LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 3.2

Phương sai và độ lệch chuẩn

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Tính phương sai $s^2$ và độ lệch chuẩn $s$ của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hai công thức.
Lập bảng tính với các cột $x_i$ , $n_i$ , $n_ix_i$ , $n_ix_i^2$ .
So sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm bằng độ lệch chuẩn.
Hiểu ảnh hưởng của độ rộng nhóm và của việc đổi đơn vị.

Ghi nhớ

Thay mỗi nhóm bằng giá trị đại diện $x_i$ (trung điểm) với tần số $n_i$ .
$s^2=\dfrac1n\sum n_i(x_i-\bar{x})^2=\dfrac1n\sum n_ix_i^2-\bar{x}^2$ ; $s=\sqrt{s^2}$ , cùng đơn vị với số liệu.
Lập bảng $x_i$ , $n_i$ , $n_ix_i$ , $n_ix_i^2$ ; chỉ làm tròn ở kết quả cuối.
Hai mẫu có trung bình gần nhau: $s$ nhỏ hơn thì đồng đều hơn.
$s$ của mẫu ghép nhóm là giá trị xấp xỉ; nhóm hẹp hơn thường cho xấp xỉ tốt hơn.

Bài tập

Bài 1

Thời gian dùng điện thoại mỗi ngày (giờ) của $20$ học sinh được cho trong bảng. Tính $s^2$ và $s$ bằng công thức định nghĩa.

Thời gian (giờ)	$[0; 4)$	$[4; 8)$	$[8; 12)$	$[12; 16)$
Số học sinh	$3$	$7$	$7$	$3$

Bài 2

Điểm kiểm tra của $40$ học sinh được ghép nhóm như sau. Lập bảng tính và tìm $\bar{x}$ , $s^2$ , $s$ .

Điểm	$[4; 5)$	$[5; 6)$	$[6; 7)$	$[7; 8)$	$[8; 9)$	$[9; 10)$
Số học sinh	$2$	$5$	$9$	$14$	$7$	$3$

Bài 3

Hai đơn vị giao hàng P và Q ghi lại thời gian giao (phút) của $40$ đơn hàng mỗi bên.

Thời gian (phút)	$[20; 25)$	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$	$[40; 45)$
Đơn vị P	$2$	$10$	$16$	$10$	$2$
Đơn vị Q	$8$	$8$	$8$	$8$	$8$

Tính thời gian trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi đơn vị. Đơn vị nào giao hàng đúng hẹn ổn định hơn?

Bài 4

Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau.

Nhóm	$[0; 10)$	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$
Tần số	$1$	$4$	$4$	$1$

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Số trung bình bằng $20$ .

b) Phương sai bằng $65$ .

c) Độ lệch chuẩn lớn hơn $9$ .

d) Nếu mọi giá trị tăng thêm $5$ (các nhóm thành $[5; 15)$ , …, $[35; 45)$ ) thì phương sai bằng $70$ .

Bài 5

Chiều cao (cm) của $50$ học sinh được cho trong bảng. Tính độ lệch chuẩn (đơn vị: cm, làm tròn đến hàng phần trăm).

Chiều cao (cm)	$[150; 155)$	$[155; 160)$	$[160; 165)$	$[165; 170)$	$[170; 175)$
Số học sinh	$5$	$12$	$18$	$10$	$5$

Bài 6

(Ôn lại số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, lớp 11.) Thời gian (phút) hoàn thành một bài tập của $20$ học sinh được cho trong bảng. Tính $\bar{x}$ , rồi tính $s$ .

Thời gian (phút)	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$	$[40; 50)$
Số học sinh	$3$	$9$	$6$	$2$

Bài 7

(Ôn lại Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị.) Với hai đơn vị giao hàng ở Bài 3, tính khoảng tứ phân vị của mỗi đơn vị. Kết luận có giống khi dùng độ lệch chuẩn không?

Bài 8 Thử thách

Một mẫu số liệu ghép nhóm có bảng tần số sau, với $x$ là số nguyên dương. Biết số trung bình bằng $4{,}2$ . Tìm $x$ , rồi tính phương sai (làm tròn đến hàng phần trăm).

Nhóm	$[0; 2)$	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$
Tần số	$2$	$x$	$5$	$3$

Bài 9 Thử thách

Ở Ví dụ 1, thời gian ngủ có $s^2=1{,}1275$ (đơn vị: giờ²). Nếu đổi toàn bộ số liệu sang phút (nhân mọi giá trị và đầu mút nhóm với $60$ ), thì phương sai và độ lệch chuẩn mới bằng bao nhiêu?

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong mẫu số liệu ghép nhóm, giá trị đại diện của nhóm

[20; 30)

là

20

.B.

25

.C.

30

.D.

10

Câu 2. Một mẫu số liệu ghép nhóm có phương sai

s^2=2{,}25

. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là

1{,}125

.B.

5{,}0625

.C.

2{,}25

.D.

1{,}5

Câu 3.

Cho mẫu số liệu ghép nhóm sau. Phương sai của mẫu số liệu là

Nhóm	$[0; 2)$	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$
Tần số	$2$	$3$	$3$	$2$

4{,}2

.B.

5

.C.

2{,}05

.D.

0

Câu 4. Hai mẫu số liệu ghép nhóm

A

và

B

có cùng số trung bình, với độ lệch chuẩn

s_A=2{,}1

và

s_B=3{,}4

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Mẫu

A

chắc chắn có khoảng biến thiên nhỏ hơn mẫu

B

.B. Số liệu của mẫu

B

đồng đều hơn số liệu của mẫu

A

.C. Số liệu của mẫu

A

đồng đều hơn số liệu của mẫu

B

.D. Hai mẫu có độ phân tán như nhau.

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1.

Quãng đường chạy mỗi tuần (km) của $20$ người được cho trong bảng sau.

Quãng đường (km)	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$	$[40; 50)$
Số người	$4$	$6$	$8$	$2$

a) Giá trị đại diện của nhóm $[30; 40)$ là $35$ .	Đ / S
b) Số trung bình của mẫu số liệu là $29$ km.	Đ / S
c) Phương sai của mẫu số liệu là $84$ .	Đ / S
d) Nếu đổi mọi số liệu sang đơn vị khác bằng cách nhân với $2$ thì phương sai mới bằng $168$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.

Thời gian tự học mỗi tuần (giờ) của $30$ học sinh được cho trong bảng sau. Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Thời gian (giờ)	$[0; 3)$	$[3; 6)$	$[6; 9)$	$[9; 12)$
Số học sinh	$4$	$10$	$12$	$4$

Câu 2.

Chiều dài (mm) của $40$ chi tiết máy được cho trong bảng sau. Tính phương sai của mẫu số liệu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Chiều dài (mm)	$[48; 49)$	$[49; 50)$	$[50; 51)$	$[51; 52)$
Số chi tiết	$4$	$16$	$16$	$4$

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: $s^2=\dfrac1n\sum n_i(x_i-\bar{x})^2$ với $x_i$ là trung điểm.

Gợi ý các bước:

Trung điểm $2$ , $6$ , $10$ , $14$ ; tính $\bar{x}$ .
Tính các độ lệch, bình phương, nhân với tần số.

Bài 2.

Kiến thức: $s^2=\dfrac1n\sum n_ix_i^2-\bar{x}^2$ .

Gợi ý các bước:

Trung điểm $4{,}5$ ; $5{,}5$ ; …; $9{,}5$ .
Tính $\sum n_ix_i$ và $\sum n_ix_i^2$ .

Bài 3.

Kiến thức: cùng trung bình thì $s$ nhỏ hơn nghĩa là ổn định hơn.

Gợi ý các bước:

Trung điểm $22{,}5$ ; $27{,}5$ ; …; $42{,}5$ . Cả hai bảng đối xứng quanh $32{,}5$ .
Các độ lệch là $-10$ , $-5$ , $0$ , $5$ , $10$ .

Bài 4.

Kiến thức: công thức phương sai; cộng cùng một số vào mọi giá trị thì các độ lệch không đổi.

Gợi ý các bước:

Trung điểm $5$ , $15$ , $25$ , $35$ ; tính $\bar{x}$ .
Các độ lệch $-15$ , $-5$ , $5$ , $15$ .

Bài 5.

Kiến thức: $s^2=\dfrac1n\sum n_ix_i^2-\bar{x}^2$ ; không làm tròn $\bar{x}$ giữa chừng.

Gợi ý các bước:

Trung điểm $152{,}5$ ; $157{,}5$ ; …; $172{,}5$ .
Tính $\bar{x}$ rồi $s^2$ , cuối cùng mới khai căn và làm tròn.

Bài 6.

Kiến thức: $\bar{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{n}$ với $x_i$ là trung điểm; $s^2=\dfrac{\sum n_ix_i^2}{n}-\bar{x}^2$ .

Gợi ý các bước:

Trung điểm $15$ , $25$ , $35$ , $45$ .
Tính $\sum n_ix_i$ và $\sum n_ix_i^2$ .

Bài 7.

Kiến thức: $Q_1=u_m+\dfrac{\frac n4-C}{n_m}(u_{m+1}-u_m)$ , tương tự cho $Q_3$ ; vị trí $10$ và $30$ .

Gợi ý các bước:

Tần số tích luỹ của P: $2$ , $12$ , $28$ , $38$ , $40$ ; của Q: $8$ , $16$ , $24$ , $32$ , $40$ .
Tính $Q_1$ , $Q_3$ cho từng đơn vị.

Bài 8.

Kiến thức: $\bar{x}=\dfrac{\sum n_ix_i}{n}$ với $n=10+x$ .

Gợi ý các bước:

Trung điểm $1$ , $3$ , $5$ , $7$ ; lập phương trình $\dfrac{48+3x}{10+x}=4{,}2$ .
Với $x$ vừa tìm, tính $\sum n_ix_i^2$ và $s^2$ .

Bài 9.

Kiến thức: nhân mọi giá trị với $k$ thì $\bar{x}$ và mọi độ lệch đều nhân với $k$ .

Gợi ý các bước:

Mỗi độ lệch $x_i-\bar{x}$ nhân với $60$ , nên bình phương nhân với $3600$ .
Suy ra $s^2$ mới, rồi $s$ mới.

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐