Tích phân

Một chiếc xe máy tăng tốc trong $3$ giây. Vận tốc sau $t$ giây là $v(t)=t^2+2$ (m/s): lúc đầu $2$ m/s, sau $1$ giây $3$ m/s, sau $2$ giây $6$ m/s, sau $3$ giây $11$ m/s. Trong $3$ giây đó xe đi được bao nhiêu mét?

Một cách đoán nhanh là lấy trung bình vận tốc đầu và cuối: $\dfrac{2+11}{2}\cdot3=19{,}5$ m. Cách này chỉ đúng khi vận tốc tăng đều, mà ở đây vận tốc tăng ngày càng nhanh. Ta sẽ tìm câu trả lời đúng.

Diện tích dưới đồ thị

Khám phá: chia nhỏ thời gian

Nếu vận tốc không đổi, quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, chính là diện tích một hình chữ nhật. Khi vận tốc thay đổi, ta chia $[0; 3]$ thành các đoạn nhỏ và coi vận tốc gần như không đổi trên mỗi đoạn.

Với các đoạn dài $1$ giây, lấy vận tốc ở đầu mỗi đoạn ta được một ước lượng thiếu, lấy ở cuối mỗi đoạn được một ước lượng thừa:

$1\cdot(2+3+6)=11,\qquad 1\cdot(3+6+11)=20.$

Độ dài mỗi đoạn	$1$	$0{,}5$	$0{,}1$
Ước lượng thiếu	$11$	$12{,}875$	$14{,}555$
Ước lượng thừa	$20$	$17{,}375$	$15{,}455$

Hai ước lượng kẹp lại gần một số, đó là $15$ . Số này chính là diện tích hình phẳng dưới đồ thị $v(t)$ từ $t=0$ đến $t=3$ .

Quãng đường là diện tích dưới đồ thị

v(t)=t^2+2

Điều bất ngờ là: nếu $S(t)=\dfrac{t^3}{3}+2t$ là một nguyên hàm của $v(t)$ thì $S(3)-S(0)=9+6-0=15$ , đúng bằng con số trên. Đây không phải trùng hợp.

Định nghĩa tích phân

Kết quả không phụ thuộc nguyên hàm được chọn: thay $F$ bằng $F+C$ thì $(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$ . Tích phân cũng không phụ thuộc tên biến: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt$ .

Vì sao đúng? Gọi $S(x)$ là diện tích phần dưới đồ thị từ $a$ đến $x$ . Khi $x$ tăng thêm một lượng nhỏ $h$ , diện tích tăng thêm một dải hẹp gần như hình chữ nhật, nên $S(x+h)-S(x)\approx f(x)\cdot h$ . Chia cho $h$ rồi cho $h\to0$ , ta được $S'(x)=f(x)$ , tức $S$ là một nguyên hàm của $f$ với $S(a)=0$ . Vậy diện tích cần tìm là $S(b)=S(b)-S(a)=F(b)-F(a)$ .

Giá trị tại cận dưới không phải lúc nào cũng bằng $0$ , đặc biệt với hàm lượng giác.

Tính chất của tích phân

Hai tính chất đầu đến từ tính chất của nguyên hàm. Tính chất thứ ba đúng vì $\big(F(c)-F(a)\big)+\big(F(b)-F(c)\big)=F(b)-F(a)$ ; về hình học, ta cắt một miền thành hai mảnh.

Ví dụ Dùng tính chất khi không biết hàm số

Biết $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx=3$ , $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx=-1$ và $\displaystyle\int_0^5 g(x)\,dx=4$ . Tính $\displaystyle\int_0^5\big(2f(x)-3g(x)\big)\,dx$ và $\displaystyle\int_5^0 f(x)\,dx$ .

Lời giải. Cộng hai đoạn liền nhau $[0; 2]$ và $[2; 5]$ :

$\int_0^5 f(x)\,dx=3+(-1)=2.$

Tách tổng và đưa hằng số ra ngoài:

$\int_0^5\big(2f(x)-3g(x)\big)\,dx=2\cdot2-3\cdot4=-8.$

Đổi chỗ hai cận thì đổi dấu: $\displaystyle\int_5^0 f(x)\,dx=-2$ .

Với dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm chỗ biểu thức đổi dấu rồi tách đoạn bằng tính chất thứ ba.

Ví dụ Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính $\displaystyle\int_0^2\lvert x^2-1\rvert\,dx$ .

Lời giải. Trên $[0; 2]$ , $x^2-1$ đổi dấu tại $x=1$ : âm trên $[0; 1)$ , dương trên $(1; 2]$ . Ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối trên từng đoạn:

$\begin{aligned} \int_0^2\lvert x^2-1\rvert\,dx&=\int_0^1(1-x^2)\,dx+\int_1^2(x^2-1)\,dx\\ &=\Big[x-\frac{x^3}{3}\Big]_0^1+\Big[\frac{x^3}{3}-x\Big]_1^2=\frac23+\left(\frac23+\frac23\right)=2. \end{aligned}$

Vậy tích phân bằng $2$ , và đó là tổng diện tích hai phần tô màu ở hình dưới.

Đồ thị

y=\lvert x^2-1\rvert

trên

[0; 2]

Hàm dạng $f(ax+b)$

Nếu $F$ là một nguyên hàm của $f$ thì theo quy tắc đạo hàm hàm hợp (lớp 11), $\big(F(ax+b)\big)'=a\,f(ax+b)$ . Chia cho $a$ ta được quy tắc:

$\int f(ax+b)\,dx=\frac1a F(ax+b)+C\qquad(a\neq0).$

Chẳng hạn $\displaystyle\int\cos 2x\,dx=\frac12\sin2x+C$ và $\displaystyle\int e^{3x}dx=\frac13e^{3x}+C$ . Đây là trường hợp đơn giản nhất của phương pháp đổi biến $u=ax+b$ .

Trở lại chiếc xe máy

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Trừ ngược. Sai: $\displaystyle\int_1^2(3x^2-2x+1)\,dx=F(1)-F(2)=-5$ . Lí do sai: định nghĩa là $F(\text{cận trên})-F(\text{cận dưới})$ . Đúng: $F(2)-F(1)=5$ .
Coi giá trị tại cận dưới bằng $0$ . Sai: $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x\,dx=-\cos\frac{\pi}{2}=0$ . Lí do sai: $-\cos0=-1\neq0$ . Đúng: $\Big[-\cos x\Big]_0^{\frac{\pi}{2}}=0-(-1)=1$ .
Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài. Sai: $\displaystyle\int_0^2\lvert x^2-1\rvert\,dx=\left\lvert\int_0^2(x^2-1)\,dx\right\rvert=\frac23$ . Lí do sai: phần âm và phần dương bù trừ nhau trong tích phân bên trong. Đúng: tách tại $x=1$ , được $2$ .
Quên thừa số $\dfrac1a$ . Sai: $\displaystyle\int_0^1(2x+1)^3dx=\Big[\frac{(2x+1)^4}{4}\Big]_0^1=20$ . Lí do sai: đạo hàm của $\dfrac{(2x+1)^4}{4}$ là $2(2x+1)^3$ . Đúng: chia thêm cho $2$ , được $10$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
tích phân	definite integral
cận dưới, cận trên	lower limit, upper limit
công thức Newton – Leibniz	fundamental theorem of calculus
hàm dưới dấu tích phân	integrand
diện tích dưới đồ thị	area under the graph
tổng xấp xỉ diện tích	approximating sum (Riemann sum)
đổi biến	substitution
giá trị tuyệt đối	absolute value

Tóm tắt

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Big[F(x)\Big]_a^b=F(b)-F(a)$ , với $F$ là một nguyên hàm bất kì của $f$ .
$f\ge0$ thì tích phân là diện tích dưới đồ thị; vận tốc dương thì tích phân là quãng đường.
$\displaystyle\int_a^a=0$ , $\displaystyle\int_b^a=-\int_a^b$ , $\displaystyle\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b$ ; hằng số nhân và tổng tách được.
Có dấu giá trị tuyệt đối: tìm chỗ đổi dấu, tách đoạn, bỏ dấu trên từng đoạn.
$\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tính $\displaystyle\int_0^2(x^3-2x+3)\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ .

Gợi ý các bước:

Tìm một nguyên hàm $F(x)=\dfrac{x^4}{4}-x^2+3x$ .
Tính $F(2)-F(0)$ .

Xem lời giải

$\Big[\dfrac{x^4}{4}-x^2+3x\Big]_0^2=(4-4+6)-0=6$ .

Đáp số. $6$ .

Bài 2

Tính $\displaystyle\int_1^4\left(\sqrt x-\frac{1}{x^2}\right)dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sqrt x=x^{\frac12}$ có nguyên hàm $\dfrac23x\sqrt x$ ; $x^{-2}$ có nguyên hàm $-\dfrac1x$ .

Gợi ý các bước:

Viết một nguyên hàm $F(x)=\dfrac23x\sqrt x+\dfrac1x$ .
Tính $F(4)-F(1)$ , cẩn thận với phân số.

Xem lời giải

$F(4)=\dfrac{16}{3}+\dfrac14$ , $F(1)=\dfrac23+1$ . Hiệu là $\dfrac{14}{3}-\dfrac34=\dfrac{56-9}{12}=\dfrac{47}{12}$ .

Đáp số. $\dfrac{47}{12}$ .

Bài 3

Tính $\displaystyle\int_0^{\pi}(\sin x+2)\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nguyên hàm của $\sin x$ là $-\cos x$ ; $\cos\pi=-1$ , $\cos0=1$ .

Gợi ý các bước:

Viết $F(x)=-\cos x+2x$ .
Tính $F(\pi)-F(0)$ .

Xem lời giải

$F(\pi)=1+2\pi$ , $F(0)=-1$ . Vậy tích phân bằng $1+2\pi-(-1)=2+2\pi$ .

Đáp số. $2+2\pi$ .

Bài 4

Biết $\displaystyle\int_1^3 f(x)\,dx=5$ và $\displaystyle\int_1^3 g(x)\,dx=-2$ . Tính $\displaystyle\int_1^3\big(3f(x)-2g(x)+x\big)\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tách tổng, đưa hằng số ra ngoài dấu tích phân.

Gợi ý các bước:

Viết thành $3\cdot5-2\cdot(-2)+\displaystyle\int_1^3x\,dx$ .
Tính $\displaystyle\int_1^3x\,dx$ .

Xem lời giải

$\displaystyle\int_1^3x\,dx=\Big[\frac{x^2}{2}\Big]_1^3=\frac92-\frac12=4$ . Tổng là $15+4+4=23$ .

Đáp số. $23$ .

Bài 5

Xét tích phân $I=\displaystyle\int_0^3\lvert x-2\rvert\,dx$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Trên đoạn $[0; 2]$ , $\lvert x-2\rvert=2-x$ .

b) $I=\left\lvert\displaystyle\int_0^3(x-2)\,dx\right\rvert=\dfrac32$ .

c) $I=\dfrac52$ .

d) $\displaystyle\int_3^0\lvert x-2\rvert\,dx=\dfrac52$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tách đoạn tại chỗ $x-2$ đổi dấu; đổi cận thì đổi dấu.

Gợi ý các bước:

Xét dấu $x-2$ trên $[0; 2]$ và $[2; 3]$ .
Tính hai tích phân con rồi cộng.

Xem lời giải

a) Đúng: với $x\le2$ thì $x-2\le0$ .

b) Sai: không đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài được; $I$ không bằng $\dfrac32$ (xem c).

c) Đúng: $\displaystyle\int_0^2(2-x)\,dx=2$ và $\displaystyle\int_2^3(x-2)\,dx=\frac12$ , nên $I=\dfrac52$ .

d) Sai: đổi cận thì đổi dấu, nên tích phân đó bằng $-\dfrac52$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Bài 6

Tính $\displaystyle\int_0^1(3x+1)^2\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\displaystyle\int f(ax+b)\,dx=\frac1aF(ax+b)+C$ , ở đây $a=3$ .

Gợi ý các bước:

Một nguyên hàm là $\dfrac{(3x+1)^3}{9}$ .
Thay cận $1$ và $0$ .

Xem lời giải

$\Big[\dfrac{(3x+1)^3}{9}\Big]_0^1=\dfrac{64}{9}-\dfrac19=7$ .

Đáp số. $7$ .

Bài 7

Nước chảy vào một bể với tốc độ $r(t)=40-2t$ (lít/phút), $0\le t\le10$ . Tính lượng nước chảy vào bể trong $10$ phút đầu.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: lượng nước chảy vào từ $t=a$ đến $t=b$ là $\displaystyle\int_a^b r(t)\,dt$ (tốc độ không âm).

Gợi ý các bước:

Viết $\displaystyle\int_0^{10}(40-2t)\,dt$ .
Tính bằng nguyên hàm $40t-t^2$ .

Xem lời giải

$\Big[40t-t^2\Big]_0^{10}=400-100=300$ .

Đáp số. $300$ lít.

Bài 8 Ôn tập

Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ với $F(1)=2$ và $F(4)=7$ . Tính $\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx$ và $\displaystyle\int_1^4\big(2f(x)+1\big)\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: định nghĩa tích phân qua nguyên hàm (xem nguyên hàm).

Gợi ý các bước:

$\displaystyle\int_1^4f(x)\,dx=F(4)-F(1)$ .
Tách tổng; $\displaystyle\int_1^41\,dx=3$ .

Xem lời giải

$\displaystyle\int_1^4f(x)\,dx=7-2=5$ . Khi đó $\displaystyle\int_1^4\big(2f(x)+1\big)\,dx=2\cdot5+3=13$ .

Đáp số. $5$ và $13$ .

Bài 9 Ôn tập

Tính $\displaystyle\int_0^{\ln3}e^x\,dx$ và $\displaystyle\int_1^2 2^x\,dx$ (giá trị gần đúng của tích phân thứ hai làm tròn đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $e^{\ln a}=a$ (lôgarit, lớp 11); nguyên hàm của $2^x$ là $\dfrac{2^x}{\ln2}$ .

Gợi ý các bước:

$\Big[e^x\Big]_0^{\ln3}=e^{\ln3}-e^0$ .
$\Big[\dfrac{2^x}{\ln2}\Big]_1^2=\dfrac{4-2}{\ln2}$ .

Xem lời giải

$\displaystyle\int_0^{\ln3}e^x\,dx=3-1=2$ . $\displaystyle\int_1^22^x\,dx=\frac{2}{\ln2}\approx2{,}885$ .

Đáp số. $2$ và $\dfrac{2}{\ln2}\approx2{,}89$ .

Bài 10 Thử thách

Tính $\displaystyle\int_{-1}^2\lvert x^2-x\rvert\,dx$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $x^2-x=x(x-1)$ đổi dấu tại $0$ và $1$ ; dương ngoài hai nghiệm, âm ở giữa.

Gợi ý các bước:

Tách thành ba đoạn $[-1; 0]$ , $[0; 1]$ , $[1; 2]$ .
Dùng nguyên hàm $G(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}$ cho từng đoạn, đổi dấu ở đoạn giữa.

Xem lời giải

$G(-1)=-\dfrac56$ , $G(0)=0$ , $G(1)=-\dfrac16$ , $G(2)=\dfrac23$ . Ba phần: $G(0)-G(-1)=\dfrac56$ ; $-(G(1)-G(0))=\dfrac16$ ; $G(2)-G(1)=\dfrac56$ . Tổng $\dfrac56+\dfrac16+\dfrac56=\dfrac{11}{6}$ .

Đáp số. $\dfrac{11}{6}$ .

Diện tích dưới đồ thị

Khám phá: chia nhỏ thời gian

Định nghĩa tích phân

Tính chất của tích phân

Hàm dạng $f(ax+b)$

Trở lại chiếc xe máy

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $\displaystyle\int_0^3 f(x)\,dx=0$ .	Đúng	Sai
b) $f(x)\le0$ với mọi $x\in[1; 3]$ .	Đúng	Sai
c) $\displaystyle\int_0^3\lvert f(x)\rvert\,dx=0$ .	Đúng	Sai
d) $\displaystyle\int_0^3\lvert f(x)\rvert\,dx=\dfrac83$ .	Đúng	Sai

Tích phân

Diện tích dưới đồ thị

Khám phá: chia nhỏ thời gian

Định nghĩa tích phân

Tính chất của tích phân

Hàm dạng f(ax+b)f(ax+b)f(ax+b)

Trở lại chiếc xe máy

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Hàm dạng $f(ax+b)$