Ôn tập: nguyên hàm và tích phân

Kiến thức: $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ và $\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$.

Gợi ý các bước:

1. $\displaystyle\int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}=-\dfrac1x$.
2. Chú ý dấu trừ đứng trước.

Kiến thức: một nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin0$.

Kiến thức: công thức Newton – Leibniz.

Gợi ý các bước:

1. Một nguyên hàm là $x^3-x^2+x$.
2. Thay cận $2$ và $0$.

Kiến thức: kiểm tra nguyên hàm bằng đạo hàm; $e^0=1$.

Gợi ý các bước:

1. Viết $F(x)=e^x+x^2+C$.
2. Tính từng tích phân bằng $\Big[e^x+x^2\Big]$.

Kiến thức: $S=\displaystyle\int_a^b\lvert f(x)\rvert\,dx$, với $a$, $b$ là giao điểm với trục hoành.

Gợi ý các bước:

1. Giải $x^2-4=0$.
2. Trên $[-2; 2]$, $x^2-4\le0$, nên $\lvert x^2-4\rvert=4-x^2$.

Kiến thức: chia đoạn tích phân tại nghiệm của $f(x)$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Gợi ý các bước:

1. $x^3-x=x(x-1)(x+1)$: âm trên $(0; 1)$, dương trên $(1; 2)$.
2. Tính hai tích phân rồi cộng.

Kiến thức: $V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$, ở đây $f^2(x)=4x^2$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $\pi\displaystyle\int_0^3 4x^2\,dx$.
2. Kiểm tra bằng công thức thể tích khối nón $\dfrac13\pi r^2h$.

Kiến thức: lượng nước $=\displaystyle\int_0^{10} r(t)\,dt$.

Gợi ý các bước:

1. Một nguyên hàm là $0{,}3t^2+2t$.
2. Thay cận.

Kiến thức: $s(t)=\displaystyle\int_0^t v(u)\,du$; quãng đường từ $t=a$ đến $t=b$ là $s(b)-s(a)$.

Gợi ý các bước:

1. Giải $v(t)=0$.
2. Tính $s(4)$ và $s(4)-s(3)$.

Kiến thức: chọn hệ trục có gốc ở giữa chân cổng, trục $Oy$ đi qua đỉnh; diện tích $=\displaystyle\int_{-4}^4 f(x)\,dx$.

Gợi ý các bước:

1. Parabol đi qua $(-4; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 4)$: $y=4-\dfrac{x^2}{4}$.
2. Tính tích phân.