Ôn tập: bài toán tối ưu và thực tế

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $40$ m. Diện tích lớn nhất của mảnh vườn là A. $100$ m². B. $400$ m². C. $96$ m². D. $200$ m².

Một vật chuyển động với $s(t)=t^3-3t^2+5t$ (m), $t$ (giây). Tính vận tốc của vật (m/s) tại thời điểm gia tốc bằng $0$.

Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=x^2+20x+900$ (nghìn đồng), $x>0$. Chi phí trung bình nhỏ nhất cho mỗi sản phẩm là A. $80$ nghìn đồng. B. $30$ nghìn đồng. C. $60$ nghìn đồng. D. $50$ nghìn đồng.

Một bể chứa không nắp có đáy hình vuông, thể tích $32$ dm³. Tìm kích thước của bể để tốn ít vật liệu nhất (diện tích đáy cộng bốn mặt bên nhỏ nhất).

Một cửa hàng bán áo với giá $200$ nghìn đồng mỗi chiếc thì mỗi tháng bán được $50$ chiếc; cứ giảm giá $1$ nghìn đồng thì bán thêm được $1$ chiếc. Giá nhập mỗi chiếc là $120$ nghìn đồng. Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá, $0\le x\le80$.

a) Khi bán với giá $190$ nghìn đồng, cửa hàng bán được $60$ chiếc mỗi tháng.

b) Lợi nhuận mỗi tháng là $P(x)=(80-x)(50+x)$ (nghìn đồng).

c) Lợi nhuận lớn nhất khi giá bán là $170$ nghìn đồng.

d) Lợi nhuận lớn nhất là $4225$ nghìn đồng.

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên, độ cao sau $t$ giây là $h(t)=1{,}5+19{,}6t-4{,}9t^2$ (m). Tính độ cao lớn nhất của quả bóng (đơn vị: mét).

Một lon nước hình trụ có thể tích $16\pi$ cm³. Để tốn ít vật liệu nhất (diện tích toàn phần nhỏ nhất), bán kính đáy của lon phải bằng A. $2$ cm. B. $4$ cm. C. $8$ cm. D. $1$ cm.

Một người ở điểm $A$ trên mặt hồ, cách bờ thẳng $4$ km ($B$ là điểm trên bờ gần $A$ nhất). Người đó muốn đến điểm $C$ trên bờ với $BC=10$ km: chèo thuyền với vận tốc $3$ km/h đến điểm $M$ trên đoạn $BC$, rồi đi bộ với vận tốc $5$ km/h đến $C$. Điểm $M$ cách $B$ bao nhiêu km thì thời gian ít nhất?

Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $16$ cm × $10$ cm, người ta cắt bốn hình vuông cạnh $x$ cm ở bốn góc rồi gấp thành hộp không nắp.

a) Điều kiện của $x$ là $0<x<5$.

b) Thể tích hộp là $V(x)=x(16-x)(10-x)$.

c) Thể tích lớn nhất khi $x=\dfrac{20}{3}$.

d) Thể tích lớn nhất của hộp là $144$ cm³.