LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 3.1

Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Tính khoảng biến thiên $R$ của mẫu số liệu ghép nhóm.
Tính tứ phân vị $Q_1$ , $Q_3$ và khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ của mẫu số liệu ghép nhóm.
So sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm và giải thích ý nghĩa.
Hiểu vì sao các số đo này chỉ là giá trị xấp xỉ của số đo của mẫu số liệu gốc.

Ghi nhớ

Mẫu ghép nhóm $[u_1; u_2)$ , …, $[u_k; u_{k+1})$ , tần số $n_1$ , …, $n_k$ , cỡ mẫu $n$ .
$R=u_{k+1}-u_1$ (đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu).
$Q_1=u_m+\dfrac{\frac n4-C}{n_m}(u_{m+1}-u_m)$ , với nhóm $m$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\ge\frac n4$ , $C$ là tần số tích luỹ của các nhóm trước nó; $Q_3$ : thay $\frac n4$ bằng $\frac{3n}{4}$ .
$\Delta_Q=Q_3-Q_1$ : độ rộng của nửa số liệu ở giữa; nhỏ hơn thì đồng đều hơn.
Đây là các giá trị xấp xỉ; $\Delta_Q$ ít bị ảnh hưởng bởi hai nhóm ở hai đầu hơn $R$ .

Bài tập

Bài 1

Khối lượng (g) của $40$ quả táo được cho trong bảng. Tính $R$ , $Q_1$ , $Q_3$ và $\Delta_Q$ .

Khối lượng (g)	$[150; 160)$	$[160; 170)$	$[170; 180)$	$[180; 190)$	$[190; 200)$
Số quả	$4$	$10$	$14$	$8$	$4$

Bài 2

Thời gian đọc sách mỗi ngày (phút) của $50$ học sinh được cho trong bảng. Tính $Q_1$ , $Q_3$ và $\Delta_Q$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Thời gian (phút)	$[0; 20)$	$[20; 40)$	$[40; 60)$	$[60; 80)$	$[80; 100)$
Số học sinh	$5$	$9$	$16$	$12$	$8$

Bài 3

Một cửa hàng thử thời lượng pin (giờ) của $50$ chiếc điện thoại mỗi loại X và Y.

Thời lượng (giờ)	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$
Loại X	$3$	$10$	$24$	$10$	$3$
Loại Y	$8$	$12$	$10$	$12$	$8$

Tính khoảng tứ phân vị của mỗi loại. Nếu khách hàng cần thời lượng pin ổn định, nên chọn loại nào?

Bài 4

Số giờ tập thể dục mỗi tuần của $30$ học sinh được cho trong bảng.

Số giờ	$[0; 2)$	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Số học sinh	$3$	$7$	$10$	$6$	$4$

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu bằng $10$ .

b) Tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm $[2; 4)$ .

c) $Q_3\approx6{,}83$ .

d) Khoảng tứ phân vị lớn hơn $4$ .

Bài 5

Cân nặng (kg) của $40$ học sinh được cho trong bảng. Tính khoảng tứ phân vị (đơn vị: kg, làm tròn đến hàng phần trăm).

Cân nặng (kg)	$[40; 45)$	$[45; 50)$	$[50; 55)$	$[55; 60)$	$[60; 65)$
Số học sinh	$4$	$9$	$15$	$8$	$4$

Bài 6

(Ôn lại trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, lớp 11.) Với bảng khối lượng táo ở Bài 1, tính trung vị $M_e$ và kiểm tra rằng $Q_1<M_e<Q_3$ .

Bài 7

(Ôn lại Các số đặc trưng đo độ phân tán.) Cho mẫu số liệu gốc $3, 7, 8, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 21, 24, 29$ .

a) Tính $R$ và $\Delta_Q$ của mẫu số liệu gốc.

b) Ghép thành ba nhóm $[0; 10)$ , $[10; 20)$ , $[20; 30)$ rồi tính $R$ và $\Delta_Q$ của mẫu ghép nhóm.

Bài 8

Ở lớp 12A (Ví dụ 1), ta có $Q_1=15$ và $Q_3=32{,}5$ phút. Một học sinh mới chuyển đến lớp mất $62$ phút để đến trường. Theo quy tắc $1{,}5\,\Delta_Q$ , thời gian này có bất thường không?

Bài 9 Thử thách

Một mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số sau, với $x$ là số nguyên dương chưa biết.

Nhóm	$[0; 10)$	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$
Tần số	$4$	$x$	$10$	$6$

Biết $Q_1=13{,}75$ và $Q_1$ thuộc nhóm $[10; 20)$ . Tìm $x$ .

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Thời gian chờ xe buýt (phút) của $40$ hành khách được cho trong bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là

Thời gian (phút)	$[0; 5)$	$[5; 10)$	$[10; 15)$	$[15; 20)$	$[20; 25)$
Số hành khách	$6$	$14$	$12$	$4$	$4$

5

phút.B.

20

phút.C.

25

phút.D.

10

phút.

Câu 2. Với mẫu số liệu ở Câu 1, nhóm chứa tứ phân vị thứ ba

Q_3

là

[5; 10)

.B.

[10; 15)

.C.

[15; 20)

.D.

[20; 25)

Câu 3. Với mẫu số liệu ở Câu 1, giá trị gần đúng nhất của tứ phân vị thứ nhất

Q_1

là

8{,}33

.B.

5{,}29

.C.

1{,}43

.D.

6{,}43

Câu 4. Theo quy tắc dùng khoảng tứ phân vị, một giá trị

x

của mẫu số liệu được coi là giá trị bất thường nếu

x<Q_1-1{,}5\,\Delta_Q

hoặc

x>Q_3+1{,}5\,\Delta_Q

.B.

x<Q_1

hoặc

x>Q_3

.C.

x<Q_1-1{,}5\,R

hoặc

x>Q_3+1{,}5\,R

.D.

Q_1-1{,}5\,\Delta_Q<x<Q_3+1{,}5\,\Delta_Q

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.

Thời gian chạy $100$ m (giây) của $32$ học sinh được cho trong bảng sau.

Thời gian (giây)	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$	$[18; 20)$	$[20; 22)$
Số học sinh	$4$	$8$	$10$	$8$	$2$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $10$ giây.	Đ / S
b) $Q_1=15$ .	Đ / S
c) Tứ phân vị thứ ba $Q_3$ thuộc nhóm $[16; 18)$ .	Đ / S
d) Theo quy tắc $1{,}5\,\Delta_Q$ , thời gian $24$ giây là giá trị bất thường.	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.

Lượng điện tiêu thụ trong một tháng (kWh) của $80$ hộ gia đình được cho trong bảng sau. Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Điện tiêu thụ (kWh)	$[50; 100)$	$[100; 150)$	$[150; 200)$	$[200; 250)$	$[250; 300)$
Số hộ	$8$	$20$	$28$	$16$	$8$

Câu 2. Với mẫu số liệu ở câu trước, theo quy tắc

1{,}5\,\Delta_Q

, một hộ dùng nhiều hơn bao nhiêu kWh điện trong tháng thì được coi là bất thường (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $R=u_{k+1}-u_1$ ; công thức $Q_1$ , $Q_3$ của mẫu ghép nhóm.

Gợi ý các bước:

Lập dãy tần số tích luỹ.
Tìm nhóm chứa vị trí $10$ và vị trí $30$ .
Thay vào công thức.

Bài 2.

Kiến thức: vị trí của $Q_1$ là $\frac n4=12{,}5$ , của $Q_3$ là $\frac{3n}{4}=37{,}5$ ; độ rộng nhóm là $20$ .

Gợi ý các bước:

Tần số tích luỹ: $5$ , $14$ , $30$ , $42$ , $50$ .
Chọn nhóm cho mỗi vị trí và thay vào công thức.

Bài 3.

Kiến thức: $\Delta_Q$ nhỏ hơn thì số liệu ở giữa tập trung hơn.

Gợi ý các bước:

Vị trí $12{,}5$ và $37{,}5$ ; lập tần số tích luỹ cho từng loại.
Tính $Q_1$ , $Q_3$ rồi $\Delta_Q$ cho mỗi loại và so sánh.

Bài 4.

Kiến thức: $R=u_{k+1}-u_1$ ; nhóm chứa $Q_1$ là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ $\ge\frac n4$ .

Gợi ý các bước:

Tần số tích luỹ: $3$ , $10$ , $20$ , $26$ , $30$ ; $\frac n4=7{,}5$ , $\frac{3n}{4}=22{,}5$ .
Tính $Q_1$ , $Q_3$ rồi $\Delta_Q$ .

Bài 5.

Kiến thức: công thức $Q_1$ , $Q_3$ ; độ rộng nhóm là $5$ .

Gợi ý các bước:

Tần số tích luỹ: $4$ , $13$ , $28$ , $36$ , $40$ .
Vị trí $10$ thuộc $[45; 50)$ , vị trí $30$ thuộc $[55; 60)$ .

Bài 6.

Kiến thức: $M_e$ tính như $Q_1$ nhưng với vị trí $\frac n2$ .

Gợi ý các bước:

$\frac n2=20$ ; tần số tích luỹ $4$ , $14$ , $28$ , …
Nhóm chứa $M_e$ là $[170; 180)$ , với $C=14$ , $n_m=14$ .

Bài 7.

Kiến thức: với $n=12$ chẵn, mỗi nửa có $6$ giá trị (lớp 10); công thức của mẫu ghép nhóm.

Gợi ý các bước:

a) $Q_1$ là trung vị của $6$ giá trị đầu, $Q_3$ là trung vị của $6$ giá trị cuối.
b) Đếm tần số mỗi nhóm; vị trí $3$ và $9$ .

Bài 8.

Kiến thức: giá trị bất thường nếu lớn hơn $Q_3+1{,}5\,\Delta_Q$ hoặc nhỏ hơn $Q_1-1{,}5\,\Delta_Q$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\Delta_Q$ và $1{,}5\,\Delta_Q$ .
Tính ngưỡng trên và so sánh với $62$ .

Bài 9.

Kiến thức: $n=20+x$ ; $Q_1=u_m+\dfrac{\frac n4-C}{n_m}\cdot h$ .

Gợi ý các bước:

Viết $Q_1$ theo $x$ với $u_m=10$ , $C=4$ , $n_m=x$ , $h=10$ .
Giải phương trình rồi kiểm tra điều kiện chọn nhóm.

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐