Ôn tập: nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm và tích phân thường chiếm hai đến ba câu ở Phần I (bảng nguyên hàm, tính chất), có thể một câu đúng/sai ở Phần II và một câu diện tích hoặc bài toán thực tế ở Phần III, tổng cộng thường khoảng $1$ đến $2$ điểm. Máy tính cầm tay tính được tích phân xác định, nên đây là phần dễ kiểm tra lại nhất.

Chi tiết nằm ở các bài nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân.

Nguyên hàm

Ghi chú Bảng nguyên hàm cần nhớ (

C

là hằng số)

$f(x)$	$\displaystyle\int f(x)\,dx$
$x^\alpha$ ( $\alpha\ne-1$ )	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$
$\dfrac1x$	$\ln\lvert x\rvert+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$ ( $0<a\ne1$ )	$\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\tan x+C$
$\dfrac{1}{\sin^2x}$	$-\cot x+C$

Tính chất: $\displaystyle\int\left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$ và $\displaystyle\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$ ( $k\ne0$ ).

Cách kiểm tra nhanh nhất: lấy đạo hàm kết quả, phải được lại $f(x)$ .

Ví dụ Trắc nghiệm: nguyên hàm có điều kiện

Biết $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)=3x^2+2\sin x$ và $F(0)=1$ . Khi đó $F(x)$ bằng A. $x^3-2\cos x+3$ . B. $x^3+2\cos x-1$ . C. $x^3-2\cos x+1$ . D. $6x+2\cos x+3$ .

Lời giải. Dùng bảng nguyên hàm, chú ý $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ :

$F(x)=x^3-2\cos x+C,\qquad F(0)=0-2\cos0+C=-2+C=1\iff C=3.$

Vậy $F(x)=x^3-2\cos x+3$ , chọn A. Phương án B nhầm dấu nguyên hàm của $\sin x$ ; C quên $\cos0=1$ ; D lấy đạo hàm thay vì nguyên hàm.

Tích phân

Định lí Công thức Newton – Leibniz và tính chất

Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ liên tục trên $[a; b]$ thì $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$ . Với $f$ , $g$ liên tục và $c\in[a; b]$ :

$\displaystyle\int_a^b\left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int_a^b f(x)\,dx\pm\int_a^b g(x)\,dx$ , $\displaystyle\int_a^b kf(x)\,dx=k\int_a^b f(x)\,dx$ ;
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx+\int_c^b f(x)\,dx$ ;
$\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx=-\int_a^b f(x)\,dx$ .

Ví dụ Đúng/sai: dùng tính chất tích phân

Hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ , $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=5$ và $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=2$ . a) $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx=3$ . b) $\displaystyle\int_0^3\left[2f(x)-1\right]dx=7$ . c) $\displaystyle\int_3^1 f(x)\,dx=3$ . d) $\displaystyle\int_0^1\left[f(x)+x\right]dx=2{,}5$ .

Lời giải. a) Đúng: tách đoạn $[0; 3]$ tại $1$ : $\displaystyle\int_1^3 f=5-2=3$ .

b) Đúng: $2\cdot5-\displaystyle\int_0^3 1\,dx=10-3=7$ .

c) Sai: đổi cận thì đổi dấu, $\displaystyle\int_3^1 f=-3$ .

d) Đúng: $2+\displaystyle\int_0^1 x\,dx=2+\dfrac12=2{,}5$ .

Đáp án: Đ Đ S Đ.

Diện tích và thể tích

Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm các nghiệm của $f(x)-g(x)=0$ trong $[a; b]$ , chia đoạn tại các nghiệm đó, và trên mỗi đoạn con lấy "hàm trên trừ hàm dưới".

Hình phẳng giữa

y=2x

và

y=x^2

Ví dụ Trắc nghiệm: diện tích giữa hai đường

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2$ và đường thẳng $y=2x$ bằng A. $\dfrac43$ . B. $-\dfrac43$ . C. $\dfrac83$ . D. $4$ .

Lời giải. Hoành độ giao điểm là nghiệm của $x^2=2x$ , tức $x=0$ hoặc $x=2$ . Trên $[0; 2]$ đường thẳng nằm trên ( $2x\ge x^2$ ):

$S=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\Big[x^2-\frac{x^3}{3}\Big]_0^2=4-\frac83=\frac43.$

Chọn A. Phương án B lấy "dưới trừ trên" và quên rằng diện tích không âm; C là $\displaystyle\int_0^2x^2\,dx$ ; D là $\displaystyle\int_0^2 2x\,dx$ .

Bài toán thực tế

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Sai dấu với $\sin$ , $\cos$ . $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ , còn $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$ .
Dùng công thức luỹ thừa cho $\dfrac1x$ hoặc $e^x$ . $\dfrac1x=x^{-1}$ là trường hợp $\alpha=-1$ , nguyên hàm là $\ln\lvert x\rvert$ .
Bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi tính diện tích. Sai: diện tích giữa $y=x^3-x$ và $Ox$ trên $[0; 2]$ là $\displaystyle\int_0^2(x^3-x)\,dx=2$ . Đúng: chia tại $x=1$ , được $\dfrac14+\dfrac94=\dfrac52$ .
Quên bình phương hoặc quên $\pi$ trong công thức thể tích. $V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ .
Quên rằng tích phân của tích không bằng tích các tích phân.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
nguyên hàm	antiderivative (indefinite integral)
họ nguyên hàm	family of antiderivatives
tích phân	definite integral
cận trên / cận dưới	upper / lower limit
công thức Newton – Leibniz	fundamental theorem of calculus (Newton–Leibniz formula)
hình phẳng	plane region
khối tròn xoay	solid of revolution
quãng đường / vận tốc	distance / velocity

Bài tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1 Trắc nghiệm

$\displaystyle\int\left(4x^3-\frac{1}{x^2}\right)dx$ bằng A. $x^4+\dfrac1x+C$ . B. $x^4-\dfrac1x+C$ . C. $12x^2+\dfrac{2}{x^3}+C$ . D. $x^4+\dfrac{1}{3x^3}+C$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ và $\displaystyle\int x^{\alpha}\,dx=\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ .

Gợi ý các bước:

$\displaystyle\int x^{-2}\,dx=\dfrac{x^{-1}}{-1}=-\dfrac1x$ .
Chú ý dấu trừ đứng trước.

Xem lời giải

$\displaystyle\int4x^3\,dx=x^4$ và $-\displaystyle\int x^{-2}\,dx=-\left(-\dfrac1x\right)=\dfrac1x$ . Phương án B sai dấu; C là đạo hàm; D giảm số mũ thay vì tăng.

Đáp số. A.

Bài 2 Trắc nghiệm

$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx$ bằng A. $1$ . B. $0$ . C. $-1$ . D. $\dfrac{\pi}{2}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: một nguyên hàm của $\cos x$ là $\sin x$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\sin\dfrac{\pi}{2}-\sin0$ .

Xem lời giải

$\Big[\sin x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1-0=1$ . Phương án C dùng nhầm nguyên hàm $-\sin x$ .

Đáp số. A.

Bài 3 Trả lời ngắn

Tính $\displaystyle\int_0^2\left(3x^2-2x+1\right)dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức Newton – Leibniz.

Gợi ý các bước:

Một nguyên hàm là $x^3-x^2+x$ .
Thay cận $2$ và $0$ .

Xem lời giải

$\Big[x^3-x^2+x\Big]_0^2=8-4+2=6$ .

Đáp số. $6$ .

Bài 4 Đúng/Sai

Cho hàm số $f(x)=e^x+2x$ .

a) $F(x)=e^x+x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ .

b) $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=e+1$ .

c) Nguyên hàm $F$ của $f$ thoả mãn $F(0)=3$ là $F(x)=e^x+x^2+3$ .

d) $\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\,dx=e-\dfrac1e$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: kiểm tra nguyên hàm bằng đạo hàm; $e^0=1$ .

Gợi ý các bước:

Viết $F(x)=e^x+x^2+C$ .
Tính từng tích phân bằng $\Big[e^x+x^2\Big]$ .

Xem lời giải

a) Đúng: $(e^x+x^2)'=e^x+2x$ .

b) Sai: $\Big[e^x+x^2\Big]_0^1=(e+1)-(1+0)=e$ .

c) Sai: $F(0)=1+C=3$ nên $C=2$ , $F(x)=e^x+x^2+2$ .

d) Đúng: $(e+1)-\left(\dfrac1e+1\right)=e-\dfrac1e$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Bài 5 Trả lời ngắn

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=x^2-4$ và trục hoành (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $S=\displaystyle\int_a^b\lvert f(x)\rvert\,dx$ , với $a$ , $b$ là giao điểm với trục hoành.

Gợi ý các bước:

Giải $x^2-4=0$ .
Trên $[-2; 2]$ , $x^2-4\le0$ , nên $\lvert x^2-4\rvert=4-x^2$ .

Xem lời giải

$S=\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\Big[4x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-2}^2=\left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right)=\frac{32}{3}\approx10{,}67.$

Đáp số. $10{,}7$ .

Bài 6 Tự luận

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $y=x^3-x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x=0$ , $x=2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chia đoạn tích phân tại nghiệm của $f(x)$ để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Gợi ý các bước:

$x^3-x=x(x-1)(x+1)$ : âm trên $(0; 1)$ , dương trên $(1; 2)$ .
Tính hai tích phân rồi cộng.

Xem lời giải

$S=\int_0^1(x-x^3)\,dx+\int_1^2(x^3-x)\,dx=\left(\frac12-\frac14\right)+\left[\left(4-2\right)-\left(\frac14-\frac12\right)\right]=\frac14+\frac94=\frac52.$

Đáp số. $S=\dfrac52$ .

Bài 7 Trắc nghiệm

Quay hình phẳng giới hạn bởi $y=2x$ , trục $Ox$ và đường thẳng $x=3$ quanh trục $Ox$ , ta được một khối nón có thể tích bằng A. $36\pi$ . B. $9\pi$ . C. $108\pi$ . D. $18\pi$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $V=\pi\displaystyle\int_a^b f^2(x)\,dx$ , ở đây $f^2(x)=4x^2$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\pi\displaystyle\int_0^3 4x^2\,dx$ .
Kiểm tra bằng công thức thể tích khối nón $\dfrac13\pi r^2h$ .

Xem lời giải

$V=\pi\Big[\dfrac{4x^3}{3}\Big]_0^3=36\pi$ . Kiểm tra: khối nón có $r=6$ , $h=3$ , $V=\dfrac13\pi\cdot36\cdot3=36\pi$ . Phương án B quên bình phương; C quên chia cho $3$ ; D chỉ bình phương $x$ .

Đáp số. A.

Bài 8 Trả lời ngắn

Nước chảy vào một bể với tốc độ $r(t)=0{,}6t+2$ (lít/phút), $t$ tính bằng phút. Trong $10$ phút đầu, bao nhiêu lít nước chảy vào bể?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lượng nước $=\displaystyle\int_0^{10} r(t)\,dt$ .

Gợi ý các bước:

Một nguyên hàm là $0{,}3t^2+2t$ .
Thay cận.

Xem lời giải

$\Big[0{,}3t^2+2t\Big]_0^{10}=30+20=50$ .

Đáp số. $50$ .

Bài 9 Đúng/Sai

Một ô tô đạp phanh và chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=12-3t$ (m/s), $t$ là số giây kể từ lúc đạp phanh.

a) Ô tô dừng hẳn sau $4$ giây.

b) Quãng đường đi được sau $t$ giây kể từ lúc phanh là $s(t)=12t-1{,}5t^2$ (m), $0\le t\le4$ .

c) Từ lúc đạp phanh đến khi dừng, ô tô đi được $24$ m.

d) Trong giây cuối cùng trước khi dừng, ô tô đi được $3$ m.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $s(t)=\displaystyle\int_0^t v(u)\,du$ ; quãng đường từ $t=a$ đến $t=b$ là $s(b)-s(a)$ .

Gợi ý các bước:

Giải $v(t)=0$ .
Tính $s(4)$ và $s(4)-s(3)$ .

Xem lời giải

a) Đúng: $12-3t=0\iff t=4$ .

b) Đúng: $s(t)=\Big[12u-1{,}5u^2\Big]_0^t=12t-1{,}5t^2$ .

c) Đúng: $s(4)=48-24=24$ .

d) Sai: $s(4)-s(3)=24-22{,}5=1{,}5$ m.

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

Bài 10 Thử thách

Một cổng có dạng parabol, chân cổng rộng $8$ m và đỉnh cao $4$ m so với mặt đất. Người ta lắp kính kín toàn bộ mặt cổng. Tính diện tích phần kính (đơn vị: m², làm tròn đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chọn hệ trục có gốc ở giữa chân cổng, trục $Oy$ đi qua đỉnh; diện tích $=\displaystyle\int_{-4}^4 f(x)\,dx$ .

Gợi ý các bước:

Parabol đi qua $(-4; 0)$ , $(4; 0)$ , $(0; 4)$ : $y=4-\dfrac{x^2}{4}$ .
Tính tích phân.

Xem lời giải

Parabol có dạng $y=4-ax^2$ và đi qua $(4; 0)$ nên $a=\dfrac14$ . $S=\int_{-4}^4\left(4-\frac{x^2}{4}\right)dx=\Big[4x-\frac{x^3}{12}\Big]_{-4}^4=2\left(16-\frac{16}{3}\right)=\frac{64}{3}\approx21{,}33.$

Đáp số. $21{,}3$ .

Nguyên hàm

Tích phân

Diện tích và thể tích

Bài toán thực tế

Thuật ngữ

Bài tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Diện tích của $H$ là $S=\displaystyle\int_0^3x^2\,dx$ .	Đúng	Sai
b) $S=9$ .	Đúng	Sai
c) Thể tích khối tròn xoay khi quay $H$ quanh $Ox$ là $V=\pi\displaystyle\int_0^3x^2\,dx$ .	Đúng	Sai
d) $V=\dfrac{243\pi}{5}$ .	Đúng	Sai