Ôn tập: bài toán tối ưu và thực tế

Bài toán thực tế là "đặc sản" của đề thi theo cấu trúc mới. Chúng thường xuất hiện ở Phần III (trả lời ngắn, đáp số là một con số có đơn vị), đôi khi thành cả một câu đúng/sai ở Phần II, tổng cộng thường khoảng $1$ đến $2$ điểm. Phần toán thường không khó; cái khó là lập được hàm số và xác định đúng miền của biến.

Kiến thức nền nằm ở bài giá trị lớn nhất và nhỏ nhất và bài đạo hàm và bài toán thực tế.

Quy trình giải bài toán tối ưu

Ví dụ Trả lời ngắn: hộp không nắp

Từ một tấm bìa hình vuông cạnh $30$ cm, người ta cắt bỏ ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ cm rồi gấp lên thành một chiếc hộp không nắp. Thể tích lớn nhất của hộp là bao nhiêu cm³?

Lời giải. Đáy hộp là hình vuông cạnh $30-2x$ , chiều cao $x$ , với $0<x<15$ . Thể tích:

$V(x)=x(30-2x)^2,\qquad V'(x)=(30-2x)^2-4x(30-2x)=(30-2x)(30-6x).$

Trên $(0; 15)$ , $30-2x>0$ , nên $V'$ có dấu của $30-6x$ : dương khi $x<5$ , âm khi $x>5$ . Vậy $V$ lớn nhất tại $x=5$ :

$V(5)=5\cdot20^2=2000.$

Thể tích lớn nhất là $2000$ cm³ (cắt hình vuông cạnh $5$ cm).

Tốc độ thay đổi và chuyển động

Hai câu hỏi hay bị nhầm: "khi nào $Q$ lớn nhất" (giải $Q'=0$ ) và "khi nào $Q$ tăng nhanh nhất" (tìm giá trị lớn nhất của $Q'$ , tức là xét $Q''$ ).

Ví dụ Trắc nghiệm: tăng nhanh nhất

Số vi khuẩn trong một mẻ nuôi cấy sau $t$ giờ là $N(t)=1000+30t^2-t^3$ , $0\le t\le20$ . Số vi khuẩn tăng nhanh nhất tại thời điểm nào? A. $t=10$ . B. $t=20$ . C. $t=0$ . D. $t=15$ .

Lời giải. Tốc độ tăng là $N'(t)=60t-3t^2$ . Ta tìm giá trị lớn nhất của $N'$ trên $[0; 20]$ :

$N''(t)=60-6t=0\iff t=10;\qquad N'(0)=0,\quad N'(10)=300,\quad N'(20)=0.$

Vậy vi khuẩn tăng nhanh nhất lúc $t=10$ giờ, chọn A. Phương án B là lúc $N'(t)=0$ , tức lúc số vi khuẩn lớn nhất, không phải lúc tăng nhanh nhất.

Ví dụ Đúng/sai: chuyển động thẳng

Một vật chuyển động thẳng với quãng đường $s(t)=-t^3+9t^2$ (m), $t$ (giây), $0\le t\le6$ . a) Vận tốc của vật tại $t=2$ là $24$ m/s. b) Vận tốc lớn nhất của vật là $27$ m/s. c) Tại $t=4$ , vật đang chuyển động nhanh dần. d) Quãng đường vật đi được trong $6$ giây là $108$ m.

Lời giải. Ta tính trước vận tốc và gia tốc:

$v(t)=-3t^2+18t,\qquad a(t)=-6t+18.$

a) Đúng: $v(2)=-12+36=24$ .

b) Đúng: $v$ là hàm bậc hai với hệ số $-3<0$ , lớn nhất tại $t=3$ (nơi $a=0$ ): $v(3)=-27+54=27$ .

c) Sai: $v(4)=24>0$ còn $a(4)=-6<0$ , trái dấu nên vật đang chậm dần.

d) Đúng: $v(t)=3t(6-t)\ge0$ trên $[0; 6]$ nên vật không quay đầu, quãng đường là $s(6)-s(0)=-216+324=108$ .

Đáp án: Đ Đ S Đ.

Chi phí, doanh thu và lợi nhuận

Ví dụ Trắc nghiệm: sản lượng cho lợi nhuận lớn nhất

Một xưởng sản xuất $x$ sản phẩm mỗi ngày ( $0\le x\le60$ ) thu lợi nhuận $P(x)=-x^3+45x^2+1200x$ (nghìn đồng). Mỗi ngày xưởng nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất? A. $40$ . B. $15$ . C. $60$ . D. $10$ .

Lời giải. Ta giải $P'(x)=0$ trên $(0; 60)$ rồi so sánh với hai đầu mút:

$P'(x)=-3x^2+90x+1200=-3(x-40)(x+10)=0\iff x=40\ (\text{loại } x=-10).$

$P(0)=0,\qquad P(40)=56\,000,\qquad P(60)=18\,000.$

Vậy nên sản xuất $40$ sản phẩm mỗi ngày (lợi nhuận $56$ triệu đồng), chọn A. Phương án B là nghiệm của $P''(x)=0$ ; D là nghiệm bị đổi dấu; C chỉ là đầu mút.

Bài toán đường đi và lắp đặt

Dạng này có một điểm $M$ chạy trên một đường thẳng; quãng đường hoặc chi phí gồm một đoạn xiên (dùng định lí Pythagore) và một đoạn thẳng.

Kéo dây điện từ nhà máy

A

ra đảo

C

Ví dụ Trả lời ngắn: chi phí lắp đặt nhỏ nhất

Một nhà máy điện $A$ nằm trên bờ biển thẳng. Đảo $C$ cách bờ $3$ km, điểm gần đảo nhất trên bờ là $B$ với $AB=8$ km. Người ta kéo dây trên bờ từ $A$ đến $M$ (thuộc đoạn $AB$ ) rồi kéo dưới nước từ $M$ đến $C$ . Chi phí mỗi km dây là $30$ triệu đồng trên bờ và $50$ triệu đồng dưới nước. Điểm $M$ cách $B$ bao nhiêu km thì chi phí nhỏ nhất?

Lời giải. Đặt $BM=x$ (km), $0\le x\le8$ . Khi đó $MC=\sqrt{x^2+9}$ , $AM=8-x$ , chi phí (triệu đồng):

$T(x)=30(8-x)+50\sqrt{x^2+9},\qquad T'(x)=-30+\frac{50x}{\sqrt{x^2+9}}.$

Giải $T'(x)=0$ (cần $x>0$ để bình phương):

$5x=3\sqrt{x^2+9}\iff25x^2=9x^2+81\iff x^2=\frac{81}{16}\iff x=\frac94.$

So sánh: $T(0)=390$ , $T\left(\frac94\right)=172{,}5+187{,}5=360$ , $T(8)=50\sqrt{73}\approx427$ . Vậy $M$ cách $B$ $2{,}25$ km, chi phí nhỏ nhất là $360$ triệu đồng.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
bài toán tối ưu	optimisation problem
tốc độ thay đổi tức thời	instantaneous rate of change
vận tốc / gia tốc	velocity / acceleration
chi phí / doanh thu / lợi nhuận	cost / revenue / profit
chi phí trung bình	average cost
điều kiện của biến	constraint on the variable
thể tích / diện tích toàn phần	volume / total surface area
định lí Pythagore	Pythagoras' theorem

Bài tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1 Trắc nghiệm

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi $40$ m. Diện tích lớn nhất của mảnh vườn là A. $100$ m². B. $400$ m². C. $96$ m². D. $200$ m².

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: gọi một cạnh là $x$ thì cạnh kia là $20-x$ .

Gợi ý các bước:

Lập $S(x)=x(20-x)$ , $0<x<20$ .
Giải $S'(x)=0$ .

Xem lời giải

$S'(x)=20-2x=0\iff x=10$ , $S'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ . $S(10)=100$ . Phương án B là $20^2$ .

Đáp số. A.

Bài 2 Trả lời ngắn

Một vật chuyển động với $s(t)=t^3-3t^2+5t$ (m), $t$ (giây). Tính vận tốc của vật (m/s) tại thời điểm gia tốc bằng $0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $v=s'$ , $a=v'$ .

Gợi ý các bước:

Tính $v(t)$ và $a(t)$ .
Giải $a(t)=0$ rồi thay vào $v$ .

Xem lời giải

$v(t)=3t^2-6t+5$ , $a(t)=6t-6=0\iff t=1$ . $v(1)=3-6+5=2$ .

Đáp số. $2$ .

Bài 3 Trắc nghiệm

Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x)=x^2+20x+900$ (nghìn đồng), $x>0$ . Chi phí trung bình nhỏ nhất cho mỗi sản phẩm là A. $80$ nghìn đồng. B. $30$ nghìn đồng. C. $60$ nghìn đồng. D. $50$ nghìn đồng.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chi phí trung bình $\overline C(x)=x+20+\dfrac{900}{x}$ .

Gợi ý các bước:

Giải $\overline C'(x)=1-\dfrac{900}{x^2}=0$ .
Tính $\overline C$ tại nghiệm dương.

Xem lời giải

$\overline C'(x)=0\iff x=30$ , và $\overline C'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ . $\overline C(30)=30+20+30=80$ . Phương án B là số sản phẩm $x$ ; C quên số hạng $20$ .

Đáp số. A.

Bài 4 Tự luận

Một bể chứa không nắp có đáy hình vuông, thể tích $32$ dm³. Tìm kích thước của bể để tốn ít vật liệu nhất (diện tích đáy cộng bốn mặt bên nhỏ nhất).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đáy cạnh $x$ , chiều cao $h=\dfrac{32}{x^2}$ .

Gợi ý các bước:

Lập $S(x)=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}$ , $x>0$ .
Lập bảng biến thiên trên $(0; +\infty)$ .

Xem lời giải

$S'(x)=2x-\dfrac{128}{x^2}=\dfrac{2(x^3-64)}{x^2}=0\iff x=4$ ; $S'<0$ khi $0<x<4$ , $S'>0$ khi $x>4$ . Khi đó $h=\dfrac{32}{16}=2$ và $S(4)=16+32=48$ dm².

Đáp số. Đáy cạnh $4$ dm, cao $2$ dm (diện tích vật liệu $48$ dm²).

Bài 5 Đúng/Sai

Một cửa hàng bán áo với giá $200$ nghìn đồng mỗi chiếc thì mỗi tháng bán được $50$ chiếc; cứ giảm giá $1$ nghìn đồng thì bán thêm được $1$ chiếc. Giá nhập mỗi chiếc là $120$ nghìn đồng. Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá, $0\le x\le80$ .

a) Khi bán với giá $190$ nghìn đồng, cửa hàng bán được $60$ chiếc mỗi tháng.

b) Lợi nhuận mỗi tháng là $P(x)=(80-x)(50+x)$ (nghìn đồng).

c) Lợi nhuận lớn nhất khi giá bán là $170$ nghìn đồng.

d) Lợi nhuận lớn nhất là $4225$ nghìn đồng.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lợi nhuận = (giá bán − giá nhập) × số lượng.

Gợi ý các bước:

Giá bán $200-x$ , lãi mỗi chiếc $80-x$ , số lượng $50+x$ .
Tìm giá trị lớn nhất của $P$ trên $[0; 80]$ .

Xem lời giải

a) Đúng: giảm $10$ nghìn thì bán $50+10=60$ chiếc.

b) Đúng: lãi mỗi chiếc $200-x-120=80-x$ , nhân với $50+x$ .

c) Sai: $P'(x)=30-2x=0\iff x=15$ , nên giá bán tốt nhất là $185$ nghìn đồng.

d) Đúng: $P(15)=65\cdot65=4225$ , lớn hơn $P(0)=4000$ và $P(80)=0$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 6 Trả lời ngắn

Một quả bóng được ném thẳng đứng lên, độ cao sau $t$ giây là $h(t)=1{,}5+19{,}6t-4{,}9t^2$ (m). Tính độ cao lớn nhất của quả bóng (đơn vị: mét).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: độ cao lớn nhất khi vận tốc $h'(t)=0$ .

Gợi ý các bước:

Giải $h'(t)=19{,}6-9{,}8t=0$ .
Thay vào $h(t)$ .

Xem lời giải

$h'(t)=0\iff t=2$ , $h'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ . $h(2)=1{,}5+39{,}2-19{,}6=21{,}1$ .

Đáp số. $21{,}1$ .

Bài 7 Trắc nghiệm

Một lon nước hình trụ có thể tích $16\pi$ cm³. Để tốn ít vật liệu nhất (diện tích toàn phần nhỏ nhất), bán kính đáy của lon phải bằng A. $2$ cm. B. $4$ cm. C. $8$ cm. D. $1$ cm.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $V=\pi r^2h$ , diện tích toàn phần $S=2\pi r^2+2\pi rh$ .

Gợi ý các bước:

Thay $h=\dfrac{16}{r^2}$ để được $S(r)=2\pi r^2+\dfrac{32\pi}{r}$ .
Giải $S'(r)=0$ .

Xem lời giải

$S'(r)=4\pi r-\dfrac{32\pi}{r^2}=0\iff r^3=8\iff r=2$ ; $S'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ . Khi đó $h=4$ . Phương án B là chiều cao, C là $r^3$ .

Đáp số. A.

Bài 8 Trả lời ngắn

Một người ở điểm $A$ trên mặt hồ, cách bờ thẳng $4$ km ( $B$ là điểm trên bờ gần $A$ nhất). Người đó muốn đến điểm $C$ trên bờ với $BC=10$ km: chèo thuyền với vận tốc $3$ km/h đến điểm $M$ trên đoạn $BC$ , rồi đi bộ với vận tốc $5$ km/h đến $C$ . Điểm $M$ cách $B$ bao nhiêu km thì thời gian ít nhất?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thời gian = quãng đường : vận tốc; $AM=\sqrt{x^2+16}$ với $x=BM$ .

Gợi ý các bước:

Lập $T(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+16}}{3}+\dfrac{10-x}{5}$ , $0\le x\le10$ .
Giải $T'(x)=0$ và so sánh với hai đầu mút.

Xem lời giải

$T'(x)=\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+16}}-\dfrac15=0\iff5x=3\sqrt{x^2+16}\iff16x^2=144\iff x=3$ . $T(0)\approx3{,}33$ , $T(3)=\dfrac53+\dfrac75\approx3{,}07$ , $T(10)\approx3{,}59$ (giờ).

Đáp số. $3$ .

Bài 9 Đúng/Sai

Từ một tấm bìa hình chữ nhật kích thước $16$ cm × $10$ cm, người ta cắt bốn hình vuông cạnh $x$ cm ở bốn góc rồi gấp thành hộp không nắp.

a) Điều kiện của $x$ là $0<x<5$ .

b) Thể tích hộp là $V(x)=x(16-x)(10-x)$ .

c) Thể tích lớn nhất khi $x=\dfrac{20}{3}$ .

d) Thể tích lớn nhất của hộp là $144$ cm³.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đáy hộp có kích thước $(16-2x)$ và $(10-2x)$ .

Gợi ý các bước:

Viết $V(x)$ và tính $V'(x)$ .
Chỉ giữ nghiệm thuộc miền của $x$ .

Xem lời giải

$V(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x^3-52x^2+160x$ , $V'(x)=12x^2-104x+160=4(x-2)(3x-20)$ .

a) Đúng: cần $10-2x>0$ và $x>0$ .

b) Sai: mỗi cạnh đáy bị cắt hai lần, phải là $16-2x$ và $10-2x$ .

c) Sai: $\dfrac{20}{3}\approx6{,}67$ không thuộc $(0; 5)$ ; nghiệm cần lấy là $x=2$ .

d) Đúng: $V'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=2$ , $V(2)=2\cdot12\cdot6=144$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.

Bài 10 Thử thách

Một tấm tôn rộng $30$ cm được gấp thành máng nước: đáy rộng $10$ cm, hai thành mỗi bên rộng $10$ cm, nghiêng với phương nằm ngang một góc $\theta$ với $0<\theta\le\dfrac{\pi}{2}$ (mặt cắt là hình thang cân). Tìm $\theta$ để diện tích mặt cắt lớn nhất và tính diện tích đó (làm tròn đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: diện tích hình thang $=\dfrac{(\text{đáy lớn}+\text{đáy nhỏ})\cdot\text{cao}}{2}$ ; $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ .

Gợi ý các bước:

Chiều cao $10\sin\theta$ , đáy lớn $10+20\cos\theta$ , nên $A(\theta)=100\sin\theta(1+\cos\theta)$ .
Tính $A'(\theta)$ , phân tích thành nhân tử theo $\cos\theta$ .

Xem lời giải

$A'(\theta)=100\left(\cos\theta+\cos^2\theta-\sin^2\theta\right)=100(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)=100(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1).$ Trên $\left(0; \dfrac{\pi}{2}\right]$ , $\cos\theta+1>0$ , nên $A'=0\iff\cos\theta=\dfrac12\iff\theta=\dfrac{\pi}{3}$ ; $A'>0$ khi $\theta<\dfrac{\pi}{3}$ và $A'<0$ khi $\theta>\dfrac{\pi}{3}$ . $A\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=100\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac32=75\sqrt3\approx129{,}9$ .

Đáp số. $\theta=\dfrac{\pi}{3}$ ( $60^\circ$ ), diện tích lớn nhất $75\sqrt3\approx129{,}9$ cm².

Quy trình giải bài toán tối ưu

Tốc độ thay đổi và chuyển động

Chi phí, doanh thu và lợi nhuận

Bài toán đường đi và lắp đặt

Thuật ngữ

Bài tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) Điều kiện của $x$ là $0<x<60$ .	Đúng	Sai
b) Diện tích mảnh đất là $S(x)=x(120-2x)$ .	Đúng	Sai
c) Diện tích lớn nhất khi $x=30$ .	Đúng	Sai
d) Diện tích lớn nhất là $3600$ m².	Đúng	Sai