Lemonmath
English

Ứng dụng hình học của tích phân

Bài 4.3 · 22 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Một cổng trường có mặt trước hình parabol: chân cổng rộng 44 m, đỉnh cao 44 m. Người ta cần sơn kín mặt trước của cổng. Diện tích cần sơn là bao nhiêu mét vuông?

Hình chữ nhật bao quanh cổng có diện tích 4⋅4=164\cdot4=16 m², tam giác nằm trong cổng có diện tích 12⋅4⋅4=8\dfrac12\cdot4\cdot4=8 m². Vậy đáp số nằm giữa 88 và 1616. Tích phân cho ta con số chính xác.

Diện tích hình phẳng

Khám phá: cổng parabol

Đặt hệ trục toạ độ với gốc ở giữa chân cổng, trục OyOy hướng lên. Parabol đi qua (−2;0)(-2; 0), (2;0)(2; 0) và có đỉnh (0;4)(0; 4), nên có phương trình y=4−x2y=4-x^2. Mặt cổng là phần dưới đồ thị, trên trục hoành, với −2≤x≤2-2\le x\le2.

-3-113-112345xyO(0; 4)-22
Mặt cổng parabol y=4−x2y=4-x^2

Hàm 4−x24-x^2 không âm trên [−2;2][-2; 2], nên theo ý nghĩa hình học của tích phân:

S=∫−22(4−x2) dx=[4x−x33]−22=(8−83)−(−8+83)=323≈10,67.S=\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx=\Big[4x-\frac{x^3}{3}\Big]_{-2}^{2}=\left(8-\frac83\right)-\left(-8+\frac83\right)=\frac{32}{3}\approx10{,}67.

Đúng là một số nằm giữa 88 và 1616; nó bằng 23\dfrac23 diện tích hình chữ nhật bao quanh.

Khi đồ thị có phần nằm dưới trục hoành, tích phân của phần đó là số âm, còn diện tích luôn dương. Vì thế công thức tổng quát có dấu giá trị tuyệt đối.

Vì sao đúng? Nếu f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) trên [a;b][a; b], ta tịnh tiến cả hai đồ thị lên cùng một đoạn kk để chúng nằm trên trục hoành. Hình phẳng không đổi, và diện tích của nó là diện tích dưới f+kf+k trừ diện tích dưới g+kg+k, tức ∫ab(f−g) dx\displaystyle\int_a^b(f-g)\,dx. Ở đoạn nào f<gf<g thì vai trò hai hàm đổi chỗ, nên ta dùng ∣f−g∣\lvert f-g\rvert.

Cách làm. Giải f(x)−g(x)=0f(x)-g(x)=0 để tìm các điểm cắt trong (a;b)(a; b). Trên mỗi đoạn con, f−gf-g không đổi dấu, nên ∫∣f−g∣ dx=∣∫(f−g) dx∣\displaystyle\int\lvert f-g\rvert\,dx=\left\lvert\int(f-g)\,dx\right\rvert. Nếu đề không cho x=ax=a, x=bx=b thì hai cận là các hoành độ giao điểm.

-1,0-0,50,51,01,52,02,53,03,54,0-2-11234xyO2
Hình phẳng của ví dụ trên

Khi hình phẳng nằm giữa hai đồ thị, hai cận thường là hoành độ giao điểm.

-2,0-1,5-1,0-0,50,51,01,52,02,53,0-112345xyO(-1; 1)(2; 4)
Hình phẳng giữa y=x2y=x^2 và y=x+2y=x+2

Thể tích vật thể

Cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục OxOx tại điểm có hoành độ xx, ta được một thiết diện có diện tích S(x)S(x). Một lát mỏng dày hh có thể tích xấp xỉ S(x)⋅hS(x)\cdot h. Cộng tất cả các lát, giống như cộng các hình chữ nhật nhỏ để được diện tích, ta có công thức sau.

Khối tròn xoay

Quay hình phẳng giới hạn bởi y=f(x)y=f(x), trục hoành, x=ax=a, x=bx=b quanh trục OxOx, ta được một khối tròn xoay. Thiết diện tại xx là một hình tròn bán kính ∣f(x)∣\lvert f(x)\rvert, có diện tích S(x)=πf2(x)S(x)=\pi f^2(x). Thay vào công thức thể tích:

Công thức khối tròn xoay cũng tính được thể tích những đồ vật thật có hình dạng cong.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Diện tích: S=∫ab∣f(x)∣ dxS=\displaystyle\int_a^b\lvert f(x)\rvert\,dx; giữa hai đồ thị S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\displaystyle\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,dx.
  • Tìm nghiệm của f−gf-g để tách đoạn; trên mỗi đoạn lấy trị tuyệt đối của tích phân.
  • Không cho x=ax=a, x=bx=b thì cận là các hoành độ giao điểm.
  • Thể tích khi biết thiết diện: V=∫abS(x) dxV=\displaystyle\int_a^bS(x)\,dx.
  • Khối tròn xoay quanh OxOx: V=π∫abf2(x) dxV=\pi\displaystyle\int_a^bf^2(x)\,dx (nhớ bình phương và π\pi).

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x2+1y=x^2+1, trục hoành và hai đường thẳng x=0x=0, x=3x=3.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: f(x)=x2+1>0f(x)=x^2+1>0 nên S=∫03(x2+1) dxS=\displaystyle\int_0^3(x^2+1)\,dx.

Gợi ý các bước:

  1. Tìm nguyên hàm x33+x\dfrac{x^3}{3}+x.
  2. Thay cận.
Xem lời giải

S=[x33+x]03=9+3=12S=\Big[\dfrac{x^3}{3}+x\Big]_0^3=9+3=12.

Đáp số. 1212.

Bài 2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x3y=x^3, trục hoành và hai đường thẳng x=−1x=-1, x=2x=2.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x3<0x^3<0 khi x<0x<0, nên phải tách tại x=0x=0.

Gợi ý các bước:

  1. Tính ∫−10x3dx\displaystyle\int_{-1}^0x^3dx và ∫02x3dx\displaystyle\int_0^2x^3dx.
  2. Lấy trị tuyệt đối từng phần rồi cộng.
Xem lời giải

∫−10x3dx=−14\displaystyle\int_{-1}^0x^3dx=-\frac14, ∫02x3dx=4\displaystyle\int_0^2x^3dx=4. Vậy S=14+4=174S=\dfrac14+4=\dfrac{17}{4}.

Đáp số. 174\dfrac{17}{4}.

Bài 3

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2y=x^2 và đường thẳng y=2xy=2x.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cận là hoành độ giao điểm; lấy hàm nằm trên trừ hàm nằm dưới.

Gợi ý các bước:

  1. Giải x2=2xx^2=2x.
  2. Thử x=1x=1 để biết đồ thị nào nằm trên.
Xem lời giải

x2=2x  ⟺  x=0x^2=2x\iff x=0 hoặc x=2x=2. Tại x=1x=1: 2x=2>1=x22x=2>1=x^2. S=∫02(2x−x2) dx=4−83=43S=\displaystyle\int_0^2(2x-x^2)\,dx=4-\frac83=\frac43.

Đáp số. 43\dfrac43.

Bài 4

Quay hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y=xy=x, trục hoành và đường thẳng x=3x=3 quanh trục OxOx. Tính thể tích khối tròn xoay và so sánh với công thức thể tích khối nón.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: V=π∫abf2(x) dxV=\pi\displaystyle\int_a^bf^2(x)\,dx; khối nón có thể tích 13πr2h\dfrac13\pi r^2h.

Gợi ý các bước:

  1. Viết V=π∫03x2dxV=\pi\displaystyle\int_0^3x^2dx.
  2. Khối tạo thành là khối nón có r=3r=3, h=3h=3.
Xem lời giải

V=π[x33]03=9πV=\pi\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=9\pi. Công thức khối nón: 13π⋅9⋅3=9π\dfrac13\pi\cdot9\cdot3=9\pi, trùng khớp.

Đáp số. 9π9\pi.

Bài 5

Gọi HH là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=x2−4y=x^2-4 và trục hoành. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) HH nằm giữa hai đường thẳng x=−2x=-2 và x=2x=2.

b) Diện tích của HH là ∫−22(x2−4) dx\displaystyle\int_{-2}^2(x^2-4)\,dx.

c) Diện tích của HH bằng 323\dfrac{32}{3}.

d) Quay HH quanh trục OxOx được khối tròn xoay có thể tích 512π15\dfrac{512\pi}{15}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x2−4≤0x^2-4\le0 trên [−2;2][-2; 2]; V=π∫f2dxV=\pi\displaystyle\int f^2dx.

Gợi ý các bước:

  1. Tìm giao điểm với trục hoành.
  2. Tính diện tích với hàm 4−x24-x^2, rồi tính π∫−22(x2−4)2dx\pi\displaystyle\int_{-2}^2(x^2-4)^2dx.
Xem lời giải

a) Đúng: x2−4=0  ⟺  x=±2x^2-4=0\iff x=\pm2.

b) Sai: tích phân đó bằng −323<0-\dfrac{32}{3}<0, không thể là diện tích.

c) Đúng: ∫−22(4−x2) dx=323\displaystyle\int_{-2}^2(4-x^2)\,dx=\frac{32}{3}.

d) Đúng: (x2−4)2=x4−8x2+16(x^2-4)^2=x^4-8x^2+16, và π∫−22(x4−8x2+16) dx=π(645−1283+64)=512π15\pi\displaystyle\int_{-2}^2(x^4-8x^2+16)\,dx=\pi\left(\frac{64}{5}-\frac{128}{3}+64\right)=\frac{512\pi}{15}.

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.

Bài 6

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y=x2−2xy=x^2-2x và đường thẳng y=xy=x (ghi kết quả dưới dạng số thập phân).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cận là hoành độ giao điểm.

Gợi ý các bước:

  1. Giải x2−2x=xx^2-2x=x.
  2. Tính ∫(x−(x2−2x)) dx\displaystyle\int\big(x-(x^2-2x)\big)\,dx giữa hai nghiệm.
Xem lời giải

x2−3x=0  ⟺  x=0x^2-3x=0\iff x=0 hoặc x=3x=3. S=∫03(3x−x2) dx=272−9=92S=\displaystyle\int_0^3(3x-x^2)\,dx=\frac{27}{2}-9=\frac92.

Đáp số. 4,54{,}5.

Bài 7

Một ô cửa sổ có dạng hình phẳng giới hạn bởi parabol y=1,5−1,5x2y=1{,}5-1{,}5x^2 và trục hoành (đơn vị mét): rộng 22 m, cao 1,51{,}5 m. Kính lắp cửa giá 800800 nghìn đồng một mét vuông. Tính tiền kính.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: diện tích cửa là tích phân của hàm không âm trên đoạn giữa hai giao điểm với trục hoành.

Gợi ý các bước:

  1. Giao điểm với trục hoành: x=±1x=\pm1.
  2. Tính S=∫−11(1,5−1,5x2) dxS=\displaystyle\int_{-1}^1(1{,}5-1{,}5x^2)\,dx rồi nhân với giá kính.
Xem lời giải

S=[1,5x−0,5x3]−11=1−(−1)=2S=\Big[1{,}5x-0{,}5x^3\Big]_{-1}^{1}=1-(-1)=2 (m²). Tiền kính: 2⋅800=16002\cdot800=1600 nghìn đồng.

Đáp số. 1 6001\,600 nghìn đồng (1,61{,}6 triệu đồng).

Bài 8

Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0x=0 và x=4x=4. Thiết diện vuông góc với OxOx tại xx (0≤x≤4)(0\le x\le4) là hình chữ nhật có hai cạnh xx và 4−x4-x. Tính thể tích vật thể.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: V=∫abS(x) dxV=\displaystyle\int_a^bS(x)\,dx.

Gợi ý các bước:

  1. S(x)=x(4−x)=4x−x2S(x)=x(4-x)=4x-x^2.
  2. Tính ∫04(4x−x2) dx\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)\,dx.
Xem lời giải

V=[2x2−x33]04=32−643=323V=\Big[2x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^4=32-\dfrac{64}{3}=\dfrac{32}{3}.

Đáp số. 323\dfrac{32}{3}.

Bài 9 Ôn tập

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=sin⁡xy=\sin x, trục hoành và hai đường thẳng x=0x=0, x=πx=\pi.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: sin⁡x≥0\sin x\ge0 trên [0;π][0; \pi]; tích phân của hàm lượng giác (xem tích phân).

Gợi ý các bước:

  1. S=∫0πsin⁡x dxS=\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx.
  2. Dùng nguyên hàm −cos⁡x-\cos x.
Xem lời giải

S=[−cos⁡x]0π=1−(−1)=2S=\Big[-\cos x\Big]_0^{\pi}=1-(-1)=2.

Đáp số. 22.

Bài 10 Thử thách

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=x3−xy=x^3-x và y=3xy=3x.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hai đồ thị cắt nhau ba lần, nên hàm nằm trên đổi vai trò.

Gợi ý các bước:

  1. Giải x3−x=3x  ⟺  x(x2−4)=0x^3-x=3x\iff x(x^2-4)=0.
  2. Tính ∫∣x3−4x∣ dx\displaystyle\int\lvert x^3-4x\rvert\,dx trên [−2;0][-2; 0] và [0;2][0; 2].
Xem lời giải

Giao điểm x=−2x=-2, 00, 22. ∫−20(x3−4x) dx=[x44−2x2]−20=0−(4−8)=4\displaystyle\int_{-2}^0(x^3-4x)\,dx=\Big[\frac{x^4}{4}-2x^2\Big]_{-2}^0=0-(4-8)=4; ∫02(4x−x3) dx=8−4=4\displaystyle\int_0^2(4x-x^3)\,dx=8-4=4. Vậy S=8S=8.

Đáp số. 88.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Cho hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên [a;b][a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y=f(x)y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=ax=a, x=bx=b là
Câu 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=x2y=x^2 và y=xy=x bằng
Câu 3. Quay hình phẳng giới hạn bởi y=xy=\sqrt x, trục hoành, x=0x=0, x=1x=1 quanh trục OxOx. Thể tích khối tròn xoay là
Câu 4. Một vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x=0x=0 và x=2x=2; thiết diện vuông góc với OxOx tại xx là hình vuông cạnh xx. Thể tích vật thể là

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hình phẳng HH giới hạn bởi parabol y=4x−x2y=4x-x^2 và trục hoành.
a) Parabol cắt trục hoành tại x=0x=0 và x=4x=4.
b) Diện tích của HH bằng 323\dfrac{32}{3}.
c) Quay HH quanh OxOx được khối tròn xoay có thể tích π∫04(4x−x2) dx\pi\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)\,dx.
d) Đường thẳng x=2x=2 chia HH thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y=x3y=x^3 và y=xy=x.

Câu 2. Quay hình phẳng giới hạn bởi y=1xy=\dfrac1x, trục hoành, x=1x=1, x=3x=3 quanh trục OxOx. Tính thể tích khối tròn xoay (làm tròn đến hàng phần trăm).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: B. Phần đồ thị nằm dưới trục hoành cho tích phân âm, nên phải lấy ∣f(x)∣\lvert f(x)\rvert. A chỉ đúng khi f≥0f\ge0; C là thể tích khối tròn xoay; D trộn hai công thức.
  2. Phần I, câu 2: C. Giao điểm x=0x=0, x=1x=1, trên (0;1)(0; 1) thì x>x2x>x^2: S=∫01(x−x2) dx=12−13=16S=\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac12-\frac13=\frac16. A cộng thay vì trừ, B chỉ tính ∫01x dx\displaystyle\int_0^1x\,dx, D trừ ngược.
  3. Phần I, câu 3: A. V=π∫01x dx=π2V=\pi\displaystyle\int_0^1x\,dx=\frac{\pi}{2}. B quên bình phương (π∫x dx\pi\displaystyle\int\sqrt x\,dx), C quên π\pi, D bình phương cả tích phân (π∫01x dx)2\left(\pi\displaystyle\int_0^1 x\,dx\right)^2.
  4. Phần I, câu 4: B. S(x)=x2S(x)=x^2 nên V=∫02x2dx=83V=\displaystyle\int_0^2x^2dx=\frac83. A lấy diện tích thiết diện lớn nhất nhân chiều dài, C thêm π\pi như khối tròn xoay, D dùng cạnh thay cho diện tích.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Đúng: x(4−x)=0x(4-x)=0. b) Đúng: ∫04(4x−x2) dx=32−643=323\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)\,dx=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}. c) Sai: thiếu bình phương; đúng là π∫04(4x−x2)2dx=512π15\pi\displaystyle\int_0^4(4x-x^2)^2dx=\frac{512\pi}{15}. d) Đúng: ∫02(4x−x2) dx=163\displaystyle\int_0^2(4x-x^2)\,dx=\frac{16}{3}, bằng nửa diện tích (parabol đối xứng qua x=2x=2).
  6. Phần III, câu 1: 0,5. Giao điểm x=−1x=-1, 00, 11. Mỗi phần có diện tích ∫01(x−x3) dx=12−14=14\displaystyle\int_0^1(x-x^3)\,dx=\frac12-\frac14=\frac14, tổng 12=0,5\dfrac12=0{,}5.
  7. Phần III, câu 2: 2,09. V=π∫131x2 dx=π[−1x]13=π(1−13)=2π3≈2,094V=\pi\displaystyle\int_1^3\frac{1}{x^2}\,dx=\pi\Big[-\frac1x\Big]_1^3=\pi\left(1-\frac13\right)=\frac{2\pi}{3}\approx2{,}094, làm tròn được 2,092{,}09.