Cung và dây của một đường tròn

Chiếc đồng hồ treo tường trong lớp có kim phút dài $15$ cm. Từ $7$ giờ đến $7$ giờ $20$ phút, đầu kim phút đi từ vị trí $A$ đến vị trí $B$ trên một cung tròn. Cung đó có số đo bao nhiêu độ? Đoạn thẳng $AB$ dài bao nhiêu?

Dây của đường tròn

Khám phá: dây nào dài nhất?

Trên đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ , nối hai điểm bất kì ta được một dây. Thử vài dây: dây cách tâm $4$ cm dài $6$ cm, dây cách tâm $3$ cm dài $8$ cm, dây đi qua tâm dài $10$ cm. Dây càng gần tâm càng dài, và dài nhất khi đi qua tâm.

Vì sao? Với dây $AB$ không đi qua tâm, xét tam giác $OAB$ ta có $AB<OA+OB=2R$ . Nếu $AB$ đi qua tâm thì $AB=2R$ .

Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (vì $OA=OB=R$ ). Do đó nếu $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $AB$ thì $H$ là trung điểm của $AB$ , và theo định lí Pythagore:

$AB=2HA=2\sqrt{R^2-OH^2}.$

Dây

AB

và khoảng cách

OH

từ tâm đến dây

Góc ở tâm và cung

Hai điểm $A$ , $B$ trên đường tròn chia đường tròn thành hai cung, kí hiệu chung là $\overset{\frown}{AB}$ . Để phân biệt, ta lấy thêm một điểm $M$ trên một cung và viết $\overset{\frown}{AMB}$ .

Góc ở tâm

\widehat{AOB}

chắn cung nhỏ

AB

Số đo cung

Nếu điểm $C$ nằm trên cung $AB$ thì $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}=\text{sđ}\,\overset{\frown}{AC}+\text{sđ}\,\overset{\frown}{CB}$ (vì góc ở tâm $\widehat{AOB}$ được chia thành hai góc).

Bây giờ ta trả lời câu hỏi về chiếc đồng hồ ở đầu bài.

Ví dụ Kim phút của đồng hồ

Kim phút $OA$ dài $15$ cm. Từ $7$ giờ đến $7$ giờ $20$ phút, đầu kim đi từ $A$ đến $B$ . Tính $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}$ (cung đầu kim đi qua) và độ dài $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải. Mỗi phút kim phút quay $\dfrac{360^\circ}{60}=6^\circ$ , nên trong $20$ phút kim quay $20\cdot6^\circ=120^\circ$ . Do đó $\widehat{AOB}=120^\circ$ và $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}=120^\circ$ .

Kẻ $OH\perp AB$ . Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $OH$ vừa là đường cao vừa là tia phân giác, suy ra $\widehat{AOH}=60^\circ$ . Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ , ta có

$HA=OA\cdot\sin60^\circ=15\cdot\frac{\sqrt3}{2},\qquad AB=2HA=15\sqrt3\approx25{,}98\ \text{(cm)}.$

Vậy cung có số đo $120^\circ$ và $AB\approx25{,}98$ cm.

Khi ba điểm chia đường tròn thành ba cung, ta dùng tính chất cộng số đo cung.

Ví dụ Ba cung của một đường tròn

Ba điểm $A$ , $B$ , $C$ chia đường tròn $(O)$ thành ba cung $AB$ , $BC$ , $CA$ không chứa điểm còn lại, với $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}=100^\circ$ , $\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}=140^\circ$ . Tính $\text{sđ}\,\overset{\frown}{CA}$ và số đo cung $ACB$ .

Lời giải. Ba cung ghép lại thành cả đường tròn, nên

$\text{sđ}\,\overset{\frown}{CA}=360^\circ-100^\circ-140^\circ=120^\circ,\qquad \text{sđ}\,\overset{\frown}{ACB}=\text{sđ}\,\overset{\frown}{BC}+\text{sđ}\,\overset{\frown}{CA}=260^\circ.$

Vậy $\text{sđ}\,\overset{\frown}{CA}=120^\circ$ và $\text{sđ}\,\overset{\frown}{ACB}=260^\circ$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
dây cung	chord
góc ở tâm	angle at the centre
cung	arc
cung nhỏ / cung lớn	minor arc / major arc
cung bị chắn	intercepted arc
nửa đường tròn	semicircle
số đo cung	measure of an arc

Tóm tắt

Dây nối hai điểm của đường tròn; đường kính là dây lớn nhất.
$OH\perp AB$ thì $H$ là trung điểm của $AB$ và $AB=2\sqrt{R^2-OH^2}$ .
Số đo cung nhỏ bằng góc ở tâm chắn nó; cung lớn bằng $360^\circ$ trừ cung nhỏ; nửa đường tròn $180^\circ$ .
$C$ nằm trên cung $AB$ thì $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}=\text{sđ}\,\overset{\frown}{AC}+\text{sđ}\,\overset{\frown}{CB}$ .

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Cho góc ở tâm $\widehat{AOB}=65^\circ$ . Tính số đo cung nhỏ $AB$ và cung lớn $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cung nhỏ bằng góc ở tâm; cung lớn bằng $360^\circ$ trừ cung nhỏ.

Gợi ý các bước:

Đọc số đo cung nhỏ, rồi lấy $360^\circ$ trừ đi.

Xem lời giải

Ta có $\text{sđ}\,\overset{\frown}{AB}_{\text{nhỏ}}=65^\circ$ , suy ra cung lớn có số đo $360^\circ-65^\circ=295^\circ$ .

Vậy cung nhỏ $65^\circ$ , cung lớn $295^\circ$ .

Đáp số. Cung nhỏ $65^\circ$ , cung lớn $295^\circ$ .

Bài 2

Cho đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ và dây $AB$ cách tâm $3$ cm. Tính $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $AB=2\sqrt{R^2-OH^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tính nửa dây $HA$ , rồi nhân đôi.

Xem lời giải

Kẻ $OH\perp AB$ , ta có $HA=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm), suy ra $AB=2HA=8$ cm.

Vậy $AB=8$ cm.

Đáp số. $AB=8$ cm.

Bài 3

Cho đường tròn $(O; 13\text{ cm})$ và dây $AB=24$ cm. Tính khoảng cách từ $O$ đến $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chân đường vuông góc $H$ là trung điểm của $AB$ .

Gợi ý các bước:

Tính $HA=12$ cm.
Dùng định lí Pythagore trong tam giác $OHA$ .

Xem lời giải

Kẻ $OH\perp AB$ , ta có $HA=\dfrac{24}{2}=12$ (cm). Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ , ta có $OH=\sqrt{13^2-12^2}=5$ (cm).

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $5$ cm.

Đáp số. $5$ cm.

Bài 4

Cho đường tròn $(O; R)$ và dây $AB=R$ . Tính số đo cung nhỏ $AB$ và cung lớn $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều.

Gợi ý các bước:

Chỉ ra tam giác $OAB$ đều, suy ra $\widehat{AOB}$ .

Xem lời giải

Ta có $OA=OB=AB=R$ nên tam giác $OAB$ đều, suy ra $\widehat{AOB}=60^\circ$ . Do đó cung nhỏ có số đo $60^\circ$ , cung lớn có số đo $300^\circ$ .

Vậy cung nhỏ $60^\circ$ , cung lớn $300^\circ$ .

Đáp số. Cung nhỏ $60^\circ$ , cung lớn $300^\circ$ .

Bài 5

Lúc $3$ giờ, Hà bắt đầu làm bài và làm xong lúc $3$ giờ $45$ phút. Trong thời gian đó, kim phút và kim giờ của đồng hồ quay được bao nhiêu độ?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mỗi phút kim phút quay $6^\circ$ ; mỗi giờ kim giờ quay $30^\circ$ .

Gợi ý các bước:

Nhân số phút với $6^\circ$ .
Kim giờ quay $\dfrac{45}{60}$ giờ.

Xem lời giải

Kim phút quay $45\cdot6^\circ=270^\circ$ . Kim giờ quay $\dfrac{45}{60}\cdot30^\circ=22{,}5^\circ$ .

Vậy kim phút quay $270^\circ$ , kim giờ quay $22{,}5^\circ$ .

Đáp số. Kim phút quay $270^\circ$ , kim giờ quay $22{,}5^\circ$ .

Bài 6

Cho đường tròn $(O; 8\text{ cm})$ và dây $AB$ với $\widehat{AOB}=120^\circ$ . Tính $AB$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). (Ôn lại tỉ số lượng giác của góc nhọn.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đường cao $OH$ của tam giác cân $OAB$ cũng là tia phân giác.

Gợi ý các bước:

Suy ra $\widehat{AOH}=60^\circ$ .
Tính $HA=OA\cdot\sin60^\circ$ , rồi nhân đôi.

Xem lời giải

Kẻ $OH\perp AB$ . Tam giác $OAB$ cân tại $O$ nên $\widehat{AOH}=60^\circ$ . Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ , ta có $HA=8\sin60^\circ=4\sqrt3$ (cm), suy ra $AB=8\sqrt3\approx13{,}86$ cm.

Vậy $AB\approx13{,}86$ cm.

Đáp số. $AB=8\sqrt3\approx13{,}86$ cm.

Bài 7

(1,5 điểm) Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ và dây $AB=16$ cm. Gọi $H$ là trung điểm của $AB$ .

a) Chứng minh rằng $OH\perp AB$ và tính $OH$ .

b) Tính số đo góc $\widehat{AOB}$ (làm tròn kết quả đến độ).

c) Tính số đo cung lớn $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trong tam giác cân, đường trung tuyến cũng là đường cao, đường phân giác.

Gợi ý các bước:

Dùng tam giác $OAB$ cân, rồi định lí Pythagore.
Tính $\tan\widehat{AOH}$ , suy ra $\widehat{AOB}=2\widehat{AOH}$ .
Lấy $360^\circ$ trừ số đo cung nhỏ.

Xem lời giải

a) Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OH$ là trung tuyến nên cũng là đường cao, do đó $OH\perp AB$ . Ta có $HA=8$ cm, suy ra $OH=\sqrt{10^2-8^2}=6$ (cm).

b) Xét tam giác $OHA$ vuông tại $H$ , ta có $\tan\widehat{AOH}=\dfrac{8}{6}$ , suy ra $\widehat{AOH}\approx53{,}13^\circ$ . Do $OH$ là tia phân giác nên $\widehat{AOB}\approx106{,}26^\circ\approx106^\circ$ .

c) Số đo cung lớn $AB$ là $360^\circ-106{,}26^\circ\approx254^\circ$ .

Vậy $OH=6$ cm, $\widehat{AOB}\approx106^\circ$ , cung lớn $AB$ khoảng $254^\circ$ .

Đáp số. a) $OH=6$ cm; b) $\widehat{AOB}\approx106^\circ$ ; c) khoảng $254^\circ$ .

Bài 8 Thử thách

Cho đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ và hai dây song song $AB=12$ cm, $CD=16$ cm. Tính khoảng cách giữa hai dây.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khoảng cách từ tâm đến dây là $\sqrt{R^2-\left(\frac{\text{dây}}{2}\right)^2}$ .

Gợi ý các bước:

Tính khoảng cách từ $O$ đến mỗi dây.
Xét hai trường hợp: hai dây cùng phía hoặc khác phía đối với $O$ .

Xem lời giải

Khoảng cách từ $O$ đến $AB$ là $\sqrt{10^2-6^2}=8$ (cm), đến $CD$ là $\sqrt{10^2-8^2}=6$ (cm). Hai dây song song nên các đường vuông góc từ $O$ cùng nằm trên một đường thẳng.

Nếu hai dây nằm cùng phía đối với $O$ , khoảng cách là $8-6=2$ (cm); nếu khác phía, khoảng cách là $8+6=14$ (cm).

Vậy khoảng cách giữa hai dây là $2$ cm hoặc $14$ cm.

Đáp số. $2$ cm hoặc $14$ cm.

a) $OH\perp AB$ .	Đúng	Sai
b) $OH=3$ cm.	Đúng	Sai
c) Cung nhỏ $AB$ có số đo $90^\circ$ .	Đúng	Sai
d) Đường tròn có một dây dài $11$ cm.	Đúng	Sai

Dây của đường tròn

Khám phá: dây nào dài nhất?

Góc ở tâm và cung

Số đo cung

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn