Tích phân

Kiến thức: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

Gợi ý các bước:

1. Tìm một nguyên hàm $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2+3x$.
2. Tính $F(2)-F(0)$.

Kiến thức: $\sqrt x=x^{\frac12}$ có nguyên hàm $\dfrac23x\sqrt x$; $x^{-2}$ có nguyên hàm $-\dfrac1x$.

Gợi ý các bước:

1. Viết một nguyên hàm $F(x)=\dfrac23x\sqrt x+\dfrac1x$.
2. Tính $F(4)-F(1)$, cẩn thận với phân số.

Kiến thức: nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$; $\cos\pi=-1$, $\cos0=1$.

Gợi ý các bước:

1. Viết $F(x)=-\cos x+2x$.
2. Tính $F(\pi)-F(0)$.

Kiến thức: tách tổng, đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân.

Gợi ý các bước:

1. Viết thành $3\cdot5-2\cdot(-2)+\displaystyle\int_1^3x\,dx$.
2. Tính $\displaystyle\int_1^3x\,dx$.

Kiến thức: tách đoạn tại chỗ $x-2$ đổi dấu; đổi cận thì đổi dấu.

Gợi ý các bước:

1. Xét dấu $x-2$ trên $[0; 2]$ và $[2; 3]$.
2. Tính hai tích phân con rồi cộng.

Kiến thức: $\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C$, ở đây $a=3$.

Gợi ý các bước:

1. Một nguyên hàm là $\dfrac{(3x+1)^3}{9}$.
2. Thay cận $1$ và $0$.

Kiến thức: lượng nước chảy vào từ $t=a$ đến $t=b$ là $\displaystyle\int_a^b r(t)\,dt$ (tốc độ không âm).

Gợi ý các bước:

1. Viết $\displaystyle\int_0^{10}(40-2t)\,dt$.
2. Tính bằng nguyên hàm $40t-t^2$.

Kiến thức: định nghĩa tích phân qua nguyên hàm (xem nguyên hàm).

Gợi ý các bước:

1. $\displaystyle\int_1^4f(x)\,dx=F(4)-F(1)$.
2. Tách tổng; $\displaystyle\int_1^41\,dx=3$.

Kiến thức: $e^{\ln a}=a$ (lôgarit, lớp 11); nguyên hàm của $2^x$ là $\dfrac{2^x}{\ln2}$.

Gợi ý các bước:

1. $\Big[e^x\Big]_0^{\ln3}=e^{\ln3}-e^0$.
2. $\Big[\dfrac{2^x}{\ln2}\Big]_1^2=\dfrac{4-2}{\ln2}$.

Kiến thức: $x^2-x=x(x-1)$ đổi dấu tại $0$ và $1$; dương ngoài hai nghiệm, âm ở giữa.

Gợi ý các bước:

1. Tách thành ba đoạn $[-1; 0]$, $[0; 1]$, $[1; 2]$.
2. Dùng nguyên hàm $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}$ cho từng đoạn, đổi dấu ở đoạn giữa.