Hệ trục toạ độ trong không gian

Kiến thức: $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\iff M(x; y; z)$; thành phần vắng mặt có hệ số $0$.

Gợi ý các bước:

1. Đọc lần lượt hệ số của $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$.
2. b) Hệ số của $\vec{j}$ bằng $0$.

Kiến thức: hình chiếu lên một mặt phẳng toạ độ: đổi toạ độ còn lại thành $0$; mặt phẳng $(Ozx)$ là $y=0$.

Gợi ý các bước:

1. Viết ba hình chiếu lên ba mặt phẳng.
2. Lên trục $Oy$: chỉ giữ tung độ.
3. Khoảng cách đến $(Ozx)$ là $|y|$.

Kiến thức: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$; $AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$.

Gợi ý các bước:

1. Trừ từng toạ độ.
2. Cộng ba bình phương rồi khai căn.

Kiến thức: trung điểm, trọng tâm: trung bình cộng từng toạ độ.

Gợi ý các bước:

1. Cộng từng toạ độ của $A$, $B$ rồi chia cho $2$.
2. Cộng từng toạ độ của $A$, $B$, $C$ rồi chia cho $3$.

Kiến thức: $M$ là trung điểm $AN$ $\iff$ $x_M=\dfrac{x_A+x_N}{2}$ (và tương tự), tức $x_N=2x_M-x_A$.

Gợi ý các bước:

1. Nhân đôi toạ độ của $M$.
2. Trừ đi toạ độ của $A$.

Kiến thức: $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Gợi ý các bước:

1. Bình phương ba toạ độ và cộng lại.
2. Khai căn rồi làm tròn.

Kiến thức: khoảng cách đến $(Oyz)$ là $|x|$; khoảng cách đến trục $Ox$ là $\sqrt{y^2+z^2}$.

Gợi ý các bước:

1. Viết hình chiếu lên $(Oxy)$.
2. Tính $OM$ từ ba toạ độ.
3. Xác định đúng toạ độ nào dùng cho mỗi khoảng cách.

Kiến thức: quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$; tâm hình vuông là trung điểm đường chéo.

Gợi ý các bước:

1. Cộng ba vectơ cạnh để có $C'$.
2. $I$ là trung điểm của $A'C'$.
3. Tính $IB$ bằng công thức khoảng cách.

Kiến thức: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ trong mặt phẳng; trong không gian có thêm $(z_B-z_A)^2$.

Gợi ý các bước:

1. a) Tính hai hiệu toạ độ.
2. b) Thêm hiệu cao độ $12$ và để ý rằng $ABB'$ vuông tại $B$.

Kiến thức: điểm trên $Oz$ có dạng $M(0; 0; t)$; $MA=MB\iff MA^2=MB^2$.

Gợi ý các bước:

1. Viết $MA^2$ và $MB^2$ theo $t$.
2. Cho bằng nhau; các số hạng $t^2$ triệt tiêu.