Ứng dụng hình học của tích phân

Kiến thức: $f(x)=x^2+1>0$ nên $S=\displaystyle\int_0^3(x^2+1)\,dx$.

Gợi ý các bước:

1. Tìm nguyên hàm $\dfrac{x^3}{3}+x$.
2. Thay cận.

Kiến thức: $x^3<0$ khi $x<0$, nên phải tách tại $x=0$.

Gợi ý các bước:

1. Tính $\displaystyle\int_{-1}^0x^3dx$ và $\displaystyle\int_0^2x^3dx$.
2. Lấy trị tuyệt đối từng phần rồi cộng.

Kiến thức: cận là hoành độ giao điểm; lấy hàm nằm trên trừ hàm nằm dưới.

Gợi ý các bước:

1. Giải $x^2=2x$.
2. Thử $x=1$ để biết đồ thị nào nằm trên.

Kiến thức: $V=\pi\displaystyle\int_a^bf^2(x)\,dx$; khối nón có thể tích $\dfrac13\pi r^2h$.

Gợi ý các bước:

1. Viết $V=\pi\displaystyle\int_0^3x^2dx$.
2. Khối tạo thành là khối nón có $r=3$, $h=3$.

Kiến thức: $x^2-4\le0$ trên $[-2; 2]$; $V=\pi\displaystyle\int f^2dx$.

Gợi ý các bước:

1. Tìm giao điểm với trục hoành.
2. Tính diện tích với hàm $4-x^2$, rồi tính $\pi\displaystyle\int_{-2}^2(x^2-4)^2dx$.

Kiến thức: cận là hoành độ giao điểm.

Gợi ý các bước:

1. Giải $x^2-2x=x$.
2. Tính $\displaystyle\int\big(x-(x^2-2x)\big)\,dx$ giữa hai nghiệm.

Kiến thức: diện tích cửa là tích phân của hàm không âm trên đoạn giữa hai giao điểm với trục hoành.

Gợi ý các bước:

1. Giao điểm với trục hoành: $x=\pm1$.
2. Tính $S=\displaystyle\int_{-1}^1(1{,}5-1{,}5x^2)\,dx$ rồi nhân với giá kính.

Kiến thức: $V=\displaystyle\int_a^bS(x)\,dx$.

Gợi ý các bước:

1. $S(x)=x(4-x)=4x-x^2$.
2. Tính $\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)\,dx$.

Kiến thức: $\sin x\ge0$ trên $[0; \pi]$; tích phân của hàm lượng giác (xem tích phân).

Gợi ý các bước:

1. $S=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$.
2. Dùng nguyên hàm $-\cos x$.

Kiến thức: hai đồ thị cắt nhau ba lần, nên hàm nằm trên đổi vai trò.

Gợi ý các bước:

1. Giải $x^3-x=3x\iff x(x^2-4)=0$.
2. Tính $\displaystyle\int\lvert x^3-4x\rvert\,dx$ trên $[-2; 0]$ và $[0; 2]$.