Nguyên hàm

Một ô tô đang chạy với vận tốc $20$ m/s thì người lái đạp phanh. Từ lúc đó, vận tốc của xe sau $t$ giây là $v(t)=20-5t$ (m/s), và xe dừng hẳn sau $4$ giây. Trong $4$ giây ấy xe đi thêm được bao nhiêu mét?

Bạn có thể nghĩ: $20\cdot 4=80$ m. Nhưng xe chạy chậm dần, nên quãng đường phải ít hơn. Để trả lời, ta cần làm ngược lại phép tính đạo hàm.

Nguyên hàm là gì?

Khám phá: hàm số nào có đạo hàm là $2x$ ?

Ở lớp 11 ta đã biết lấy đạo hàm. Bây giờ ta hỏi ngược lại: biết đạo hàm là $2x$ , hàm số ban đầu là gì?

Hàm số $F(x)$	$x^2$	$x^2+1$	$x^2-5$	$x^2+\sqrt3$
Đạo hàm $F'(x)$	$2x$	$2x$	$2x$	$2x$

Có rất nhiều đáp án, nhưng chúng chỉ khác nhau một hằng số, vì đạo hàm của hằng số bằng $0$ . Trong bài toán ô tô, vận tốc là đạo hàm của quãng đường, nên ta cần một hàm $s(t)$ có $s'(t)=20-5t$ .

Vì sao đúng? Nếu $G(x)$ cũng là một nguyên hàm thì $\big(G(x)-F(x)\big)'=f(x)-f(x)=0$ trên $K$ . Một hàm có đạo hàm bằng $0$ trên cả khoảng thì không tăng cũng không giảm, nên là hằng số: $G(x)-F(x)=C$ .

Kí hiệu $\displaystyle\int f(x)\,dx$ đọc là "tích phân bất định của $f$ " hay "họ nguyên hàm của $f$ ". Mọi hàm số liên tục trên $K$ đều có nguyên hàm trên $K$ . Từ định nghĩa ta còn có $\displaystyle\int f'(x)\,dx=f(x)+C$ .

Bảng nguyên hàm và tính chất

Mỗi dòng của bảng sau là một công thức đạo hàm đọc ngược. Bạn có thể tự kiểm tra từng dòng bằng cách lấy đạo hàm vế phải.

Hàm số $f(x)$	Họ nguyên hàm $\displaystyle\int f(x)\,dx$
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$x^{\alpha}$ $(\alpha\neq-1)$	$\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x$ $(0<a\neq1)$	$\dfrac{a^x}{\ln a}+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\tan x+C$
$\dfrac{1}{\sin^2x}$	$-\cot x+C$

Chú ý dấu trừ ở dòng $\sin x$ : vì $(\cos x)'=-\sin x$ , nên muốn được $\sin x$ ta phải lấy $-\cos x$ .

Hai tính chất này đúng vì đạo hàm cũng có tính chất như vậy. Nhờ chúng, ta tìm nguyên hàm của một tổng bằng cách xử lí từng số hạng.

Với căn thức và phân thức, ta viết lại thành luỹ thừa trước khi dùng bảng.

Ví dụ Căn thức và phân thức

Tìm $\displaystyle\int\left(2\sqrt x-\frac3x+\frac1{x^2}\right)dx$ trên khoảng $(0; +\infty)$ .

Lời giải. Viết $\sqrt x=x^{\frac12}$ và $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ . Riêng $\dfrac3x$ có số mũ $-1$ , nên dùng công thức $\ln\lvert x\rvert$ :

$\begin{aligned} \int\left(2x^{\frac12}-\frac3x+x^{-2}\right)dx&=2\cdot\frac{x^{\frac32}}{\frac32}-3\ln\lvert x\rvert+\frac{x^{-1}}{-1}+C\\ &=\frac43x\sqrt x-3\ln x-\frac1x+C. \end{aligned}$

Trên $(0; +\infty)$ ta có $\lvert x\rvert=x$ , nên viết được $\ln x$ .

Tiếp theo là các hàm mũ và lượng giác. Chú ý từng dấu.

Nhiều hàm số không có sẵn trong bảng, nhưng biến đổi một chút thì có.

Ví dụ Biến đổi trước khi tìm nguyên hàm

Tìm a) $\displaystyle\int\frac{(x+1)^2}{x}\,dx$ trên $(0; +\infty)$ ; b) $\displaystyle\int\tan^2x\,dx$ trên $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Lời giải. a) Khai triển tử số rồi chia từng số hạng cho $x$ :

$\int\frac{x^2+2x+1}{x}\,dx=\int\left(x+2+\frac1x\right)dx=\frac{x^2}{2}+2x+\ln x+C.$

b) Từ $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ ta được $\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}-1$ :

$\int\tan^2x\,dx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C.$

Nguyên hàm thoả mãn một điều kiện

Họ nguyên hàm có vô số hàm. Khi đề cho thêm một giá trị, chẳng hạn $F(0)=5$ , ta thay vào để tìm đúng một hằng số $C$ .

Về hình học, mỗi hằng số $C$ cho một đồ thị, và các đồ thị này là những bản tịnh tiến theo chiều dọc của nhau. Điều kiện $F(x_0)=y_0$ chọn ra đúng đồ thị đi qua điểm $(x_0; y_0)$ .

Ba nguyên hàm của

f(x)=2x

Từ vận tốc đến quãng đường

Nếu $s(t)$ là quãng đường vật đi được sau $t$ giây thì vận tốc là $v(t)=s'(t)$ . Vậy $s(t)$ là một nguyên hàm của $v(t)$ . Tương tự, vận tốc là một nguyên hàm của gia tốc. Bây giờ ta trả lời câu hỏi về chiếc ô tô.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Dùng công thức luỹ thừa cho $\dfrac1x$ . Sai: $\displaystyle\int x^{-1}dx=\frac{x^0}{0}+C$ . Lí do sai: công thức $\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ chỉ dùng khi $\alpha\neq-1$ . Đúng: $\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln\lvert x\rvert+C$ .
Sai dấu với $\sin x$ . Sai: $\displaystyle\int\sin x\,dx=\cos x+C$ . Lí do sai: $(\cos x)'=-\sin x$ . Đúng: $\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ .
Tách nguyên hàm của một tích. Sai: $\displaystyle\int x\cdot x\,dx=\frac{x^2}{2}\cdot\frac{x^2}{2}+C$ . Lí do sai: không có quy tắc "nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm"; lấy đạo hàm vế phải được $x^3\neq x^2$ . Đúng: $\displaystyle\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$ .
Coi $e^0=0$ khi tìm $C$ . Sai: $F(x)=e^x+2x^2+C$ , $F(0)=5$ nên $C=5$ . Lí do sai: $e^0=1$ . Đúng: $1+C=5$ , $C=4$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
nguyên hàm	antiderivative
họ nguyên hàm	family of antiderivatives
tích phân bất định	indefinite integral
hằng số tuỳ ý $C$	arbitrary constant $C$
bảng nguyên hàm cơ bản	table of standard antiderivatives
vận tốc	velocity
gia tốc	acceleration
quãng đường	distance travelled

Tóm tắt

$F$ là nguyên hàm của $f$ trên $K$ khi $F'(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$ .
Mọi nguyên hàm có dạng $F(x)+C$ ; viết $\displaystyle\int f(x)\,dx=F(x)+C$ .
Bảng cần nhớ: $x^\alpha\to\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$ ( $\alpha\neq-1$ ), $\dfrac1x\to\ln\lvert x\rvert$ , $e^x\to e^x$ , $a^x\to\dfrac{a^x}{\ln a}$ , $\cos x\to\sin x$ , $\sin x\to-\cos x$ , $\dfrac1{\cos^2x}\to\tan x$ , $\dfrac1{\sin^2x}\to-\cot x$ .
Hằng số nhân và tổng, hiệu được tách ra; tích thì không.
Cho thêm $F(x_0)=y_0$ thì thay vào để tìm $C$ .
Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc; luôn kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tìm $\displaystyle\int(4x^3-6x+7)\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\displaystyle\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$ và tính chất tách tổng.

Gợi ý các bước:

Tìm nguyên hàm của từng số hạng.
Cộng một hằng số $C$ và kiểm tra bằng đạo hàm.

Xem lời giải

$\displaystyle\int(4x^3-6x+7)\,dx=4\cdot\frac{x^4}{4}-6\cdot\frac{x^2}{2}+7x+C=x^4-3x^2+7x+C$ .

Đáp số. $x^4-3x^2+7x+C$ .

Bài 2

Tìm $\displaystyle\int\left(3\sqrt x+\frac1{x^2}\right)dx$ trên khoảng $(0; +\infty)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: viết $\sqrt x=x^{\frac12}$ , $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ rồi dùng công thức luỹ thừa.

Gợi ý các bước:

Đổi sang luỹ thừa.
Áp dụng công thức cho từng số hạng.

Xem lời giải

$\displaystyle\int\left(3x^{\frac12}+x^{-2}\right)dx=3\cdot\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+\frac{x^{-1}}{-1}+C=2x\sqrt x-\frac1x+C$ .

Đáp số. $2x\sqrt x-\dfrac1x+C$ .

Bài 3

Tìm $\displaystyle\int\left(5e^x-2\sin x+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: các dòng $e^x$ , $\sin x$ và $\dfrac{1}{\sin^2x}$ của bảng nguyên hàm.

Gợi ý các bước:

Viết nguyên hàm của từng số hạng, chú ý hai dấu trừ.
Gộp lại và cộng $C$ .

Xem lời giải

$\displaystyle\int\left(5e^x-2\sin x+\frac{1}{\sin^2x}\right)dx=5e^x-2(-\cos x)+(-\cot x)+C=5e^x+2\cos x-\cot x+C$ .

Đáp số. $5e^x+2\cos x-\cot x+C$ .

Bài 4

Tìm $\displaystyle\int(2x-1)^2\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: không tìm nguyên hàm của bình phương bằng cách "bình phương nguyên hàm"; hãy khai triển trước.

Gợi ý các bước:

Khai triển $(2x-1)^2=4x^2-4x+1$ .
Tìm nguyên hàm của đa thức.

Xem lời giải

$\displaystyle\int(4x^2-4x+1)\,dx=\frac{4x^3}{3}-2x^2+x+C$ .

Đáp số. $\dfrac43x^3-2x^2+x+C$ .

Bài 5

Cho hàm số $f(x)=3x^2+2\cos x$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $F(x)=x^3+2\sin x$ là một nguyên hàm của $f(x)$ .

b) $F(x)=x^3-2\sin x+5$ là một nguyên hàm của $f(x)$ .

c) Nguyên hàm $G(x)$ của $f(x)$ thoả mãn $G(0)=1$ là $G(x)=x^3+2\sin x+1$ .

d) Với $G(x)$ ở ý c), ta có $G\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi^3}{8}+2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $F$ là nguyên hàm của $f$ khi $F'=f$ ; điều kiện $G(0)=1$ xác định hằng số $C$ .

Gợi ý các bước:

Lấy đạo hàm các hàm ở a), b).
Tìm $C$ ở c), rồi thay $x=\dfrac{\pi}{2}$ cho d).

Xem lời giải

a) Đúng: $(x^3+2\sin x)'=3x^2+2\cos x$ .

b) Sai: $(x^3-2\sin x+5)'=3x^2-2\cos x\neq f(x)$ .

c) Đúng: $G(x)=x^3+2\sin x+C$ , $G(0)=C=1$ .

d) Sai: $G\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi^3}{8}+2\cdot1+1=\dfrac{\pi^3}{8}+3$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Bài 6

Cho $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=4x^3-2x$ thoả mãn $F(1)=3$ . Tính $F(2)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tìm họ nguyên hàm, rồi dùng $F(1)=3$ để tìm $C$ .

Gợi ý các bước:

$F(x)=x^4-x^2+C$ .
Thay $x=1$ tìm $C$ , rồi tính $F(2)$ .

Xem lời giải

$F(1)=1-1+C=3$ nên $C=3$ . Khi đó $F(2)=16-4+3=15$ .

Đáp số. $15$ .

Bài 7

Một bể chứa sẵn $200$ lít nước. Người ta mở vòi bơm thêm nước, sau $t$ phút thì tốc độ thay đổi của lượng nước trong bể là $V'(t)=6t+20$ (lít/phút). Sau $10$ phút bể có bao nhiêu lít nước?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lượng nước $V(t)$ là một nguyên hàm của $V'(t)$ ; lúc đầu $V(0)=200$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $V(t)=3t^2+20t+C$ .
Dùng $V(0)=200$ tìm $C$ , rồi tính $V(10)$ .

Xem lời giải

$V(0)=C=200$ , nên $V(t)=3t^2+20t+200$ và $V(10)=300+200+200=700$ .

Đáp số. $700$ lít.

Bài 8 Ôn tập

Một vật chuyển động thẳng với vận tốc $v(t)=12t-3t^2$ (m/s), $0\le t\le 4$ . Tìm vận tốc lớn nhất của vật và quãng đường vật đi được trong $4$ giây đầu.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cách tìm giá trị lớn nhất trên một đoạn (xem giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất); quãng đường là nguyên hàm của vận tốc.

Gợi ý các bước:

Giải $v'(t)=0$ và so sánh $v(0)$ , $v(2)$ , $v(4)$ .
Tìm $s(t)$ với $s(0)=0$ rồi tính $s(4)$ .

Xem lời giải

$v'(t)=12-6t=0\iff t=2$ ; $v(0)=0$ , $v(2)=12$ , $v(4)=0$ . Vì $v(t)\ge0$ trên $[0; 4]$ nên vật không quay đầu, và $s(t)=6t^2-t^3$ (do $s(0)=0$ ), $s(4)=96-64=32$ .

Đáp số. Vận tốc lớn nhất $12$ m/s (lúc $t=2$ ); quãng đường $32$ m.

Bài 9 Thử thách

Tìm hàm số $f(x)$ biết $f''(x)=6x+2$ , $f'(0)=1$ và $f(0)=-1$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $f'$ là một nguyên hàm của $f''$ , và $f$ là một nguyên hàm của $f'$ (đạo hàm cấp hai đã học ở lớp 11).

Gợi ý các bước:

Tìm $f'(x)$ , dùng $f'(0)=1$ để tìm hằng số thứ nhất.
Tìm $f(x)$ , dùng $f(0)=-1$ để tìm hằng số thứ hai.

Xem lời giải

$f'(x)=3x^2+2x+C_1$ , $f'(0)=C_1=1$ . Tiếp theo $f(x)=x^3+x^2+x+C_2$ , $f(0)=C_2=-1$ . Kiểm tra: $f''(x)=6x+2$ .

Đáp số. $f(x)=x^3+x^2+x-1$ .

Bài 10 Thử thách

Tìm $\displaystyle\int\sin^2\frac{x}{2}\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức hạ bậc (lớp 11): $\cos x=1-2\sin^2\dfrac x2$ , tức $\sin^2\dfrac x2=\dfrac{1-\cos x}{2}$ .

Gợi ý các bước:

Thay $\sin^2\dfrac x2$ bằng $\dfrac12-\dfrac12\cos x$ .
Tìm nguyên hàm từng số hạng.

Xem lời giải

$\displaystyle\int\left(\frac12-\frac12\cos x\right)dx=\frac x2-\frac12\sin x+C$ . Kiểm tra: $\left(\dfrac x2-\dfrac12\sin x\right)'=\dfrac{1-\cos x}{2}=\sin^2\dfrac x2$ .

Đáp số. $\dfrac x2-\dfrac{\sin x}{2}+C$ .

Nguyên hàm là gì?

Khám phá: hàm số nào có đạo hàm là $2x$ ?

Bảng nguyên hàm và tính chất

Nguyên hàm thoả mãn một điều kiện

Từ vận tốc đến quãng đường

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $F(x)=e^x-x^2$ là một nguyên hàm của $f(x)$ .	Đúng	Sai
b) $\displaystyle\int f(x)\,dx=e^x-2+C$ .	Đúng	Sai
c) Nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$ thoả mãn $F(0)=3$ là $F(x)=e^x-x^2+2$ .	Đúng	Sai
d) Với $F(x)$ ở ý c), $F(1)=e+1$ .	Đúng	Sai

Nguyên hàm

Nguyên hàm là gì?

Khám phá: hàm số nào có đạo hàm là 2x2x2x?

Bảng nguyên hàm và tính chất

Nguyên hàm thoả mãn một điều kiện

Từ vận tốc đến quãng đường

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Khám phá: hàm số nào có đạo hàm là $2x$ ?