Vectơ và các phép toán trong không gian

Một phòng học có dạng hình hộp chữ nhật dài $5$ m, rộng $4$ m, cao $3$ m. Người ta muốn căng một sợi dây trang trí thẳng từ một góc sàn đến góc trần đối diện xa nhất. Sợi dây đi theo hướng nào, và cần dài bao nhiêu mét?

Trong mặt phẳng, ta đã mô tả "đi theo hướng nào, bao xa" bằng vectơ. Bài này mang vectơ lên không gian ba chiều, và cuối bài ta sẽ tính được độ dài sợi dây chỉ bằng phép toán vectơ.

Vectơ trong không gian

Khám phá: ba đoạn đường thay cho một

Gọi phòng học là hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=5$ , $AD=4$ , $AA'=3$ (mét). Một con kiến đi từ $A$ đến $C'$ theo các cạnh: $5$ m dọc $AB$ , rồi $4$ m dọc $BC$ , rồi $3$ m lên theo $CC'$ . Sợi dây thì đi thẳng từ $A$ đến $C'$ .

Hai cách đi có cùng điểm đầu và cùng điểm cuối, nên cùng một sự dịch chuyển. Nếu ta mô tả mỗi đoạn đường bằng một mũi tên, thì mũi tên $AC'$ phải là "tổng" của ba mũi tên $AB$ , $BC$ , $CC'$ . Để nói điều đó chính xác, ta cần vectơ trong không gian.

Hình hộp

ABCD.A'B'C'D'

và đường chéo

AC'

Mọi khái niệm giống hệt trong mặt phẳng; chỉ khác là giờ các vectơ có thể nằm trên những mặt phẳng khác nhau.

Ví dụ Nhận ra vectơ bằng nhau trong hình hộp

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Kể tên các vectơ khác $\overrightarrow{AA'}$ , bằng $\overrightarrow{AA'}$ và có điểm đầu, điểm cuối là đỉnh của hình hộp. Làm tương tự với các vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ .

Lời giải. Bốn cạnh bên $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ , $DD'$ song song và bằng nhau. Ta chọn chiều đi từ đáy dưới lên đáy trên để cùng hướng với $\overrightarrow{AA'}$ :

$\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{DD'}.$

Các cạnh song song với $AB$ là $DC$ , $A'B'$ , $D'C'$ . Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ phải ngược hướng, tức đi "từ phải sang trái":

$\overrightarrow{BA},\quad \overrightarrow{CD},\quad \overrightarrow{B'A'},\quad \overrightarrow{C'D'}.$

Vậy có $3$ vectơ khác bằng $\overrightarrow{AA'}$ và $4$ vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ .

Tổng và hiệu của hai vectơ

Tổng của hai vectơ được định nghĩa như trong mặt phẳng: đặt nối đuôi rồi nối điểm đầu với điểm cuối. Hai vectơ đặt chung gốc luôn nằm trong một mặt phẳng, nên mọi quy tắc cũ vẫn đúng.

Vì sao quy tắc hình hộp đúng? Mặt $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ . Mặt $ACC'A'$ cũng là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ . Ghép hai đẳng thức là xong. Đây đúng là đường đi của con kiến: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}$ , vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}$ .

Ví dụ sau cho thấy cách "thay vectơ bằng vectơ bằng nó" để nối đuôi các vectơ.

Ví dụ Rút gọn tổng vectơ

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Rút gọn

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B'C'}+\overrightarrow{DD'}$ ; b) $\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}$ .

Lời giải. a) Ta thay hai vectơ sau bằng các vectơ bằng chúng sao cho nối đuôi với $\overrightarrow{AB}$ : $\overrightarrow{B'C'}=\overrightarrow{BC}$ , $\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}$ . Khi đó

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AC'}.$

b) Hai vectơ chung điểm đầu $A$ , nên theo quy tắc trừ, hiệu là vectơ đi từ điểm cuối của $\overrightarrow{AB}$ đến điểm cuối của $\overrightarrow{AD'}$ :

$\overrightarrow{AD'}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD'}.$

Vậy a) bằng $\overrightarrow{AC'}$ , b) bằng $\overrightarrow{BD'}$ .

Tích của một số với một vectơ

Với số $k\neq0$ và vectơ $\vec{a}\neq\vec{0}$ , vectơ $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k>0$ , ngược hướng nếu $k<0$ , và có độ dài $|k|\cdot|\vec{a}|$ . Các tính chất quen thuộc vẫn giữ nguyên, trong đó hai tính chất hay dùng nhất là:

Nếu $I$ là trung điểm của $AB$ thì với mọi điểm $M$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ .
Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ , và với mọi $M$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$ .

Trong không gian, các điểm không bắt buộc nằm trong một mặt phẳng, nên ta hay "đi vòng" qua những điểm đã biết.

Ví dụ Đoạn nối trung điểm hai cạnh đối của tứ diện

Cho tứ diện $ABCD$ . Gọi $M$ , $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\right).$

Lời giải. Ta đi từ $M$ đến $N$ theo hai đường vòng khác nhau, rồi cộng lại. Qua $A$ và $D$ , rồi qua $B$ và $C$ :

$\begin{aligned} \overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},\\ \overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}. \end{aligned}$

Cộng hai đẳng thức. Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$ ; tương tự $\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{CN}=\vec{0}$ :

$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.$

Chia hai vế cho $2$ ta được điều phải chứng minh.

Tứ diện

ABCD

và đoạn

MN

Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ

Để đo góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ (khác $\vec{0}$ ), ta lấy một điểm $O$ bất kì và vẽ $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ , $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ . Khi đó $(\vec{a}, \vec{b})=\widehat{AOB}$ , một góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ . Điều quan trọng là hai vectơ phải chung điểm đầu. Chẳng hạn trong hình hộp, $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$ nên $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{A'C'})=(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})=\widehat{BAC}$ .

Tích vô hướng có các tính chất như trong mặt phẳng: giao hoán, phân phối với phép cộng, và $\vec{a}^2=|\vec{a}|^2,\qquad \vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \cos(\vec{a}, \vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}.$

Bây giờ ta trả lời câu hỏi ở đầu bài. Các cạnh $AB$ , $AD$ , $AA'$ của hình hộp chữ nhật đôi một vuông góc, nên mọi tích vô hướng chéo bằng $0$ .

Ví dụ Độ dài sợi dây trang trí

Hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=5$ , $AD=4$ , $AA'=3$ (mét). Tính độ dài $AC'$ .

Lời giải. Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$ . Bình phương vô hướng hai vế, khai triển như bình phương một tổng ba số:

$AC'^2=AB^2+AD^2+AA'^2+2\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{AB}\right).$

Ba cạnh đôi một vuông góc nên ba tích vô hướng trong ngoặc đều bằng $0$ :

$AC'^2=25+16+9=50,\qquad AC'=\sqrt{50}=5\sqrt2\approx7{,}07.$

Vậy sợi dây dài khoảng $7{,}07$ m.

Cách làm trên dùng được cả khi các cạnh không vuông góc, miễn là ta biết các tích vô hướng. Ví dụ cuối dùng nó để tìm một góc trong hình lập phương.

Ví dụ Góc giữa hai đường chéo của hai mặt

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$ . Tính góc $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A'D})$ .

Lời giải. Ta biểu diễn hai vectơ qua ba cạnh $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AA'}$ (đôi một vuông góc, cùng độ dài $a$ ):

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD},\qquad \overrightarrow{A'D}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AA'}.$

Nhân phân phối; chỉ còn lại $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AD}=a^2$ vì các tích chéo bằng $0$ :

$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{A'D}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AD}^2-\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AA'}=a^2.$

Hai vectơ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$ , nên $AC=A'D=a\sqrt2$ :

$\cos(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A'D})=\frac{a^2}{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}=\frac12.$

Vậy $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A'D})=60^\circ$ .

Kiểm tra. Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{A'C'}$ , góc cần tìm là $\widehat{C'A'D}$ . Tam giác $A'C'D$ có ba cạnh đều là đường chéo của mặt, dài $a\sqrt2$ , nên là tam giác đều, và góc đó bằng $60^\circ$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Cộng độ dài thay cho cộng vectơ. Sai: $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}|=5+4+3=12$ . Vì sao sai: đó là quãng đường con kiến bò, không phải độ dời. Đúng: $|\overrightarrow{AC'}|=\sqrt{50}\approx7{,}07$ .
Đo góc khi hai vectơ chưa chung điểm đầu. Sai: trong hình vuông $ABCD$ , viết $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD})=\widehat{ABD}=45^\circ$ . Vì sao sai: $\widehat{ABD}$ là góc giữa $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BD}$ , mà $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ . Đúng: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BD})=180^\circ-45^\circ=135^\circ$ .
Sai hướng một cạnh trong quy tắc hình hộp. Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC'}$ . Vì sao sai: $\overrightarrow{A'A}=-\overrightarrow{AA'}$ , đi xuống chứ không đi lên. Đúng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{A'C}$ .
Coi tích vô hướng là vectơ. $\vec{a}\cdot\vec{b}$ là một số; viết $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ là sai.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
vectơ trong không gian	vector in space
hai vectơ bằng nhau	equal vectors
hai vectơ đối nhau	opposite vectors
vectơ-không	zero vector
quy tắc hình hộp	parallelepiped rule
tứ diện	tetrahedron
ba vectơ đồng phẳng	coplanar vectors
góc giữa hai vectơ	angle between two vectors
tích vô hướng	scalar product (dot product)

Tóm tắt

Vectơ, độ dài, vectơ bằng nhau, đối nhau trong không gian định nghĩa như trong mặt phẳng.
Quy tắc ba điểm, hình bình hành vẫn đúng; thêm quy tắc hình hộp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ .
Trung điểm $I$ của $AB$ : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$ ; trọng tâm $G$ : $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$ .
Góc giữa hai vectơ: đặt chung điểm đầu, góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ .
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$ ; $\vec{a}^2=|\vec{a}|^2$ ; $\vec{a}\perp\vec{b}\iff\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ .
Tính độ dài: biểu diễn vectơ qua các cạnh đã biết rồi bình phương vô hướng.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ . Rút gọn

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD'}$ ; b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{CC'}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy tắc ba điểm; quy tắc hình hộp; các cạnh song song cùng chiều cho vectơ bằng nhau.

Gợi ý các bước:

a) Các vectơ đã nối đuôi nhau.
b) Đổi $\overrightarrow{A'D'}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{CC'}=\overrightarrow{AA'}$ .

Xem lời giải

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{AD'}$ .

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ theo quy tắc hình hộp.

Đáp số. a) $\overrightarrow{AD'}$ ; b) $\overrightarrow{AC'}$ .

Bài 2

Cho tứ diện $ABCD$ . Rút gọn $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy tắc trừ: $\overrightarrow{OX}-\overrightarrow{OY}=\overrightarrow{YX}$ .

Gợi ý các bước:

Gộp $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ .
Gộp $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}$ .

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{BC}$ . Hai vectơ này đối nhau, nên tổng là $\vec{0}$ .

Đáp số. $\vec{0}$ .

Bài 3

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $3$ . Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{A'C'}$ và $\overrightarrow{AA'}\cdot\overrightarrow{BD}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$ ; đặt hai vectơ chung điểm đầu trước khi đo góc.

Gợi ý các bước:

$AC=3\sqrt2$ và $\widehat{BAC}=45^\circ$ .
$\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$ .
$AA'$ vuông góc với mặt đáy, nên vuông góc với $BD$ .

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=3\cdot3\sqrt2\cdot\cos45^\circ=3\cdot3\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=9.$ Vì $\overrightarrow{A'C'}=\overrightarrow{AC}$ nên tích thứ hai cũng bằng $9$ . Vì $AA'\perp BD$ nên tích thứ ba bằng $0$ .

Đáp số. $9$ ; $9$ ; $0$ .

Bài 4

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $2$ (mọi cạnh bằng $2$ , mọi mặt là tam giác đều). Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ , rồi chứng minh $AB\perp CD$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: góc của tam giác đều bằng $60^\circ$ ; $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ .
Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}$ bằng cách thay $\overrightarrow{CD}$ .

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot2\cdot\cos60^\circ=2$ , và tương tự $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=2$ . Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\cdot\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}\right)=2-2=0,$ nên $AB\perp CD$ .

Đáp số. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2$ ; $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0$ nên $AB\perp CD$ .

Bài 5

Ba người cùng kéo một thùng hàng đặt ở góc kho. Ba lực kéo có phương đôi một vuông góc (dọc hai bức tường và thẳng lên trên) với độ lớn $30$ N, $40$ N và $120$ N. Tính độ lớn của hợp lực.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hợp lực là tổng ba vectơ lực; với ba vectơ đôi một vuông góc, $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2=|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2$ .

Gợi ý các bước:

Bình phương vô hướng tổng ba lực.
Các tích vô hướng chéo bằng $0$ .

Xem lời giải

$|\vec{F}|^2=30^2+40^2+120^2=900+1600+14400=16900,\qquad |\vec{F}|=130.$

Đáp số. $130$ N.

Bài 6

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $1$ . Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$ .

b) $AC'=\sqrt3$ .

c) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD'}=1$ .

d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B'D'}$ bằng $90^\circ$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: quy tắc hình hộp; ba cạnh tại $A$ đôi một vuông góc, cùng độ dài $1$ ; biểu diễn mọi vectơ qua $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}$ , $\overrightarrow{AA'}$ .

Gợi ý các bước:

b) Bình phương $\overrightarrow{AC'}$ .
c) $\overrightarrow{CD'}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DD'}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}$ .
d) $\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}$ ; hai đường chéo của hình vuông vuông góc.

Xem lời giải

a) Đúng. Đây là quy tắc hình hộp.

b) Đúng. $AC'^2=1+1+1=3$ .

c) Sai. $\overrightarrow{AB}\cdot\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA'}\right)=-1+0=-1$ .

d) Đúng. $\overrightarrow{B'D'}=\overrightarrow{BD}$ và $AC\perp BD$ (hai đường chéo của hình vuông $ABCD$ ).

Đáp số. a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.

Bài 7

Một nhà kho có dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ với $AB=4$ m, $AD=3$ m, $AA'=4$ m. Tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AC}$ (đơn vị: độ, làm tròn đến hàng đơn vị).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\cos(\vec{a}, \vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ ; quy tắc hình hộp.

Gợi ý các bước:

Viết $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AC'}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}$ .
Tính tích vô hướng và hai độ dài.

Xem lời giải

Các tích chéo bằng $0$ , nên $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AC}=AB^2+AD^2=16+9=25,\qquad AC=5,\qquad AC'=\sqrt{16+9+16}=\sqrt{41}.$ $\cos(\overrightarrow{AC'}, \overrightarrow{AC})=\frac{25}{5\sqrt{41}}=\frac{5}{\sqrt{41}}\approx0{,}781,\quad\text{góc}\approx38{,}7^\circ.$

Đáp số. $39$ .

Bài 8

(Ôn lại Tích của vectơ với một số.) Cho tứ diện $ABCD$ và $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ . Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ $\iff$ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (lớp 10).

Gợi ý các bước:

Chèn điểm $G$ : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}$ , và tương tự.
Cộng ba đẳng thức.

Xem lời giải

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}+\left(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)=3\overrightarrow{AG}+\vec{0}=3\overrightarrow{AG}.$

Đáp số. Đẳng thức được chứng minh.

Bài 9 Thử thách

a) Chứng minh rằng với bốn điểm $A$ , $B$ , $C$ , $D$ bất kì: $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0.$ b) Tứ diện $ABCD$ có $AB\perp CD$ và $AC\perp BD$ . Chứng minh $AD\perp BC$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chèn điểm $A$ : $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$ ; tính phân phối của tích vô hướng.

Gợi ý các bước:

Đặt $\vec{b}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{c}=\overrightarrow{AC}$ , $\vec{d}=\overrightarrow{AD}$ và viết mọi vectơ qua chúng.
Khai triển, các số hạng triệt tiêu từng cặp.
b) Hai tích đầu bằng $0$ .

Xem lời giải

a) Với $\overrightarrow{CD}=\vec{d}-\vec{c}$ , $\overrightarrow{DB}=\vec{b}-\vec{d}$ , $\overrightarrow{BC}=\vec{c}-\vec{b}$ : $\vec{b}\cdot(\vec{d}-\vec{c})+\vec{c}\cdot(\vec{b}-\vec{d})+\vec{d}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=\vec{b}\cdot\vec{d}-\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{c}\cdot\vec{b}-\vec{c}\cdot\vec{d}+\vec{d}\cdot\vec{c}-\vec{d}\cdot\vec{b}=0.$ b) Hai tích đầu bằng $0$ theo giả thiết, nên $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ , tức $AD\perp BC$ .

Đáp số. a) Đẳng thức đúng với mọi bốn điểm; b) $AD\perp BC$ .

Vectơ trong không gian

Khám phá: ba đoạn đường thay cho một

Tổng và hiệu của hai vectơ

Tích của một số với một vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ

Góc giữa hai vectơ

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AA'}=0$ .	Đúng	Sai
b) $AC'=7$ .	Đúng	Sai
c) $\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{AB}=2$ .	Đúng	Sai
d) Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AC'}$ và $\overrightarrow{AA'}$ lớn hơn $35^\circ$ .	Đúng	Sai