bay đi qua vùng phủ sóng radar

Chọn hệ trục $Oxyz$ (đơn vị: km) với trạm radar đặt tại gốc $O$ . Radar phát hiện được mọi vật cách nó không quá $5$ km. Một máy bay bay thẳng với vị trí $M(1+2t; 2-t; 2)$ . Tính độ dài quãng đường máy bay bay trong vùng radar phát hiện được (đơn vị: km).

Lời giải. Hiểu đề. Vùng phát hiện là khối cầu tâm $O$ , bán kính $5$ ; quãng đường cần tìm là dây cung của đường bay nằm trong mặt cầu.

Tìm cách giải. Giải điều kiện $OM\le5$ theo $t$ , hoặc dùng khoảng cách từ $O$ đến đường bay.

Giải. Bình phương điều kiện $OM\le5$ :

$(1+2t)^2+(2-t)^2+4\le25\iff 5t^2+9\le25\iff t^2\le\frac{16}{5}.$

Vậy $t$ chạy từ $-\dfrac{4}{\sqrt5}$ đến $\dfrac{4}{\sqrt5}$ . Vectơ chỉ phương $\vec u=(2; -1; 0)$ có độ dài $\sqrt5$ , nên quãng đường là

$\sqrt5\cdot\frac{8}{\sqrt5}=8\ \text{(km)}.$

Nhìn lại. Điểm gần $O$ nhất ứng với $t=0$ , là $H(1; 2; 2)$ với $OH=3$ ; theo định lí Pythagore, dây cung dài $2\sqrt{25-9}=8$ , khớp với kết quả.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
hệ trục toạ độ Oxyz	Oxyz coordinate system
tích vô hướng	scalar product
tích có hướng	vector product (cross product)
vectơ pháp tuyến	normal vector
vectơ chỉ phương	direction vector
phương trình tham số	parametric equations
phương trình chính tắc	Cartesian equations (of a line)
mặt cầu	sphere
tiếp xúc	tangent
khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng	distance from a point to a plane

Bài tập

Các bài được xếp từ dễ đến khó, mỗi bài ghi rõ dạng câu hỏi trong đề thi.

Bài 1 Trắc nghiệm

Mặt phẳng đi qua $M(1; -2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec n=(2; -1; 1)$ có phương trình là

A. $2x-y+z-7=0$ . B. $2x-y+z+7=0$ . C. $x-2y+3z-7=0$ . D. $2x-y+z-3=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$ .

Gợi ý các bước:

Thay $\vec n$ và toạ độ $M$ vào công thức.
Khai triển và thu gọn.

Xem lời giải

$2(x-1)-(y+2)+(z-3)=0\iff 2x-y+z-7=0$ . Phương án C đổi vai trò điểm và vectơ pháp tuyến.

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

Khoảng cách từ điểm $M(1; 2; 3)$ đến mặt phẳng $(P)\colon 2x-2y+z+3=0$ bằng

A. $4$ . B. $\dfrac49$ . C. $\dfrac43$ . D. $\dfrac23$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $d(M, (P))=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ .

Gợi ý các bước:

Tính tử số $|2-4+3+3|$ .
Tính mẫu số $\sqrt{4+4+1}$ .

Xem lời giải

$d=\dfrac{|2-4+3+3|}{3}=\dfrac43$ . Phương án B quên lấy căn ở mẫu.

Đáp số. C.

Bài 3 Trắc nghiệm

Mặt cầu $(S)\colon x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z-2=0$ có tâm $I$ và bán kính $R$ là

A. $I(1; -2; 3)$ , $R=4$ . B. $I(-1; 2; -3)$ , $R=4$ . C. $I(1; -2; 3)$ , $R=2\sqrt3$ . D. $I(2; -4; 6)$ , $R=4$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $-2a=-2$ , $-2b=4$ , $-2c=-6$ ; $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $a$ , $b$ , $c$ .
Tính $R$ với $d=-2$ .

Xem lời giải

$a=1$ , $b=-2$ , $c=3$ , $R=\sqrt{1+4+9+2}=4$ . Phương án C lấy nhầm $R^2=14-2$ , phương án B sai dấu tâm.

Đáp số. A.

Bài 4 Đúng/Sai

Cho đường thẳng $d\colon x=1+t$ , $y=2-t$ , $z=2t$ và mặt phẳng $(P)\colon x+y+z-3=0$ .

a) $d$ có một vectơ chỉ phương là $\vec u=(1; -1; 2)$ .

b) Điểm $A(2; 1; 2)$ thuộc $d$ .

c) $d$ song song với $(P)$ .

d) $d$ cắt $(P)$ tại điểm $(1; 2; 0)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $d\parallel(P)$ thì $\vec u\cdot\vec n=0$ ; giao điểm tìm bằng cách thay $x$ , $y$ , $z$ theo $t$ vào $(P)$ .

Gợi ý các bước:

Đọc vectơ chỉ phương từ hệ số của $t$ .
Tính $\vec u\cdot\vec n$ và giải phương trình theo $t$ .

Xem lời giải

a) Đúng. Hệ số của $t$ là $1$ , $-1$ , $2$ .

b) Đúng. Với $t=1$ ta được $(2; 1; 2)$ .

c) Sai. $\vec u\cdot\vec n=1-1+2=2\neq0$ .

d) Đúng. $(1+t)+(2-t)+2t-3=0\iff 2t=0\iff t=0$ , cho điểm $(1; 2; 0)$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 5 Trả lời ngắn

Tính góc giữa hai đường thẳng $d_1\colon x=t$ , $y=1+t$ , $z=2$ và $d_2\colon x=1$ , $y=2+s$ , $z=-s$ (đơn vị: độ).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\cos\varphi=\dfrac{|\vec u_1\cdot\vec u_2|}{|\vec u_1|\cdot|\vec u_2|}$ .

Gợi ý các bước:

$\vec u_1=(1; 1; 0)$ , $\vec u_2=(0; 1; -1)$ .
Thay vào công thức.

Xem lời giải

$\cos\varphi=\dfrac{|0+1+0|}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\dfrac12$ , nên $\varphi=60^\circ$ .

Đáp số. $60$ .

Bài 6 Trả lời ngắn

Cho $A(1; 0; 1)$ , $B(2; 1; 0)$ , $C(0; 2; 3)$ . Tính khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: vectơ pháp tuyến $\vec n=[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]$ .

Gợi ý các bước:

$\overrightarrow{AB}=(1; 1; -1)$ , $\overrightarrow{AC}=(-1; 2; 2)$ ; tính tích có hướng.
Viết phương trình $(ABC)$ rồi tính khoảng cách.

Xem lời giải

$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}]=(1\cdot2-(-1)\cdot2;\ (-1)(-1)-1\cdot2;\ 1\cdot2-1\cdot(-1))=(4; -1; 3)$ . Phương trình $(ABC)$ : $4(x-1)-y+3(z-1)=0\iff 4x-y+3z-7=0$ . Khi đó $d(O, (ABC))=\dfrac{7}{\sqrt{26}}\approx1{,}37$ .

Đáp số. $1{,}37$ .

Bài 7 Trả lời ngắn

Một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật dài $6$ m, rộng $4$ m, cao $3$ m. Chọn hệ trục $Oxyz$ có gốc ở một góc sàn, các trục chạy theo ba cạnh, đơn vị là mét. Người ta căng một sợi dây thẳng từ điểm $A(0; 0; 3)$ ở góc trần đến điểm $B(6; 4; 0)$ ở góc sàn đối diện. Tính độ dài sợi dây (đơn vị: m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}$ .
Tính độ dài.

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}=(6; 4; -3)$ , nên $AB=\sqrt{36+16+9}=\sqrt{61}\approx7{,}81$ m.

Đáp số. $7{,}81$ .

Bài 8 Trả lời ngắn

Một thiết bị bay không người lái xuất phát từ gốc $O$ và bay thẳng, sau $t$ giây ở vị trí $M(2t; 2t; t)$ (đơn vị: m). Vùng cấm bay là phần không gian gồm các điểm thoả mãn $x+2y+2z\ge30$ . Sau bao nhiêu giây thì thiết bị bắt đầu đi vào vùng cấm bay?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thiết bị chạm biên của vùng cấm khi toạ độ của $M$ thoả mãn $x+2y+2z=30$ .

Gợi ý các bước:

Thay toạ độ $M$ vào $x+2y+2z$ .
Giải phương trình theo $t$ .

Xem lời giải

$2t+4t+2t=8t=30\iff t=3{,}75$ . Với $t<3{,}75$ thì $8t<30$ , nên trước thời điểm đó thiết bị chưa vào vùng cấm.

Đáp số. $3{,}75$ .

Bài 9 Tự luận

Cho điểm $A(3; 1; -2)$ và mặt phẳng $(P)\colon x+2y-2z=0$ . Viết phương trình đường thẳng $d$ qua $A$ và vuông góc với $(P)$ , tìm toạ độ hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ trên $(P)$ và tính $d(A, (P))$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $d$ nhận $\vec n_P$ làm vectơ chỉ phương; $H=d\cap(P)$ .

Gợi ý các bước:

Viết $d\colon x=3+t$ , $y=1+2t$ , $z=-2-2t$ .
Thay vào $(P)$ để tìm $t$ , suy ra $H$ ; tính $AH$ .

Xem lời giải

Thay vào $(P)$ : $(3+t)+2(1+2t)-2(-2-2t)=0\iff 9+9t=0\iff t=-1$ , nên $H(2; -1; 0)$ . Khi đó $AH=\sqrt{1+4+4}=3$ , khớp với $d(A, (P))=\dfrac{|3+2+4|}{3}=3$ .

Đáp số. $d\colon x=3+t$ , $y=1+2t$ , $z=-2-2t$ ; $H(2; -1; 0)$ ; $d(A, (P))=3$ .

Bài 10 Trả lời ngắn (thử thách)

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1; 2; -1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(P)\colon 2x-y+2z+11=0$ tại điểm $H(a; b; c)$ . Tính $a+b+c$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: bán kính $R=d(I, (P))$ ; tiếp điểm là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $(P)$ .

Gợi ý các bước:

Tính $R$ .
Viết đường thẳng qua $I$ vuông góc với $(P)$ rồi tìm giao điểm với $(P)$ .

Xem lời giải

$R=\dfrac{|2-2-2+11|}{3}=3$ . Đường thẳng $x=1+2s$ , $y=2-s$ , $z=-1+2s$ cắt $(P)$ khi $2(1+2s)-(2-s)+2(-1+2s)+11=0\iff 9s+9=0\iff s=-1$ , nên $H(-1; 3; -3)$ và $a+b+c=-1$ .

Đáp số. $-1$ .

Vectơ và toạ độ

Phương trình mặt phẳng

Phương trình đường thẳng và công thức góc

Mặt cầu và mô hình toạ độ thực tế

Thuật ngữ

Bài tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $(S)$ có tâm $I(1; -2; 0)$ .	Đúng	Sai
b) $(S)$ có bán kính bằng $9$ .	Đúng	Sai
c) Khoảng cách từ tâm $I$ đến $(P)$ bằng $1$ .	Đúng	Sai
d) $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn có bán kính $2\sqrt2$ .	Đúng	Sai