Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Nhà bác Lan có ba mảnh đất hình vuông nằm liền nhau trên một hàng, diện tích lần lượt là $12$ m², $27$ m² và $48$ m². Bác muốn làm hàng rào dọc theo cạnh phía trước của cả ba mảnh. Hàng rào dài bao nhiêu mét? Có viết được độ dài đúng thật gọn không?

Ba mảnh đất hình vuông xếp liền nhau

Ba cạnh là $\sqrt{12}$ , $\sqrt{27}$ và $\sqrt{48}$ m. Không có quy tắc cộng các căn, nhưng ta có thể biến đổi để chúng có chung một "phần căn".

Đưa thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn

Khám phá

Ta tách mỗi số dưới dấu căn thành tích của một số chính phương với một số khác, rồi dùng $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ :

$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt3,\qquad \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt3,\qquad \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3.$

Ba căn bây giờ là các bội của cùng một số $\sqrt3$ . Ta gọi chúng là các căn thức đồng dạng, và cộng được như cộng các đơn thức đồng dạng.

Công thức thứ nhất đúng vì $\sqrt{A^2B}=\sqrt{A^2}\cdot\sqrt B=|A|\sqrt B$ . Công thức thứ hai là đọc ngược công thức thứ nhất; khi $A<0$ thì số $A\sqrt B$ âm, nên phải giữ dấu trừ bên ngoài.

Khi dưới dấu căn có chữ, nhớ rằng $\sqrt{A^2}=|A|$ nên phải xét dấu của $A$ .

Đưa thừa số vào trong dấu căn giúp so sánh hai số mà không cần máy tính.

Khử mẫu và trục căn thức ở mẫu

Những số như $\dfrac{6}{\sqrt3}$ khó ước lượng vì mẫu là số vô tỉ. Ta biến đổi để mẫu không còn căn.

Định lí Các phép biến đổi

Khử mẫu của biểu thức lấy căn: $\sqrt{\dfrac AB}=\dfrac{\sqrt{AB}}{|B|}$ với $AB\ge0$ , $B\neq0$ .
Trục căn thức ở mẫu: $\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}$ với $B>0$ .
Với $A\ge0$ , $A\neq B^2$ : $\dfrac{C}{\sqrt A+B}=\dfrac{C\left(\sqrt A-B\right)}{A-B^2}$ và $\dfrac{C}{\sqrt A-B}=\dfrac{C\left(\sqrt A+B\right)}{A-B^2}$ .
Với $A$ , $B\ge0$ , $A\neq B$ : $\dfrac{C}{\sqrt A+\sqrt B}=\dfrac{C\left(\sqrt A-\sqrt B\right)}{A-B}$ và $\dfrac{C}{\sqrt A-\sqrt B}=\dfrac{C\left(\sqrt A+\sqrt B\right)}{A-B}$ .

Ý tưởng chung: nhân cả tử và mẫu với một biểu thức để mẫu thành hằng đẳng thức $(m+n)(m-n)=m^2-n^2$ , trong đó bình phương làm mất căn. Hai biểu thức $\sqrt A+\sqrt B$ và $\sqrt A-\sqrt B$ gọi là hai biểu thức liên hợp.

Ví dụ Trục căn thức ở mẫu

Trục căn thức ở mẫu: a) $\dfrac{6}{\sqrt3}$ ; b) $\dfrac{4}{\sqrt5-1}$ ; c) $\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt5}$ .

Lời giải. Ở câu a, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt3$ ; ở câu b và c, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. Ta có

$\begin{aligned} \text{a) }& \frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3;\\ \text{b) }& \frac{4}{\sqrt5-1}=\frac{4\left(\sqrt5+1\right)}{5-1}=\sqrt5+1;\\ \text{c) }& \frac{1}{\sqrt7+\sqrt5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{7-5}=\frac{\sqrt7-\sqrt5}{2}. \end{aligned}$

Vậy a) $2\sqrt3$ ; b) $\sqrt5+1$ ; c) $\dfrac{\sqrt7-\sqrt5}{2}$ .

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài rút gọn trong đề thi vào lớp 10 thường đi theo các bước: tìm điều kiện xác định, phân tích tử và mẫu thành nhân tử, quy đồng và thu gọn.

Ví dụ Rút gọn một biểu thức chứa

\sqrt x

Rút gọn $A=\dfrac{x-\sqrt x}{\sqrt x-1}+\dfrac{x-4}{\sqrt x+2}$ với $x\ge0$ , $x\neq1$ .

Lời giải. Vì $x\ge0$ nên $x=\left(\sqrt x\right)^2$ . Do đó $x-\sqrt x=\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)$ và $x-4=\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)$ . Ta có

$A=\frac{\sqrt x\left(\sqrt x-1\right)}{\sqrt x-1}+\frac{\left(\sqrt x-2\right)\left(\sqrt x+2\right)}{\sqrt x+2}=\sqrt x+\sqrt x-2=2\sqrt x-2.$

Vậy $A=2\sqrt x-2$ với $x\ge0$ , $x\neq1$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Cộng các căn không đồng dạng. Sai: $\sqrt2+\sqrt3=\sqrt5$ . Lí do sai: căn không cộng qua dấu cộng. Đúng: $\sqrt2+\sqrt3$ đã gọn; chỉ cộng được $a\sqrt3+b\sqrt3=(a+b)\sqrt3$ .
Đưa số âm vào trong dấu căn. Sai: $-2\sqrt3=\sqrt{12}$ . Lí do sai: vế trái âm, vế phải dương. Đúng: $-2\sqrt3=-\sqrt{12}$ .
Nhân liên hợp chỉ ở mẫu. Sai: $\dfrac{4}{\sqrt5-1}=\dfrac{4}{4}=1$ . Lí do sai: nhân mẫu với $\sqrt5+1$ thì phải nhân cả tử. Đúng: $\dfrac{4\left(\sqrt5+1\right)}{4}=\sqrt5+1$ .
Quên điều kiện khi rút gọn. Sai: rút gọn $\dfrac{x-\sqrt x}{\sqrt x-1}$ mà không ghi $x\neq1$ . Lí do sai: tại $x=1$ mẫu bằng $0$ . Đúng: ghi rõ $x\ge0$ , $x\neq1$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
đưa thừa số ra ngoài dấu căn	take a factor outside the square root
đưa thừa số vào trong dấu căn	move a factor inside the square root
căn thức đồng dạng	like surds
khử mẫu của biểu thức lấy căn	remove the denominator under the root sign
trục căn thức ở mẫu	rationalise the denominator
biểu thức liên hợp	conjugate
rút gọn	simplify
phân tích thành nhân tử	factorise

Tóm tắt

$\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt B$ ( $B\ge0$ ): tách ra một bình phương rồi đưa ra ngoài.
$A\sqrt B=\sqrt{A^2B}$ khi $A\ge0$ ; $A\sqrt B=-\sqrt{A^2B}$ khi $A<0$ . Dùng để so sánh.
Căn đồng dạng: $a\sqrt c+b\sqrt c=(a+b)\sqrt c$ .
$\dfrac{A}{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}{B}$ ; với mẫu $\sqrt A\pm B$ hoặc $\sqrt A\pm\sqrt B$ , nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
Rút gọn: điều kiện xác định → phân tích nhân tử → quy đồng → thu gọn → kiểm tra bằng một giá trị.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: a) $\sqrt{75}$ ; b) $\sqrt{200}$ ; c) $\sqrt{28a^2}$ với $a<0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sqrt{A^2B}=|A|\sqrt B$ .

Gợi ý các bước:

Tìm số chính phương lớn nhất là ước của số dưới dấu căn.
Đưa căn của nó ra ngoài; với chữ, xét dấu.

Xem lời giải

a) $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt3$ . b) $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt2$ . c) $\sqrt{28a^2}=\sqrt{(2a)^2\cdot7}=2|a|\sqrt7=-2a\sqrt7$ (vì $a<0$ ).

Đáp số. a) $5\sqrt3$ ; b) $10\sqrt2$ ; c) $-2a\sqrt7$ .

Bài 2

Tính $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt5$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đưa ra ngoài dấu căn để được các căn đồng dạng.

Gợi ý các bước:

Viết $\sqrt{20}=2\sqrt5$ , $\sqrt{45}=3\sqrt5$ .
Cộng, trừ các hệ số.

Xem lời giải

Ta có $\sqrt{20}-\sqrt{45}+3\sqrt5=2\sqrt5-3\sqrt5+3\sqrt5=2\sqrt5$ .

Đáp số. $2\sqrt5$ .

Bài 3

a) So sánh $4\sqrt3$ và $3\sqrt5$ .

b) Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: $2\sqrt7$ , $3\sqrt3$ , $4\sqrt2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: với $A\ge0$ , $A\sqrt B=\sqrt{A^2B}$ .

Gợi ý các bước:

Đưa hệ số vào trong dấu căn.
So sánh các số dưới dấu căn.

Xem lời giải

a) Ta có $4\sqrt3=\sqrt{48}$ và $3\sqrt5=\sqrt{45}$ . Vì $48>45$ nên $4\sqrt3>3\sqrt5$ .

b) Ta có $2\sqrt7=\sqrt{28}$ , $3\sqrt3=\sqrt{27}$ , $4\sqrt2=\sqrt{32}$ . Vì $27<28<32$ nên $3\sqrt3<2\sqrt7<4\sqrt2$ .

Đáp số. a) $4\sqrt3>3\sqrt5$ ; b) $3\sqrt3<2\sqrt7<4\sqrt2$ .

Bài 4

Trục căn thức ở mẫu: a) $\dfrac{10}{\sqrt5}$ ; b) $\dfrac{2}{\sqrt3+1}$ ; c) $\dfrac{4}{\sqrt7-\sqrt3}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\dfrac A{\sqrt B}=\dfrac{A\sqrt B}B$ ; nhân với biểu thức liên hợp của mẫu.

Gợi ý các bước:

Chọn biểu thức để nhân cả tử và mẫu.
Tính mẫu bằng hằng đẳng thức, rồi rút gọn.

Xem lời giải

a) $\dfrac{10}{\sqrt5}=\dfrac{10\sqrt5}{5}=2\sqrt5$ . b) $\dfrac{2}{\sqrt3+1}=\dfrac{2\left(\sqrt3-1\right)}{3-1}=\sqrt3-1$ . c) $\dfrac{4}{\sqrt7-\sqrt3}=\dfrac{4\left(\sqrt7+\sqrt3\right)}{7-3}=\sqrt7+\sqrt3$ .

Đáp số. a) $2\sqrt5$ ; b) $\sqrt3-1$ ; c) $\sqrt7+\sqrt3$ .

Bài 5

Khử mẫu của biểu thức lấy căn: a) $\sqrt{\dfrac23}$ ; b) $\sqrt{\dfrac58}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sqrt{\dfrac AB}=\dfrac{\sqrt{AB}}{|B|}$ .

Gợi ý các bước:

Nhân tử và mẫu dưới dấu căn để mẫu thành số chính phương.
Khai căn mẫu.

Xem lời giải

a) $\sqrt{\dfrac23}=\sqrt{\dfrac{2\cdot3}{3^2}}=\dfrac{\sqrt6}{3}$ . b) $\sqrt{\dfrac58}=\sqrt{\dfrac{5\cdot2}{16}}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}$ .

Đáp số. a) $\dfrac{\sqrt6}3$ ; b) $\dfrac{\sqrt{10}}4$ .

Bài 6

Tính $\left(\sqrt{12}+\sqrt{27}\right)\cdot\sqrt3$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ (xem khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia).

Gợi ý các bước:

Nhân phân phối.
Gộp thành một căn rồi khai căn.

Xem lời giải

Ta có $\left(\sqrt{12}+\sqrt{27}\right)\cdot\sqrt3=\sqrt{36}+\sqrt{81}=6+9=15$ .

Đáp số. $15$ .

Bài 7

Ba mảnh vườn hình vuông có diện tích $18$ m², $32$ m² và $50$ m² được xếp liền nhau thành một hàng. Tính tổng độ dài ba cạnh nằm trên hàng đó: viết dạng gọn, rồi làm tròn đến hàng phần trăm.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cạnh hình vuông diện tích $S$ là $\sqrt S$ ; đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Gợi ý các bước:

Viết ba cạnh dưới dạng $a\sqrt2$ .
Cộng, rồi bấm máy.

Xem lời giải

Ba cạnh dài $\sqrt{18}$ m, $\sqrt{32}$ m và $\sqrt{50}$ m. Do đó tổng độ dài là $\sqrt{18}+\sqrt{32}+\sqrt{50}=3\sqrt2+4\sqrt2+5\sqrt2=12\sqrt2\approx16{,}97$ (m).

Đáp số. $12\sqrt2$ m, khoảng $16{,}97$ m.

Bài 8

Rút gọn biểu thức $B=\dfrac{a\sqrt b+b\sqrt a}{\sqrt a+\sqrt b}$ với $a>0$ , $b>0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $a=\left(\sqrt a\right)^2$ với $a\ge0$ ; đặt nhân tử chung.

Gợi ý các bước:

Viết tử thành $\sqrt a\sqrt b\left(\sqrt a+\sqrt b\right)$ .
Rút gọn với mẫu.

Xem lời giải

Vì $a>0$ , $b>0$ nên $a\sqrt b+b\sqrt a=\sqrt a\sqrt b\left(\sqrt a+\sqrt b\right)$ . Do đó $B=\dfrac{\sqrt a\sqrt b\left(\sqrt a+\sqrt b\right)}{\sqrt a+\sqrt b}=\sqrt{ab}$ .

Đáp số. $B=\sqrt{ab}$ .

Bài 9

Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt x}{\sqrt x-3}-\dfrac{3}{\sqrt x+3}$ .

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức $P$ .

b) Rút gọn $P$ .

c) Tính giá trị của $P$ khi $x=36$ .

d) Tìm $x$ để $P=2$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mẫu chung $\left(\sqrt x-3\right)\left(\sqrt x+3\right)=x-9$ .

Gợi ý các bước:

Cần $x\ge0$ và $\sqrt x\neq3$ .
Quy đồng, thu gọn tử.
Thay $x=36$ ; giải phương trình ở câu d và đối chiếu điều kiện.

Xem lời giải

a) Điều kiện xác định: $x\ge0$ và $\sqrt x\neq3$ , tức là $x\ge0$ , $x\neq9$ .

b) Với $x\ge0$ , $x\neq9$ , ta có $P=\dfrac{\sqrt x\left(\sqrt x+3\right)-3\left(\sqrt x-3\right)}{x-9}=\dfrac{x+3\sqrt x-3\sqrt x+9}{x-9}=\dfrac{x+9}{x-9}$ .

c) Thay $x=36$ (thoả mãn điều kiện) vào $P$ , ta được $P=\dfrac{36+9}{36-9}=\dfrac{45}{27}=\dfrac53$ .

d) Ta có $P=2\iff\dfrac{x+9}{x-9}=2\iff x+9=2(x-9)\iff x=27$ (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. a) $x\ge0$ , $x\neq9$ ; b) $P=\dfrac{x+9}{x-9}$ ; c) $\dfrac53$ ; d) $x=27$ .

Bài 10 Thử thách

Tính $C=\sqrt{4-2\sqrt3}+\sqrt{4+2\sqrt3}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\left(\sqrt3\pm1\right)^2=4\pm2\sqrt3$ và $\sqrt{A^2}=|A|$ .

Gợi ý các bước:

Viết $4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2$ và $4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2$ .
Bỏ căn, xét dấu $\sqrt3-1$ .

Xem lời giải

Ta có $4-2\sqrt3=\left(\sqrt3-1\right)^2$ và $4+2\sqrt3=\left(\sqrt3+1\right)^2$ . Do đó $C=\left|\sqrt3-1\right|+\left|\sqrt3+1\right|$ . Vì $\sqrt3>1$ nên $C=\left(\sqrt3-1\right)+\left(\sqrt3+1\right)=2\sqrt3$ .

Đáp số. $C=2\sqrt3$ .

Đưa thừa số ra ngoài và vào trong dấu căn

Khám phá

Khử mẫu và trục căn thức ở mẫu

Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $\sqrt{50}=5\sqrt2$ .	Đúng	Sai
b) $A=\sqrt{40}$ .	Đúng	Sai
c) $A\cdot\sqrt2=8$ .	Đúng	Sai
d) $\dfrac1A=\dfrac{\sqrt2}{8}$ .	Đúng	Sai