LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 2.3

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Cộng, trừ, nhân vectơ với một số theo toạ độ trong không gian.
Tính tích vô hướng $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ và độ dài $|\vec{a}|$ .
Tính góc giữa hai vectơ; nhận biết hai vectơ vuông góc, cùng phương.
Dùng toạ độ để tìm đỉnh hình bình hành, góc của tam giác, chứng minh vuông góc.

Ghi nhớ

Cộng, trừ, nhân với một số: làm trên từng toạ độ.
$\vec{b}$ cùng phương $\vec{a}\neq\vec{0}$ $\iff$ $\vec{b}=k\vec{a}$ ; $A$ , $B$ , $C$ thẳng hàng $\iff$ $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ (một số); $|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}$ .
$\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ; $\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ .
Góc $\widehat{BAC}$ của tam giác là góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ .
Hình bình hành $ABCD$ : $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ .

Bài tập

Bài 1

Cho $\vec{u}=(2; -1; 3)$ và $\vec{v}=(-1; 4; 0)$ . Tìm $\vec{u}+\vec{v}$ , $3\vec{u}-2\vec{v}$ và $\vec{u}\cdot\vec{v}$ .

Bài 2

Cho $\vec{a}=(2; -3; 6)$ . Tính $|\vec{a}|$ và tìm vectơ $\vec{e}$ cùng hướng với $\vec{a}$ có độ dài bằng $1$ .

Bài 3

Tính góc giữa hai vectơ $\vec{a}=(1; 1; 0)$ và $\vec{b}=(0; 1; 1)$ .

Bài 4

Trong ba vectơ $\vec{u}=(1; 2; -1)$ , $\vec{v}=(3; -1; 1)$ , $\vec{w}=(1; 1; 3)$ , những cặp nào vuông góc với nhau?

Bài 5

Tìm $x$ , $y$ để hai vectơ $\vec{a}=(1; x; 3)$ và $\vec{b}=(-2; 4; y)$ cùng phương.

Bài 6

Cho $A(3; 2; -1)$ , $B(1; 1; 1)$ , $C(2; 3; 3)$ . Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và tính diện tích của nó.

Bài 7

Cho $\vec{a}=(1; -2; 2)$ và $\vec{b}=(2; 2; 1)$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $|\vec{a}|=3$ .

b) $\vec{a}\perp\vec{b}$ .

c) $\vec{a}-\vec{b}=(-1; -4; 3)$ .

d) $|\vec{a}+\vec{b}|=6$ .

Bài 8

Một người kéo một chiếc xe trượt bằng lực $\vec{F}=(10; 5; -2)$ (đơn vị: N). Xe dịch chuyển theo vectơ $\vec{d}=(3; 4; 0)$ (đơn vị: m). Tính góc giữa lực kéo và hướng dịch chuyển (đơn vị: độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 9

(Ôn lại Vectơ và các phép toán trong không gian.) Ở bài trước, bằng cách phân tích vectơ, ta tính được góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A'D}$ trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ bằng $60^\circ$ . Hãy tính lại bằng toạ độ, với hình lập phương cạnh $1$ , $A$ ở gốc, $B(1; 0; 0)$ , $D(0; 1; 0)$ , $A'(0; 0; 1)$ .

Bài 10 Thử thách

Cho $A(2; 1; 1)$ và $B(4; -1; 1)$ . Tìm các điểm $M$ trên trục $Ox$ sao cho tam giác $MAB$ vuông tại $M$ .

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, cho

\vec{a}=(2; -1; 3)

và

\vec{b}=(1; 0; -2)

. Toạ độ của vectơ

\vec{a}-2\vec{b}

là

(0; -1; -1)

.B.

(0; -1; 7)

.C.

(4; -1; -1)

.D.

(1; -1; 5)

Câu 2. Cho

\vec{u}=(3; -2; 1)

và

\vec{v}=(1; 4; -2)

. Tích vô hướng

\vec{u}\cdot\vec{v}

bằng

7

.B.

(3; -8; -2)

.C.

-7

.D.

-3

Câu 3. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ

\vec{a}=(1; 2; -2)

(1; 2; 2)

.B.

(2; -1; 2)

.C.

(-2; -4; 4)

.D.

(2; 1; 2)

Câu 4. Góc giữa hai vectơ

\vec{a}=(1; 0; 1)

và

\vec{b}=(-1; 1; 0)

bằng

120^\circ

.B.

60^\circ

.C.

45^\circ

.D.

150^\circ

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Trong không gian

Oxyz

, cho

A(1; 0; 2)

B(3; 1; 0)

C(0; 2; 2)

a) $\overrightarrow{AB}=(2; 1; -2)$ .	Đ / S
b) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ .	Đ / S
c) Diện tích tam giác $ABC$ bằng $3\sqrt5$ .	Đ / S
d) Góc $\widehat{ABC}$ lớn hơn $30^\circ$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho ba điểm

A(1; 2; -1)

B(3; 0; 1)

và

C(x; y; 5)

. Biết

A

B

C

thẳng hàng, tính

x+y

Câu 2. Một lực

\vec{F}=(4; -2; 3)

(đơn vị: N) kéo một vật dịch chuyển từ

M(1; 0; 0)

đến

N(5; 3; 2)

(đơn vị: m). Tính góc giữa lực

\vec{F}

và hướng dịch chuyển

\overrightarrow{MN}

, theo độ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: cộng, trừ, nhân với một số từng toạ độ; $\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ .

Gợi ý các bước:

Tính $3\vec{u}$ và $2\vec{v}$ trước.
Nhân các toạ độ cùng vị trí rồi cộng.

Bài 2.

Kiến thức: $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ; $\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ và có độ dài $1$ .

Gợi ý các bước:

Tính $|\vec{a}|$ .
Chia từng toạ độ cho $|\vec{a}|$ .

Bài 3.

Kiến thức: $\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\vec{a}\cdot\vec{b}$ , $|\vec{a}|$ , $|\vec{b}|$ .
Tìm góc có cosin bằng kết quả.

Bài 4.

Kiến thức: $\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ .

Gợi ý các bước:

Tính ba tích vô hướng $\vec{u}\cdot\vec{v}$ , $\vec{u}\cdot\vec{w}$ , $\vec{v}\cdot\vec{w}$ .
Chọn những tích bằng $0$ .

Bài 5.

Kiến thức: $\vec{b}$ cùng phương $\vec{a}$ $\iff$ $\vec{b}=k\vec{a}$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $k$ từ hoành độ: $-2=k\cdot1$ .
Dùng $k$ cho hai toạ độ còn lại.

Bài 6.

Kiến thức: tam giác vuông tại $B$ $\iff$ $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ ; diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{BA}$ , $\overrightarrow{BC}$ và tích vô hướng.
Tính $BA$ , $BC$ .

Bài 7.

Kiến thức: công thức độ dài, tích vô hướng, phép trừ theo toạ độ.

Gợi ý các bước:

Tính $|\vec{a}|$ và $\vec{a}\cdot\vec{b}$ .
Trừ từng toạ độ.
Tính $\vec{a}+\vec{b}$ rồi độ dài của nó.

Bài 8.

Kiến thức: $\cos(\vec{F}, \vec{d})=\dfrac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{F}||\vec{d}|}$ ; trong vật lí, $\vec{F}\cdot\vec{d}$ là công của lực (đơn vị: J).

Gợi ý các bước:

Tính $\vec{F}\cdot\vec{d}$ .
Tính $|\vec{F}|$ , $|\vec{d}|$ rồi cosin của góc.

Bài 9.

Kiến thức: toạ độ đỉnh của hình lập phương; công thức cosin của góc.

Gợi ý các bước:

Viết $C(1; 1; 0)$ và tìm $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{A'D}$ .
Tính cosin.

Bài 10.

Kiến thức: điểm trên $Ox$ có dạng $M(t; 0; 0)$ ; vuông tại $M$ $\iff$ $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$ .

Gợi ý các bước:

Viết $\overrightarrow{MA}$ , $\overrightarrow{MB}$ theo $t$ .
Lập phương trình tích vô hướng bằng $0$ và giải.

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐
10	☐	☐	☐