LemonmathPhiếu tự học

Lớp 12 · Bài 2.1

Vectơ và các phép toán trong không gian

Họ và tên: Ngày: Thời gian làm: phút

Mục tiêu

Nhận biết vectơ trong không gian, hai vectơ bằng nhau, đối nhau.
Cộng, trừ vectơ và dùng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.
Nhân vectơ với một số và dùng tính chất trung điểm, trọng tâm.
Tính góc và tích vô hướng của hai vectơ, rồi dùng chúng để tìm độ dài, góc, chứng minh vuông góc.

Ghi nhớ

Vectơ, độ dài, vectơ bằng nhau, đối nhau trong không gian định nghĩa như trong mặt phẳng.
Quy tắc ba điểm, hình bình hành vẫn đúng; thêm quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ .
Trung điểm $I$ của $AB$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ; trọng tâm $G$ : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ .
Góc giữa hai vectơ: đặt chung điểm đầu, góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ .
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$ ; $\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$ ; $\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ .
Tính độ dài: biểu diễn vectơ qua các cạnh đã biết rồi bình phương vô hướng.

Bài tập

Bài 1

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Rút gọn

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD'}$ ; b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{CC'}$ .

Bài 2

Cho tứ diện $ABCD$ . Rút gọn $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$ .

Bài 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$ . Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}$ và $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD}$ .

Bài 4

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $2$ (mọi cạnh bằng $2$ , mọi mặt là tam giác đều). Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , rồi chứng minh $AB\perp CD$ .

Bài 5

Ba người cùng kéo một thùng hàng đặt ở góc kho. Ba lực kéo có phương đôi một vuông góc (dọc hai bức tường và thẳng lên trên) với độ lớn $30$ N, $40$ N và $120$ N. Tính độ lớn của hợp lực.

Bài 6

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ .

b) $AC'=\sqrt3$ .

c) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD'}=1$ .

d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ bằng $90^\circ$ .

Bài 7

Một nhà kho có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=4$ m, $AD=3$ m, $AA'=4$ m. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AC}$ (đơn vị: độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 8

(Ôn lại Tích của vectơ với một số.) Cho tứ diện $ABCD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ .

Bài 9 Thử thách

a) Chứng minh rằng với bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ bất kì: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$ b) Tứ diện $ABCD$ có $AB\perp CD$ và $AC\perp BD$ . Chứng minh $AD\perp BC$ .

Kiểm tra mini

Làm trong 15 phút, không xem lại bài. Phần I khoanh một chữ cái; Phần II ghi Đ hoặc S cho từng ý; Phần III ghi đáp số vào ô.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Cho hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

. Vectơ

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CC'}

bằng

\overrightarrow{AC}

.B.

\overrightarrow{AC'}

.C.

\overrightarrow{CA'}

.D.

\overrightarrow{A'C}

Câu 2. Cho tứ diện

ABCD

;

M

N

lần lượt là trung điểm của

AB

và

CD

. Khi đó

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}

bằng

2\overrightarrow{MN}

.B.

\dfrac12\overrightarrow{MN}

.C.

\overrightarrow{MN}

.D.

-2\overrightarrow{MN}

Câu 3. Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D'

. Góc giữa hai vectơ

\overrightarrow{AB}

và

\overrightarrow{C'A'}

bằng

45^\circ

.B.

135^\circ

.C.

90^\circ

.D.

60^\circ

Câu 4. Cho tứ diện đều

ABCD

cạnh

a

. Tích vô hướng

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}

bằng

\dfrac{a^2\sqrt3}{2}

.B.

\dfrac{a^2}{2}

.C.

-\dfrac{a^2}{2}

.D.

0

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật

ABCD.A'B'C'D'

có

AB=2

AD=3

AA'=6

a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA'}=0$ .	Đ / S
b) $AC'=7$ .	Đ / S
c) $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}=2$ .	Đ / S
d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AA'}$ lớn hơn $35^\circ$ .	Đ / S

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho hình lập phương

ABCD.A'B'C'D'

cạnh

2

. Tính

\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{BD'}

Câu 2. Một flycam cất cánh từ điểm

A

, bay

30

m về phía đông, rồi

40

m về phía bắc, rồi bay thẳng lên

20

m. Khoảng cách từ vị trí cuối cùng của flycam đến

A

là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Điểm: ........ / 10

Gợi ý (chỉ xem khi bí)

Bài 1.

Kiến thức: quy tắc ba điểm; quy tắc hình hộp; các cạnh song song cùng chiều cho vectơ bằng nhau.

Gợi ý các bước:

a) Các vectơ đã nối đuôi nhau.
b) Đổi $\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}$ .

Bài 2.

Kiến thức: quy tắc trừ: $\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{YX}$ .

Gợi ý các bước:

Gộp $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ .
Gộp $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$ .

Bài 3.

Kiến thức: $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$ ; đặt hai vectơ chung điểm đầu trước khi đo góc.

Gợi ý các bước:

$AC=3\sqrt2$ và $\widehat{BAC}=45^\circ$ .
$\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$ .
$AA'$ vuông góc với mặt đáy, nên vuông góc với $BD$ .

Bài 4.

Kiến thức: góc của tam giác đều bằng $60^\circ$ ; $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ .
Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ bằng cách thay $\overrightarrow{CD}$ .

Bài 5.

Kiến thức: hợp lực là tổng ba vectơ lực; với ba vectơ đôi một vuông góc, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$ .

Gợi ý các bước:

Bình phương vô hướng tổng ba lực.
Các tích vô hướng chéo bằng $0$ .

Bài 6.

Kiến thức: quy tắc hình hộp; ba cạnh tại $A$ đôi một vuông góc, cùng độ dài $1$ ; biểu diễn mọi vectơ qua $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AA'}$ .

Gợi ý các bước:

b) Bình phương $\overrightarrow{AC'}$ .
c) $\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD'}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$ .
d) $\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}$ ; hai đường chéo của hình vuông vuông góc.

Bài 7.

Kiến thức: $\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ; quy tắc hình hộp.

Gợi ý các bước:

Viết $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$ .
Tính tích vô hướng và hai độ dài.

Bài 8.

Kiến thức: $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ $\iff$ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (lớp 10).

Gợi ý các bước:

Chèn điểm $G$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}$ , và tương tự.
Cộng ba đẳng thức.

Bài 9.

Kiến thức: chèn điểm $A$ : $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ ; tính phân phối của tích vô hướng.

Gợi ý các bước:

Đặt $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$ , $\vec{d}=\overrightarrow{AD}$ và viết mọi vectơ qua chúng.
Khai triển, các số hạng triệt tiêu từng cặp.
b) Hai tích đầu bằng $0$ .

Tự đánh giá

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

Làm lại các bài chưa đúng sau: ☐ 1 ngày ☐ 3 ngày ☐ 7 ngày

Quét mã để xem lời giải từng bước

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐

#	Tự làm được	Cần gợi ý	Chưa làm được
1	☐	☐	☐
2	☐	☐	☐
3	☐	☐	☐
4	☐	☐	☐
5	☐	☐	☐
6	☐	☐	☐
7	☐	☐	☐
8	☐	☐	☐
9	☐	☐	☐