Lemonmath
English

Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài 2.3 · 24 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Một chiếc lều cắm trại có cột dựng thẳng đứng, đỉnh cột ở độ cao 33 m. Hai sợi dây néo đi từ đỉnh cột xuống hai cọc trên mặt đất. Đặt chân cột ở gốc toạ độ, đơn vị mét: đỉnh cột là T(0;0;3)T(0; 0; 3), hai cọc là P(2;−1;0)P(2; -1; 0) và Q(−1;2;0)Q(-1; 2; 0). Hai sợi dây hợp với nhau một góc bao nhiêu độ?

Bài trước cho ta toạ độ của điểm và vectơ. Bài này biến mọi phép toán vectơ, kể cả tích vô hướng, thành phép tính trên các con số, nên câu hỏi trên chỉ còn là vài phép nhân và cộng.

Cộng, trừ và nhân với một số

Vì a⃗=x1i⃗+y1j⃗+z1k⃗\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j}+z_1\vec{k} và b⃗=x2i⃗+y2j⃗+z2k⃗\vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}+z_2\vec{k}, ta gom các số hạng cùng vectơ đơn vị: a⃗+b⃗=(x1+x2)i⃗+(y1+y2)j⃗+(z1+z2)k⃗.\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2)\vec{i}+(y_1+y_2)\vec{j}+(z_1+z_2)\vec{k}. Hiệu và tích với một số làm tương tự.

Điều kiện cùng phương cho ta cách kiểm tra ba điểm thẳng hàng: AA, BB, CC thẳng hàng khi và chỉ khi AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC} cùng phương.

Tích vô hướng theo toạ độ

Khám phá: nhân phân phối với i⃗\vec{i}, j⃗\vec{j}, k⃗\vec{k}

Ta tính thử (i⃗+2j⃗)⋅(3i⃗+k⃗)(\vec{i}+2\vec{j})\cdot(3\vec{i}+\vec{k}) bằng cách nhân phân phối. Có bốn tích: 3 i⃗⋅i⃗+i⃗⋅k⃗+6 j⃗⋅i⃗+2 j⃗⋅k⃗.3\,\vec{i}\cdot\vec{i}+\vec{i}\cdot\vec{k}+6\,\vec{j}\cdot\vec{i}+2\,\vec{j}\cdot\vec{k}. Vì i⃗⋅i⃗=1\vec{i}\cdot\vec{i}=1 còn các tích của hai vectơ đơn vị khác nhau bằng 00, chỉ còn 33. Đó đúng bằng 1⋅3+2⋅0+0⋅11\cdot3+2\cdot0+0\cdot1: nhân các toạ độ cùng vị trí rồi cộng lại.

Vì sao đúng? Nhân phân phối a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b} như phần Khám phá cho chín tích; sáu tích của hai vectơ đơn vị khác nhau bằng 00, ba tích còn lại là x1x2x_1x_2, y1y2y_1y_2, z1z2z_1z_2. Lấy b⃗=a⃗\vec{b}=\vec{a} ta được ∣a⃗∣2=a⃗⋅a⃗=x12+y12+z12|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a}=x_1^2+y_1^2+z_1^2.

Bây giờ ta trả lời câu hỏi chiếc lều. Góc giữa hai sợi dây là góc giữa hai vectơ cùng xuất phát từ đỉnh cột.

OxyzTPQ
Cột lều và hai sợi dây néo

Giải bài toán hình học bằng toạ độ

Khi đã có toạ độ, nhiều câu hỏi hình học trở thành tính toán: hình bình hành ABCDABCD cần AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, hai đường thẳng vuông góc cần tích vô hướng bằng 00.

Ví dụ cuối nhiều bước hơn, nên ta làm theo bốn bước.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Cộng, trừ, nhân với một số: làm trên từng toạ độ.
  • b⃗\vec{b} cùng phương a⃗≠0⃗\vec{a}\neq\vec{0}   ⟺  \iff b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a}; AA, BB, CC thẳng hàng   ⟺  \iff AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC} cùng phương.
  • a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 (một số); ∣a⃗∣=x12+y12+z12|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}.
  • cos⁡(a⃗,b⃗)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}; a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0.
  • Góc BAC^\widehat{BAC} của tam giác là góc giữa AB→\overrightarrow{AB} và AC→\overrightarrow{AC}.
  • Hình bình hành ABCDABCD: AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Cho u⃗=(2;−1;3)\vec{u}=(2; -1; 3) và v⃗=(−1;4;0)\vec{v}=(-1; 4; 0). Tìm u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}, 3u⃗−2v⃗3\vec{u}-2\vec{v} và u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cộng, trừ, nhân với một số từng toạ độ; u⃗⋅v⃗=x1x2+y1y2+z1z2\vec{u}\cdot\vec{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.

Gợi ý các bước:

  1. Tính 3u⃗3\vec{u} và 2v⃗2\vec{v} trước.
  2. Nhân các toạ độ cùng vị trí rồi cộng.
Xem lời giải

u⃗+v⃗=(1;3;3)\vec{u}+\vec{v}=(1; 3; 3). 3u⃗=(6;−3;9)3\vec{u}=(6; -3; 9), 2v⃗=(−2;8;0)2\vec{v}=(-2; 8; 0), nên 3u⃗−2v⃗=(8;−11;9)3\vec{u}-2\vec{v}=(8; -11; 9). u⃗⋅v⃗=−2−4+0=−6\vec{u}\cdot\vec{v}=-2-4+0=-6.

Đáp số. (1;3;3)(1; 3; 3); (8;−11;9)(8; -11; 9); −6-6.

Bài 2

Cho a⃗=(2;−3;6)\vec{a}=(2; -3; 6). Tính ∣a⃗∣|\vec{a}| và tìm vectơ e⃗\vec{e} cùng hướng với a⃗\vec{a} có độ dài bằng 11.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: ∣a⃗∣=x2+y2+z2|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}; 1∣a⃗∣a⃗\dfrac{1}{|\vec{a}|}\vec{a} cùng hướng với a⃗\vec{a} và có độ dài 11.

Gợi ý các bước:

  1. Tính ∣a⃗∣|\vec{a}|.
  2. Chia từng toạ độ cho ∣a⃗∣|\vec{a}|.
Xem lời giải

∣a⃗∣=4+9+36=7|\vec{a}|=\sqrt{4+9+36}=7, nên e⃗=17a⃗=(27;−37;67)\vec{e}=\dfrac17\vec{a}=\left(\dfrac27; -\dfrac37; \dfrac67\right).

Đáp số. ∣a⃗∣=7|\vec{a}|=7; e⃗=(27;−37;67)\vec{e}=\left(\dfrac27; -\dfrac37; \dfrac67\right).

Bài 3

Tính góc giữa hai vectơ a⃗=(1;1;0)\vec{a}=(1; 1; 0) và b⃗=(0;1;1)\vec{b}=(0; 1; 1).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cos⁡(a⃗,b⃗)=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}.

Gợi ý các bước:

  1. Tính a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}, ∣a⃗∣|\vec{a}|, ∣b⃗∣|\vec{b}|.
  2. Tìm góc có cosin bằng kết quả.
Xem lời giải

a⃗⋅b⃗=0+1+0=1,∣a⃗∣=∣b⃗∣=2,cos⁡(a⃗,b⃗)=12.\vec{a}\cdot\vec{b}=0+1+0=1,\qquad |\vec{a}|=|\vec{b}|=\sqrt2,\qquad \cos(\vec{a}, \vec{b})=\frac{1}{2}.

Đáp số. 60∘60^\circ.

Bài 4

Trong ba vectơ u⃗=(1;2;−1)\vec{u}=(1; 2; -1), v⃗=(3;−1;1)\vec{v}=(3; -1; 1), w⃗=(1;1;3)\vec{w}=(1; 1; 3), những cặp nào vuông góc với nhau?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: a⃗⊥b⃗  ⟺  a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0.

Gợi ý các bước:

  1. Tính ba tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}, u⃗⋅w⃗\vec{u}\cdot\vec{w}, v⃗⋅w⃗\vec{v}\cdot\vec{w}.
  2. Chọn những tích bằng 00.
Xem lời giải

u⃗⋅v⃗=3−2−1=0\vec{u}\cdot\vec{v}=3-2-1=0, u⃗⋅w⃗=1+2−3=0\vec{u}\cdot\vec{w}=1+2-3=0, v⃗⋅w⃗=3−1+3=5\vec{v}\cdot\vec{w}=3-1+3=5.

Đáp số. u⃗⊥v⃗\vec{u}\perp\vec{v} và u⃗⊥w⃗\vec{u}\perp\vec{w}; v⃗\vec{v} và w⃗\vec{w} không vuông góc.

Bài 5

Tìm xx, yy để hai vectơ a⃗=(1;x;3)\vec{a}=(1; x; 3) và b⃗=(−2;4;y)\vec{b}=(-2; 4; y) cùng phương.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: b⃗\vec{b} cùng phương a⃗\vec{a}   ⟺  \iff b⃗=ka⃗\vec{b}=k\vec{a}.

Gợi ý các bước:

  1. Tìm kk từ hoành độ: −2=k⋅1-2=k\cdot1.
  2. Dùng kk cho hai toạ độ còn lại.
Xem lời giải

k=−2k=-2. Khi đó 4=−2x4=-2x nên x=−2x=-2, và y=−2⋅3=−6y=-2\cdot3=-6.

Đáp số. x=−2x=-2, y=−6y=-6.

Bài 6

Cho A(3;2;−1)A(3; 2; -1), B(1;1;1)B(1; 1; 1), C(2;3;3)C(2; 3; 3). Chứng minh tam giác ABCABC vuông tại BB và tính diện tích của nó.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tam giác vuông tại BB   ⟺  \iff BA→⋅BC→=0\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0; diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông.

Gợi ý các bước:

  1. Tính BA→\overrightarrow{BA}, BC→\overrightarrow{BC} và tích vô hướng.
  2. Tính BABA, BCBC.
Xem lời giải

BA→=(2;1;−2),BC→=(1;2;2),BA→⋅BC→=2+2−4=0.\overrightarrow{BA}=(2; 1; -2),\quad \overrightarrow{BC}=(1; 2; 2),\quad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=2+2-4=0. BA=BC=3BA=BC=3, nên S=12⋅3⋅3=4,5S=\dfrac12\cdot3\cdot3=4{,}5.

Đáp số. Tam giác vuông (và cân) tại BB; S=4,5S=4{,}5.

Bài 7

Cho a⃗=(1;−2;2)\vec{a}=(1; -2; 2) và b⃗=(2;2;1)\vec{b}=(2; 2; 1). Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) ∣a⃗∣=3|\vec{a}|=3.

b) a⃗⊥b⃗\vec{a}\perp\vec{b}.

c) a⃗−b⃗=(−1;−4;3)\vec{a}-\vec{b}=(-1; -4; 3).

d) ∣a⃗+b⃗∣=6|\vec{a}+\vec{b}|=6.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức độ dài, tích vô hướng, phép trừ theo toạ độ.

Gợi ý các bước:

  1. Tính ∣a⃗∣|\vec{a}| và a⃗⋅b⃗\vec{a}\cdot\vec{b}.
  2. Trừ từng toạ độ.
  3. Tính a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b} rồi độ dài của nó.
Xem lời giải

a) Đúng. ∣a⃗∣=1+4+4=3|\vec{a}|=\sqrt{1+4+4}=3.

b) Đúng. a⃗⋅b⃗=2−4+2=0\vec{a}\cdot\vec{b}=2-4+2=0.

c) Sai. a⃗−b⃗=(1−2; −2−2; 2−1)=(−1;−4;1)\vec{a}-\vec{b}=(1-2;\ -2-2;\ 2-1)=(-1; -4; 1).

d) Sai. a⃗+b⃗=(3;0;3)\vec{a}+\vec{b}=(3; 0; 3), nên ∣a⃗+b⃗∣=18=32≈4,24|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4{,}24.

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.

Bài 8

Một người kéo một chiếc xe trượt bằng lực F⃗=(10;5;−2)\vec{F}=(10; 5; -2) (đơn vị: N). Xe dịch chuyển theo vectơ d⃗=(3;4;0)\vec{d}=(3; 4; 0) (đơn vị: m). Tính góc giữa lực kéo và hướng dịch chuyển (đơn vị: độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cos⁡(F⃗,d⃗)=F⃗⋅d⃗∣F⃗∣∣d⃗∣\cos(\vec{F}, \vec{d})=\dfrac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{F}||\vec{d}|}; trong vật lí, F⃗⋅d⃗\vec{F}\cdot\vec{d} là công của lực (đơn vị: J).

Gợi ý các bước:

  1. Tính F⃗⋅d⃗\vec{F}\cdot\vec{d}.
  2. Tính ∣F⃗∣|\vec{F}|, ∣d⃗∣|\vec{d}| rồi cosin của góc.
Xem lời giải

F⃗⋅d⃗=30+20+0=50,∣F⃗∣=100+25+4=129,∣d⃗∣=5.\vec{F}\cdot\vec{d}=30+20+0=50,\qquad |\vec{F}|=\sqrt{100+25+4}=\sqrt{129},\qquad |\vec{d}|=5. cos⁡(F⃗,d⃗)=505129=10129≈0,880,(F⃗,d⃗)≈28,3∘.\cos(\vec{F}, \vec{d})=\frac{50}{5\sqrt{129}}=\frac{10}{\sqrt{129}}\approx0{,}880,\qquad (\vec{F}, \vec{d})\approx28{,}3^\circ. (Công của lực là 5050 J.)

Đáp số. 2828.

Bài 9

(Ôn lại Vectơ và các phép toán trong không gian.) Ở bài trước, bằng cách phân tích vectơ, ta tính được góc giữa AC→\overrightarrow{AC} và A′D→\overrightarrow{A'D} trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' bằng 60∘60^\circ. Hãy tính lại bằng toạ độ, với hình lập phương cạnh 11, AA ở gốc, B(1;0;0)B(1; 0; 0), D(0;1;0)D(0; 1; 0), A′(0;0;1)A'(0; 0; 1).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: toạ độ đỉnh của hình lập phương; công thức cosin của góc.

Gợi ý các bước:

  1. Viết C(1;1;0)C(1; 1; 0) và tìm AC→\overrightarrow{AC}, A′D→\overrightarrow{A'D}.
  2. Tính cosin.
Xem lời giải

AC→=(1;1;0),A′D→=(0;1;−1),cos⁡=0+1+02⋅2=12.\overrightarrow{AC}=(1; 1; 0),\qquad \overrightarrow{A'D}=(0; 1; -1),\qquad \cos=\frac{0+1+0}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=\frac12.

Đáp số. 60∘60^\circ, trùng với kết quả của bài trước.

Bài 10 Thử thách

Cho A(2;1;1)A(2; 1; 1) và B(4;−1;1)B(4; -1; 1). Tìm các điểm MM trên trục OxOx sao cho tam giác MABMAB vuông tại MM.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: điểm trên OxOx có dạng M(t;0;0)M(t; 0; 0); vuông tại MM   ⟺  \iff MA→⋅MB→=0\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0.

Gợi ý các bước:

  1. Viết MA→\overrightarrow{MA}, MB→\overrightarrow{MB} theo tt.
  2. Lập phương trình tích vô hướng bằng 00 và giải.
Xem lời giải

MA→=(2−t;1;1)\overrightarrow{MA}=(2-t; 1; 1), MB→=(4−t;−1;1)\overrightarrow{MB}=(4-t; -1; 1). (2−t)(4−t)−1+1=0  ⟺  (2−t)(4−t)=0  ⟺  t=2 hoặc t=4.(2-t)(4-t)-1+1=0\iff(2-t)(4-t)=0\iff t=2\ \text{hoặc}\ t=4. Kiểm tra. Với M(2;0;0)M(2; 0; 0): (0;1;1)⋅(2;−1;1)=0(0; 1; 1)\cdot(2; -1; 1)=0. Với M(4;0;0)M(4; 0; 0): (−2;1;1)⋅(0;−1;1)=0(-2; 1; 1)\cdot(0; -1; 1)=0.

Đáp số. M(2;0;0)M(2; 0; 0) hoặc M(4;0;0)M(4; 0; 0).

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong không gian OxyzOxyz, cho a⃗=(2;−1;3)\vec{a}=(2; -1; 3) và b⃗=(1;0;−2)\vec{b}=(1; 0; -2). Toạ độ của vectơ a⃗−2b⃗\vec{a}-2\vec{b} là
Câu 2. Cho u⃗=(3;−2;1)\vec{u}=(3; -2; 1) và v⃗=(1;4;−2)\vec{v}=(1; 4; -2). Tích vô hướng u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v} bằng
Câu 3. Vectơ nào sau đây vuông góc với vectơ a⃗=(1;2;−2)\vec{a}=(1; 2; -2)?
Câu 4. Góc giữa hai vectơ a⃗=(1;0;1)\vec{a}=(1; 0; 1) và b⃗=(−1;1;0)\vec{b}=(-1; 1; 0) bằng

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Trong không gian OxyzOxyz, cho A(1;0;2)A(1; 0; 2), B(3;1;0)B(3; 1; 0), C(0;2;2)C(0; 2; 2).
a) AB→=(2;1;−2)\overrightarrow{AB}=(2; 1; -2).
b) Tam giác ABCABC vuông tại AA.
c) Diện tích tam giác ABCABC bằng 353\sqrt5.
d) Góc ABC^\widehat{ABC} lớn hơn 30∘30^\circ.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho ba điểm A(1;2;−1)A(1; 2; -1), B(3;0;1)B(3; 0; 1) và C(x;y;5)C(x; y; 5). Biết AA, BB, CC thẳng hàng, tính x+yx+y.

Câu 2. Một lực F⃗=(4;−2;3)\vec{F}=(4; -2; 3) (đơn vị: N) kéo một vật dịch chuyển từ M(1;0;0)M(1; 0; 0) đến N(5;3;2)N(5; 3; 2) (đơn vị: m). Tính góc giữa lực F⃗\vec{F} và hướng dịch chuyển MN→\overrightarrow{MN}, theo độ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: B. 2b⃗=(2;0;−4)2\vec{b}=(2; 0; -4) nên a⃗−2b⃗=(0;−1;3+4)=(0;−1;7)\vec{a}-2\vec{b}=(0; -1; 3+4)=(0; -1; 7). Phương án A sai dấu khi trừ −4-4, phương án C là a⃗+2b⃗\vec{a}+2\vec{b}, phương án D quên nhân b⃗\vec{b} với 22.
  2. Phần I, câu 2: C. u⃗⋅v⃗=3⋅1+(−2)⋅4+1⋅(−2)=3−8−2=−7\vec{u}\cdot\vec{v}=3\cdot1+(-2)\cdot4+1\cdot(-2)=3-8-2=-7. Phương án B viết tích vô hướng thành một vectơ, phương án D sai dấu ở tích 1⋅(−2)1\cdot(-2).
  3. Phần I, câu 3: D. (1;2;−2)⋅(2;1;2)=2+2−4=0(1; 2; -2)\cdot(2; 1; 2)=2+2-4=0. Phương án C bằng −2a⃗-2\vec{a}, cùng phương với a⃗\vec{a} chứ không vuông góc; A và B cho tích vô hướng 11 và −4-4.
  4. Phần I, câu 4: A. cos⁡(a⃗,b⃗)=−1+0+02⋅2=−12\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{-1+0+0}{\sqrt2\cdot\sqrt2}=-\dfrac12, nên góc bằng 120∘120^\circ. Phương án B bỏ qua dấu trừ của tích vô hướng.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Đúng. b) Đúng: AC→=(−1;2;0)\overrightarrow{AC}=(-1; 2; 0) và AB→⋅AC→=−2+2+0=0\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-2+2+0=0. c) Sai: AB=3AB=3, AC=5AC=\sqrt5, diện tích là 12⋅35=352\dfrac12\cdot3\sqrt5=\dfrac{3\sqrt5}{2}. d) Đúng: BA→=(−2;−1;2)\overrightarrow{BA}=(-2; -1; 2), BC→=(−3;1;2)\overrightarrow{BC}=(-3; 1; 2), cos⁡ABC^=9314≈0,80\cos\widehat{ABC}=\dfrac{9}{3\sqrt{14}}\approx0{,}80, góc khoảng 36,7∘36{,}7^\circ.
  6. Phần III, câu 1: 3. AB→=(2;−2;2)\overrightarrow{AB}=(2; -2; 2), AC→=(x−1;y−2;6)=kAB→\overrightarrow{AC}=(x-1; y-2; 6)=k\overrightarrow{AB}. Cao độ cho 6=2k6=2k, k=3k=3, nên x=7x=7, y=−4y=-4 và x+y=3x+y=3.
  7. Phần III, câu 2: 56,5. MN→=(4;3;2)\overrightarrow{MN}=(4; 3; 2), F⃗⋅MN→=16−6+6=16\vec{F}\cdot\overrightarrow{MN}=16-6+6=16 và ∣F⃗∣=∣MN→∣=29|\vec{F}|=|\overrightarrow{MN}|=\sqrt{29}. Vậy cos⁡=1629\cos=\dfrac{16}{29}, góc khoảng 56,51∘56{,}51^\circ, làm tròn được 56,556{,}5.