Nguyên hàm

Kiến thức: $\displaystyle\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ và tính chất tách tổng.

Gợi ý các bước:

1. Tìm nguyên hàm của từng số hạng.
2. Cộng một hằng số $C$ và kiểm tra bằng đạo hàm.

Kiến thức: viết $\sqrt x=x^{\frac12}$, $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ rồi dùng công thức luỹ thừa.

Gợi ý các bước:

1. Đổi sang luỹ thừa.
2. Áp dụng công thức cho từng số hạng.

Kiến thức: các dòng $e^x$, $\sin x$ và $\dfrac{1}{\sin^2x}$ của bảng nguyên hàm.

Gợi ý các bước:

1. Viết nguyên hàm của từng số hạng, chú ý hai dấu trừ.
2. Gộp lại và cộng $C$.

Kiến thức: không tìm nguyên hàm của bình phương bằng cách "bình phương nguyên hàm"; hãy khai triển trước.

Gợi ý các bước:

1. Khai triển $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$.
2. Tìm nguyên hàm của đa thức.

Kiến thức: $F$ là nguyên hàm của $f$ khi $F'=f$; điều kiện $G(0)=1$ xác định hằng số $C$.

Gợi ý các bước:

1. Lấy đạo hàm các hàm ở a), b).
2. Tìm $C$ ở c), rồi thay $x=\dfrac{\pi}{2}$ cho d).

Kiến thức: tìm họ nguyên hàm, rồi dùng $F(1)=3$ để tìm $C$.

Gợi ý các bước:

1. $F(x)=x^4-x^2+C$.
2. Thay $x=1$ tìm $C$, rồi tính $F(2)$.

Kiến thức: lượng nước $V(t)$ là một nguyên hàm của $V'(t)$; lúc đầu $V(0)=200$.

Gợi ý các bước:

1. Tìm $V(t)=3t^2+20t+C$.
2. Dùng $V(0)=200$ tìm $C$, rồi tính $V(10)$.

Kiến thức: cách tìm giá trị lớn nhất trên một đoạn (xem giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất); quãng đường là nguyên hàm của vận tốc.

Gợi ý các bước:

1. Giải $v'(t)=0$ và so sánh $v(0)$, $v(2)$, $v(4)$.
2. Tìm $s(t)$ với $s(0)=0$ rồi tính $s(4)$.

Kiến thức: $f'$ là một nguyên hàm của $f''$, và $f$ là một nguyên hàm của $f'$ (đạo hàm cấp hai đã học ở lớp 11).

Gợi ý các bước:

1. Tìm $f'(x)$, dùng $f'(0)=1$ để tìm hằng số thứ nhất.
2. Tìm $f(x)$, dùng $f(0)=-1$ để tìm hằng số thứ hai.

Kiến thức: công thức hạ bậc (lớp 11): $\cos x=1-2\sin^2\dfrac x2$, tức $\sin^2\dfrac x2=\dfrac{1-\cos x}{2}$.

Gợi ý các bước:

1. Thay $\sin^2\dfrac x2$ bằng $\dfrac12-\dfrac12\cos x$.
2. Tìm nguyên hàm từng số hạng.