Hệ trục toạ độ trong không gian

Một phòng học dài $8$ m, rộng $6$ m, cao $3$ m. Một chiếc đèn treo cách bức tường phía trước $2$ m, cách bức tường bên trái $3$ m và cách sàn $2{,}5$ m. Một cảm biến khói đặt ở góc sàn đối diện, cách hai bức tường đó lần lượt $8$ m và $6$ m. Đèn cách cảm biến bao xa?

Trong mặt phẳng, hai số đủ để chỉ vị trí một điểm. Trong không gian ta cần ba số, và ba số đó cho phép tính khoảng cách mà không cần vẽ hình.

Hệ trục toạ độ $Oxyz$

Khám phá: ba con số cho một vị trí

Chọn góc sàn nằm giữa bức tường phía trước và bức tường bên trái làm gốc $O$ . Từ $O$ , ba đường giao của sàn và hai bức tường cho ba hướng đôi một vuông góc: dọc tường bên trái, dọc tường phía trước, và thẳng lên trên. Để đến đèn, ta đi $2$ m theo hướng thứ nhất, $3$ m theo hướng thứ hai, rồi $2{,}5$ m lên trên. Bộ ba số $(2; 3; 2{,}5)$ xác định đúng một vị trí trong phòng, và cảm biến ứng với $(8; 6; 0)$ .

Nếu gọi $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ là các vectơ dài $1$ m theo ba hướng đó, thì theo quy tắc hình hộp (bài trước), vectơ từ $O$ đến đèn là $2\vec{i}+3\vec{j}+2{,}5\vec{k}$ .

Toạ độ của điểm và của vectơ

Như vậy toạ độ của điểm $M$ chính là toạ độ của vectơ $\overrightarrow{OM}$ . Đặc biệt $\vec{i}=(1; 0; 0)$ , $\vec{j}=(0; 1; 0)$ , $\vec{k}=(0; 0; 1)$ và $\vec{0}=(0; 0; 0)$ .

Hình hộp chữ nhật

OABC.O'A'B'C'

trong hệ

Oxyz

Ví dụ đầu tiên đọc toạ độ từ hình hộp trên, với các cạnh dọc theo ba trục.

Ví dụ Toạ độ các đỉnh của hình hộp

Hình hộp chữ nhật $OABC.O'A'B'C'$ có $A$ trên tia $Ox$ , $C$ trên tia $Oy$ , $O'$ trên tia $Oz$ , với $OA=3$ , $OC=4$ , $OO'=2$ . Tìm toạ độ các đỉnh và toạ độ của $\overrightarrow{OB'}$ .

Lời giải. Mỗi đỉnh đạt được bằng cách đi dọc các cạnh song song với các trục. Đỉnh $B$ cần $3$ theo $Ox$ và $4$ theo $Oy$ ; đỉnh có dấu phẩy ở đáy trên, cao thêm $2$ :

$\begin{aligned} &O(0; 0; 0),\quad A(3; 0; 0),\quad B(3; 4; 0),\quad C(0; 4; 0),\\ &O'(0; 0; 2),\quad A'(3; 0; 2),\quad B'(3; 4; 2),\quad C'(0; 4; 2). \end{aligned}$

Toạ độ của $\overrightarrow{OB'}$ bằng toạ độ của điểm $B'$ : $\overrightarrow{OB'}=3\vec{i}+4\vec{j}+2\vec{k}=(3; 4; 2)$ .

Điểm trên các trục và các mặt phẳng toạ độ

Từ định nghĩa, ta đọc được vị trí của một điểm qua các toạ độ bằng $0$ :

Vị trí của $M$	Điều kiện
trên trục $Ox$ / $Oy$ / $Oz$	$y=z=0$ / $z=x=0$ / $x=y=0$
trong mặt phẳng $(Oxy)$ / $(Oyz)$ / $(Ozx)$	$z=0$ / $x=0$ / $y=0$

Hình chiếu vuông góc của $M(x; y; z)$ lên một mặt phẳng toạ độ có được bằng cách đổi toạ độ còn lại thành $0$ ; lên một trục thì giữ lại đúng toạ độ của trục đó. Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ là $|z|$ , vì $M$ cách hình chiếu $(x; y; 0)$ của nó đúng $|z|$ .

Ví dụ Hình chiếu và khoảng cách đến các mặt phẳng toạ độ

Cho $M(2; -3; 5)$ . Tìm hình chiếu của $M$ lên $(Oxy)$ , $(Oyz)$ , $(Ozx)$ và lên trục $Oz$ . Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oxy)$ và đến trục $Oz$ .

Lời giải. Lên mỗi mặt phẳng, ta thay toạ độ "thiếu" bằng $0$ ; lên trục $Oz$ , chỉ giữ cao độ:

$(Oxy):\ (2; -3; 0),\qquad (Oyz):\ (0; -3; 5),\qquad (Ozx):\ (2; 0; 5),\qquad Oz:\ (0; 0; 5).$

Khoảng cách đến $(Oxy)$ là $|5|=5$ . Gọi $H(0; 0; 5)$ là hình chiếu trên $Oz$ ; $MH$ nằm ngang và là đường chéo của hình chữ nhật cạnh $2$ và $3$ :

$MH=\sqrt{2^2+(-3)^2}=\sqrt{13}.$

Vậy $M$ cách $(Oxy)$ là $5$ và cách trục $Oz$ là $\sqrt{13}\approx3{,}61$ .

Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$

Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ , ta trừ từng thành phần theo $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ . Với $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$ :

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A).$

Vẫn là quy tắc quen thuộc: điểm cuối trừ điểm đầu. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi ba toạ độ tương ứng bằng nhau.

Ví dụ Hai vectơ bằng nhau

Cho $A(1; 2; -1)$ , $B(3; -1; 2)$ , $C(-2; 0; 4)$ , $D(0; -3; 7)$ . Chứng minh $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ và cho biết tứ giác nào là hình bình hành.

Lời giải. Lấy toạ độ điểm cuối trừ điểm đầu:

$\overrightarrow{AB}=(3-1;\ -1-2;\ 2+1)=(2; -3; 3),\qquad \overrightarrow{CD}=(0+2;\ -3-0;\ 7-4)=(2; -3; 3).$

Ba toạ độ bằng nhau nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ . Ngoài ra $\overrightarrow{AC}=(-3; -2; 5)$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (tỉ số $\frac{-3}{2}\neq\frac{-2}{-3}$ ), nên $C$ không nằm trên đường thẳng $AB$ .

Vậy $ABDC$ là hình bình hành (chú ý thứ tự đỉnh: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ cho $AB$ và $CD$ là hai cạnh đối, cùng chiều).

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm

Viết $\overrightarrow{AB}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$ với $a=x_B-x_A$ , $b=y_B-y_A$ , $c=z_B-z_A$ . Bình phương vô hướng, các tích chéo $\vec{i}\cdot\vec{j}$ , $\vec{j}\cdot\vec{k}$ , $\vec{k}\cdot\vec{i}$ bằng $0$ , nên $AB^2=a^2+b^2+c^2$ . Đây cũng là đường chéo của hình hộp có ba cạnh $|a|$ , $|b|$ , $|c|$ .

Hai công thức sau có được từ $\overrightarrow{OM}=\frac12(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ và $\overrightarrow{OG}=\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ : ta lấy trung bình cộng từng toạ độ, giống trong mặt phẳng.

Ví dụ Trung điểm, độ dài, trọng tâm

Cho $A(1; 0; 2)$ , $B(3; 4; -2)$ , $C(-1; 2; 3)$ . Tìm trung điểm $M$ của $AB$ , độ dài $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

Lời giải. Lấy trung bình cộng từng toạ độ cho $M$ và $G$ :

$M\left(\frac{1+3}{2};\ \frac{0+4}{2};\ \frac{2-2}{2}\right)=M(2; 2; 0),\qquad G\left(\frac{1+3-1}{3};\ \frac{0+4+2}{3};\ \frac{2-2+3}{3}\right)=G(1; 2; 1).$

Với độ dài, $\overrightarrow{AB}=(2; 4; -4)$ :

$AB=\sqrt{4+16+16}=\sqrt{36}=6.$

Vậy $M(2; 2; 0)$ , $AB=6$ và $G(1; 2; 1)$ .

Bây giờ ta trả lời câu hỏi ở đầu bài.

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Hình chiếu sai toạ độ. Sai: hình chiếu của $M(2; -3; 5)$ lên $(Oxy)$ là $(0; 0; 5)$ . Vì sao sai: đó là hình chiếu lên trục $Oz$ . Đúng: lên $(Oxy)$ thì giữ $x$ , $y$ và cho $z=0$ : $(2; -3; 0)$ .
Khoảng cách đến trục nhầm với khoảng cách đến mặt phẳng. Sai: khoảng cách từ $M(2; -3; 5)$ đến trục $Oz$ bằng $5$ . Đúng: $5$ là khoảng cách đến $(Oxy)$ ; đến trục $Oz$ là $\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$ .
Trừ ngược. Sai: $\overrightarrow{AB}=(x_A-x_B;\ \dots)$ . Đúng: điểm cuối trừ điểm đầu.
Quên một toạ độ khi tính khoảng cách. Sai: $AB=\sqrt{2^2+4^2}$ với $\overrightarrow{AB}=(2; 4; -4)$ . Đúng: cộng đủ ba bình phương, $AB=6$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
hệ trục toạ độ Oxyz	Oxyz coordinate system
gốc toạ độ	origin
trục hoành, trục tung, trục cao	x-axis, y-axis, z-axis
mặt phẳng toạ độ	coordinate plane
vectơ đơn vị	unit vector
toạ độ của điểm	coordinates of a point
hoành độ, tung độ, cao độ	x-, y- and z-coordinate
hình chiếu vuông góc	orthogonal projection
trung điểm	midpoint
trọng tâm	centroid

Tóm tắt

$Oxyz$ : ba trục đôi một vuông góc, vectơ đơn vị $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ dài $1$ , đôi một vuông góc.
$M(x; y; z)\iff\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ ; $\vec{a}=(x; y; z)\iff\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$ .
Trên $(Oxy)$ : $z=0$ ; trên $Ox$ : $y=z=0$ . Hình chiếu lên $(Oxy)$ của $(x; y; z)$ là $(x; y; 0)$ .
$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$ ; $AB$ là căn của tổng ba bình phương.
Trung điểm, trọng tâm: trung bình cộng từng toạ độ.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

a) Tìm toạ độ điểm $M$ biết $\overrightarrow{OM}=2\vec{i}-3\vec{j}+\vec{k}$ .

b) Tìm toạ độ của vectơ $\vec{a}=-\vec{i}+4\vec{k}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\iff M(x; y; z)$ ; thành phần vắng mặt có hệ số $0$ .

Gợi ý các bước:

Đọc lần lượt hệ số của $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ .
b) Hệ số của $\vec{j}$ bằng $0$ .

Xem lời giải

a) Các hệ số là $2$ , $-3$ , $1$ , nên $M(2; -3; 1)$ .

b) $\vec{a}=-1\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+4\vec{k}$ , nên $\vec{a}=(-1; 0; 4)$ .

Đáp số. a) $M(2; -3; 1)$ ; b) $\vec{a}=(-1; 0; 4)$ .

Bài 2

Cho $N(4; -1; 3)$ . Tìm hình chiếu của $N$ lên các mặt phẳng $(Oxy)$ , $(Oyz)$ , $(Ozx)$ và lên trục $Oy$ . Tính khoảng cách từ $N$ đến mặt phẳng $(Ozx)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hình chiếu lên một mặt phẳng toạ độ: đổi toạ độ còn lại thành $0$ ; mặt phẳng $(Ozx)$ là $y=0$ .

Gợi ý các bước:

Viết ba hình chiếu lên ba mặt phẳng.
Lên trục $Oy$ : chỉ giữ tung độ.
Khoảng cách đến $(Ozx)$ là $|y|$ .

Xem lời giải

$(Oxy)$ : $(4; -1; 0)$ ; $(Oyz)$ : $(0; -1; 3)$ ; $(Ozx)$ : $(4; 0; 3)$ ; trục $Oy$ : $(0; -1; 0)$ . Khoảng cách đến $(Ozx)$ là $|-1|=1$ .

Đáp số. $(4; -1; 0)$ , $(0; -1; 3)$ , $(4; 0; 3)$ , $(0; -1; 0)$ ; khoảng cách bằng $1$ .

Bài 3

Cho $A(2; -1; 3)$ và $B(-1; 3; 3)$ . Tìm toạ độ của $\overrightarrow{AB}$ và độ dài $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\ y_B-y_A;\ z_B-z_A)$ ; $AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .

Gợi ý các bước:

Trừ từng toạ độ.
Cộng ba bình phương rồi khai căn.

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}=(-3; 4; 0),\qquad AB=\sqrt{9+16+0}=5.$

Đáp số. $\overrightarrow{AB}=(-3; 4; 0)$ ; $AB=5$ .

Bài 4

Cho $A(2; 1; -3)$ , $B(0; 5; 1)$ , $C(4; -3; 5)$ . Tìm trung điểm $M$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trung điểm, trọng tâm: trung bình cộng từng toạ độ.

Gợi ý các bước:

Cộng từng toạ độ của $A$ , $B$ rồi chia cho $2$ .
Cộng từng toạ độ của $A$ , $B$ , $C$ rồi chia cho $3$ .

Xem lời giải

$M\left(\frac{2+0}{2};\ \frac{1+5}{2};\ \frac{-3+1}{2}\right)=M(1; 3; -1),\qquad G\left(\frac{6}{3};\ \frac{3}{3};\ \frac{3}{3}\right)=G(2; 1; 1).$

Đáp số. $M(1; 3; -1)$ ; $G(2; 1; 1)$ .

Bài 5

Cho $A(1; -2; 3)$ và $M(2; 0; 1)$ . Tìm điểm $N$ sao cho $M$ là trung điểm của $AN$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $M$ là trung điểm $AN$ $\iff$ $x_M=\dfrac{x_A+x_N}{2}$ (và tương tự), tức $x_N=2x_M-x_A$ .

Gợi ý các bước:

Nhân đôi toạ độ của $M$ .
Trừ đi toạ độ của $A$ .

Xem lời giải

$N(2\cdot2-1;\ 2\cdot0+2;\ 2\cdot1-3)=N(3; 2; -1).$ Kiểm tra. Trung điểm của $A(1; -2; 3)$ và $N(3; 2; -1)$ là $(2; 0; 1)=M$ .

Đáp số. $N(3; 2; -1)$ .

Bài 6

Một trạm điều khiển đặt tại gốc $O$ của hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị: mét; $Ox$ hướng đông, $Oy$ hướng bắc, $Oz$ hướng lên). Một flycam đang bay tại điểm $P(120; -50; 60)$ . Flycam cách trạm bao nhiêu mét? (Làm tròn đến hàng đơn vị.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $OP=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ .

Gợi ý các bước:

Bình phương ba toạ độ và cộng lại.
Khai căn rồi làm tròn.

Xem lời giải

$OP=\sqrt{120^2+(-50)^2+60^2}=\sqrt{14400+2500+3600}=\sqrt{20500}\approx143{,}18.$

Đáp số. $143$ .

Bài 7

Cho điểm $M(3; -4; 12)$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Hình chiếu của $M$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $(3; -4; 0)$ .

b) Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(Oyz)$ bằng $4$ .

c) $OM=13$ .

d) Khoảng cách từ $M$ đến trục $Ox$ bằng $4$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khoảng cách đến $(Oyz)$ là $|x|$ ; khoảng cách đến trục $Ox$ là $\sqrt{y^2+z^2}$ .

Gợi ý các bước:

Viết hình chiếu lên $(Oxy)$ .
Tính $OM$ từ ba toạ độ.
Xác định đúng toạ độ nào dùng cho mỗi khoảng cách.

Xem lời giải

a) Đúng. Giữ $x$ , $y$ và cho $z=0$ .

b) Sai. Khoảng cách đến $(Oyz)$ là $|x|=3$ .

c) Đúng. $OM=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ .

d) Sai. Hình chiếu lên $Ox$ là $H(3; 0; 0)$ , nên $MH=\sqrt{16+144}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$ .

Đáp số. a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.

Bài 8

Hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $4$ được đặt vào hệ $Oxyz$ sao cho $A$ trùng $O$ , $B(4; 0; 0)$ , $D(0; 4; 0)$ , $A'(0; 0; 4)$ . Tìm toạ độ $C'$ , tâm $I$ của mặt $A'B'C'D'$ và độ dài $IB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$ ; tâm hình vuông là trung điểm đường chéo.

Gợi ý các bước:

Cộng ba vectơ cạnh để có $C'$ .
$I$ là trung điểm của $A'C'$ .
Tính $IB$ bằng công thức khoảng cách.

Xem lời giải

$\overrightarrow{AC'}=(4; 0; 0)+(0; 4; 0)+(0; 0; 4)=(4; 4; 4)$ , nên $C'(4; 4; 4)$ . Trung điểm của $A'(0; 0; 4)$ và $C'$ là $I(2; 2; 4)$ . Khi đó $IB=\sqrt{(4-2)^2+(0-2)^2+(0-4)^2}=\sqrt{24}=2\sqrt6.$

Đáp số. $C'(4; 4; 4)$ , $I(2; 2; 4)$ , $IB=2\sqrt6\approx4{,}90$ .

Bài 9

(Ôn lại Vectơ trong mặt phẳng toạ độ.) Trong mặt phẳng $Oxy$ , cho $A(1; 2)$ và $B(4; 6)$ .

a) Tính $AB$ theo công thức của lớp 10.

b) Coi $A$ , $B$ là các điểm $A(1; 2; 0)$ , $B(4; 6; 0)$ của mặt phẳng $(Oxy)$ trong không gian. Nâng $B$ lên thẳng đứng thành $B'(4; 6; 12)$ . Tính $AB'$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$ trong mặt phẳng; trong không gian có thêm $(z_B-z_A)^2$ .

Gợi ý các bước:

a) Tính hai hiệu toạ độ.
b) Thêm hiệu cao độ $12$ và để ý rằng $ABB'$ vuông tại $B$ .

Xem lời giải

a) $AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

b) $\overrightarrow{AB'}=(3; 4; 12)$ , nên $AB'=\sqrt{9+16+144}=13$ . Đây đúng là định lí Pythagore trong tam giác $ABB'$ vuông tại $B$ : $5^2+12^2=13^2$ .

Đáp số. a) $AB=5$ ; b) $AB'=13$ .

Bài 10 Thử thách

Tìm điểm $M$ trên trục $Oz$ cách đều hai điểm $A(1; 2; 3)$ và $B(-1; 0; 5)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: điểm trên $Oz$ có dạng $M(0; 0; t)$ ; $MA=MB\iff MA^2=MB^2$ .

Gợi ý các bước:

Viết $MA^2$ và $MB^2$ theo $t$ .
Cho bằng nhau; các số hạng $t^2$ triệt tiêu.

Xem lời giải

$MA^2=1+4+(t-3)^2=t^2-6t+14,\qquad MB^2=1+0+(t-5)^2=t^2-10t+26.$ $t^2-6t+14=t^2-10t+26\iff 4t=12\iff t=3.$ Kiểm tra. $MA=\sqrt{1+4+0}=\sqrt5$ và $MB=\sqrt{1+0+4}=\sqrt5$ .

Đáp số. $M(0; 0; 3)$ .

Hệ trục toạ độ $Oxyz$

Khám phá: ba con số cho một vị trí

Toạ độ của điểm và của vectơ

Điểm trên các trục và các mặt phẳng toạ độ

Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $\overrightarrow{AB}=(2; -4; 4)$ .	Đúng	Sai
b) $AB=6$ .	Đúng	Sai
c) Trọng tâm của tam giác $ABC$ là $G(3; 3; 3)$ .	Đúng	Sai
d) Điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành là $D(-3; 7; -3)$ .	Đúng	Sai

Hệ trục toạ độ trong không gian

Hệ trục toạ độ OxyzOxyzOxyz

Khám phá: ba con số cho một vị trí

Toạ độ của điểm và của vectơ

Điểm trên các trục và các mặt phẳng toạ độ

Toạ độ của vectơ AB→\overrightarrow{AB}AB

Khoảng cách, trung điểm và trọng tâm

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Hệ trục toạ độ $Oxyz$

Toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$