Lemonmath
English

Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 3.1 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Bác Hùng muốn lát gạch một sân phơi hình vuông có diện tích 4949 m². Cạnh sân dài bao nhiêu mét? Nếu sân có diện tích 5050 m² thì cạnh dài bao nhiêu?

Câu hỏi thứ nhất dễ: 7⋅7=497\cdot7=49, nên cạnh dài 77 m. Câu hỏi thứ hai cần một số mà bình phương lên được 5050. Bài này giúp ta gọi tên, viết và tính những số như vậy.

Căn bậc hai của một số không âm

Khám phá: số nào bình phương lên bằng 1616?

Ta thử bình phương vài số:

xx −5-5 −4-4 −3-3 00 33 44 55
x2x^2 2525 1616 99 00 99 1616 2525

Có hai số bình phương bằng 1616 là 44 và −4-4. Chỉ có một số bình phương bằng 00 là 00. Không có số nào bình phương bằng −9-9, vì bình phương của mọi số đều không âm.

Hình dưới cho thấy vì sao số dương có hai căn bậc hai: đường thẳng y=5y=5 cắt đồ thị y=x2y=x^2 tại hai điểm có hoành độ đối nhau.

-3-2-11232468xyO-√5√5
Hai căn bậc hai của 55

Với số như 5050, không có số hữu tỉ nào bình phương bằng 5050. Khi đó ta dùng máy tính cầm tay để lấy giá trị gần đúng.

Để so sánh hai căn bậc hai số học, ta dùng tính chất: với aa, bb không âm, a<b  ⟺  a<ba<b \iff \sqrt{a}<\sqrt{b}. Chẳng hạn 50<64=8\sqrt{50}<\sqrt{64}=8.

Hằng đẳng thức A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A|

Ta có 32=9=3\sqrt{3^2}=\sqrt9=3. Nhưng (−3)2=9=3\sqrt{(-3)^2}=\sqrt9=3, không phải −3-3. Kết quả luôn là số không âm, đúng bằng giá trị tuyệt đối.

Vì sao? Số ∣a∣|a| không âm và ∣a∣2=a2|a|^2=a^2. Vậy ∣a∣|a| chính là căn bậc hai số học của a2a^2.

Căn thức bậc hai

Trong thực tế, ta thường gặp căn của một biểu thức chứa chữ. Chẳng hạn, một hòn sỏi rơi tự do từ độ cao hh mét chạm đất sau khoảng t=h5t=\sqrt{\dfrac{h}{5}} giây.

Độ cao gấp hơn hai lần nhưng thời gian rơi chỉ tăng thêm 11 giây.

Tìm điều kiện xác định chính là giải một bất phương trình bậc nhất một ẩn, như ở bài bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Khi biểu thức lấy căn là một bình phương, ta bỏ căn nhờ giá trị tuyệt đối, rồi dùng điều kiện đã cho để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • xx là căn bậc hai của a≥0a\ge0 khi x2=ax^2=a. Số dương aa có hai căn bậc hai ±a\pm\sqrt{a}; số 00 có một; số âm không có.
  • a\sqrt{a} là căn bậc hai số học: a≥0\sqrt{a}\ge0 và (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a.
  • Với aa, b≥0b\ge0: a<b  ⟺  a<ba<b\iff\sqrt{a}<\sqrt{b}.
  • A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A|: bằng AA khi A≥0A\ge0, bằng −A-A khi A<0A<0.
  • A\sqrt{A} xác định   ⟺  A≥0\iff A\ge0.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tìm các căn bậc hai của: a) 121121; b) 0,490{,}49; c) 2536\dfrac{25}{36}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: số dương aa có hai căn bậc hai là a\sqrt{a} và −a-\sqrt{a}.

Gợi ý các bước:

  1. Tìm số dương có bình phương bằng số đã cho.
  2. Viết thêm số đối của nó.
Xem lời giải

Ta có 112=12111^2=121, 0,72=0,490{,}7^2=0{,}49, (56)2=2536\left(\dfrac56\right)^2=\dfrac{25}{36}.

Đáp số. a) ±11\pm11; b) ±0,7\pm0{,}7; c) ±56\pm\dfrac56.

Bài 2

Tính: a) 0,64+1,21\sqrt{0{,}64}+\sqrt{1{,}21}; b) (7)2−(−6)2\left(\sqrt7\right)^2-\sqrt{(-6)^2}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a với a≥0a\ge0; a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a|.

Gợi ý các bước:

  1. Khai căn từng số.
  2. Cộng hoặc trừ.
Xem lời giải

a) Ta có 0,64+1,21=0,8+1,1=1,9\sqrt{0{,}64}+\sqrt{1{,}21}=0{,}8+1{,}1=1{,}9.

b) Ta có (7)2−(−6)2=7−∣−6∣=7−6=1\left(\sqrt7\right)^2-\sqrt{(-6)^2}=7-|-6|=7-6=1.

Đáp số. a) 1,91{,}9; b) 11.

Bài 3

So sánh: a) 66 và 35\sqrt{35}; b) 10−1\sqrt{10}-1 và 22.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: với aa, b≥0b\ge0: a<b  ⟺  a<ba<b\iff\sqrt{a}<\sqrt{b}.

Gợi ý các bước:

  1. Viết số nguyên dưới dạng căn: 6=366=\sqrt{36}, 3=93=\sqrt9.
  2. So sánh hai số dưới dấu căn.
Xem lời giải

a) Ta có 6=366=\sqrt{36}. Vì 36>3536>35 nên 36>35\sqrt{36}>\sqrt{35}, do đó 6>356>\sqrt{35}.

b) Ta có 3=93=\sqrt9. Vì 10>910>9 nên 10>3\sqrt{10}>3. Suy ra 10−1>2\sqrt{10}-1>2.

Đáp số. a) 6>356>\sqrt{35}; b) 10−1>2\sqrt{10}-1>2.

Bài 4

Tìm điều kiện của xx để mỗi căn thức xác định: a) 3x−12\sqrt{3x-12}; b) 7−2x\sqrt{7-2x}; c) x2+4\sqrt{x^2+4}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: A\sqrt{A} xác định khi A≥0A\ge0.

Gợi ý các bước:

  1. Viết bất phương trình A≥0A\ge0.
  2. Giải; nhớ đổi chiều khi chia cho số âm.
Xem lời giải

a) 3x−12\sqrt{3x-12} xác định khi 3x−12≥0  ⟺  3x≥12  ⟺  x≥43x-12\ge0\iff 3x\ge12\iff x\ge4.

b) 7−2x\sqrt{7-2x} xác định khi 7−2x≥0  ⟺  −2x≥−7  ⟺  x≤3,57-2x\ge0\iff -2x\ge-7\iff x\le3{,}5.

c) Vì x2+4≥4>0x^2+4\ge4>0 với mọi xx nên x2+4\sqrt{x^2+4} xác định với mọi xx.

Đáp số. a) x≥4x\ge4; b) x≤3,5x\le3{,}5; c) mọi xx.

Bài 5

Rút gọn các biểu thức sau: a) (3−1)2\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}; b) (3−11)2\sqrt{\left(3-\sqrt{11}\right)^2}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A|.

Gợi ý các bước:

  1. Xét dấu số bên trong (so sánh 3\sqrt3 với 11, 11\sqrt{11} với 33).
  2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Xem lời giải

a) Vì 3>1=1\sqrt3>\sqrt1=1 nên 3−1>0\sqrt3-1>0. Do đó (3−1)2=∣3−1∣=3−1\sqrt{\left(\sqrt3-1\right)^2}=\left|\sqrt3-1\right|=\sqrt3-1.

b) Vì 11>9=3\sqrt{11}>\sqrt9=3 nên 3−11<03-\sqrt{11}<0. Do đó (3−11)2=∣3−11∣=11−3\sqrt{\left(3-\sqrt{11}\right)^2}=\left|3-\sqrt{11}\right|=\sqrt{11}-3.

Đáp số. a) 3−1\sqrt3-1; b) 11−3\sqrt{11}-3.

Bài 6

Một tấm thảm hình vuông có diện tích 3030 m². Tính chu vi tấm thảm (làm tròn đến hàng phần mười).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hình vuông diện tích SS có cạnh S\sqrt{S}.

Gợi ý các bước:

  1. Cạnh là 30\sqrt{30} m.
  2. Chu vi bằng 44 lần cạnh; bấm máy rồi làm tròn ở bước cuối.
Xem lời giải

Cạnh tấm thảm dài 30\sqrt{30} m. Do đó chu vi tấm thảm là 430≈21,94\sqrt{30}\approx21{,}9 (m).

Đáp số. Khoảng 21,921{,}9 m.

Bài 7

Dùng công thức t=h5t=\sqrt{\dfrac{h}{5}} (giây) cho vật rơi tự do từ độ cao hh mét.

a) Một quả bóng rơi từ độ cao 8080 m. Sau bao lâu nó chạm đất?

b) Một viên bi rơi mất đúng 2,52{,}5 giây. Viên bi được thả từ độ cao bao nhiêu?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: t=h5  ⟺  t2=h5  ⟺  h=5t2t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}\iff t^2=\dfrac{h}{5}\iff h=5t^2 (với t≥0t\ge0).

Gợi ý các bước:

  1. Câu a: thay h=80h=80.
  2. Câu b: dùng h=5t2h=5t^2.
Xem lời giải

a) Thay h=80h=80 vào công thức, ta được t=805=16=4t=\sqrt{\dfrac{80}{5}}=\sqrt{16}=4.

b) Từ t=h5t=\sqrt{\dfrac h5} suy ra h=5t2=5⋅2,52=31,25h=5t^2=5\cdot2{,}5^2=31{,}25.

Đáp số. a) 44 giây; b) 31,2531{,}25 m.

Bài 8

Rút gọn biểu thức Q=x2−6x+9−xQ=\sqrt{x^2-6x+9}-x với x≥3x\ge3.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hằng đẳng thức (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 (lớp 8) và A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A|.

Gợi ý các bước:

  1. Viết x2−6x+9=(x−3)2x^2-6x+9=(x-3)^2.
  2. Với x≥3x\ge3, ∣x−3∣=x−3|x-3|=x-3.
Xem lời giải

Ta có Q=(x−3)2−x=∣x−3∣−xQ=\sqrt{(x-3)^2}-x=|x-3|-x. Vì x≥3x\ge3 nên ∣x−3∣=x−3|x-3|=x-3. Do đó Q=x−3−x=−3Q=x-3-x=-3.

Đáp số. Q=−3Q=-3.

Bài 9

Cho biểu thức A=4x−8A=\sqrt{4x-8}.

a) Tìm điều kiện xác định của AA.

b) Tính giá trị của AA khi x=6x=6.

c) Tìm xx để A=6A=6.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: B\sqrt{B} xác định khi B≥0B\ge0; với c≥0c\ge0, B=c  ⟺  B=c2\sqrt{B}=c\iff B=c^2.

Gợi ý các bước:

  1. Giải 4x−8≥04x-8\ge0.
  2. Thay x=6x=6.
  3. Giải 4x−8=364x-8=36 và đối chiếu điều kiện.
Xem lời giải

a) AA xác định khi 4x−8≥0  ⟺  x≥24x-8\ge0\iff x\ge2.

b) Thay x=6x=6 (thoả mãn điều kiện) vào AA, ta được A=24−8=16=4A=\sqrt{24-8}=\sqrt{16}=4.

c) Ta có A=6  ⟺  4x−8=36  ⟺  x=11A=6\iff 4x-8=36\iff x=11 (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. a) x≥2x\ge2; b) A=4A=4; c) x=11x=11.

Bài 10 Thử thách

Tìm xx, biết x2=2x−3\sqrt{x^2}=2x-3.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x2=∣x∣≥0\sqrt{x^2}=|x|\ge0, nên vế phải cũng phải không âm.

Gợi ý các bước:

  1. Điều kiện: 2x−3≥02x-3\ge0, tức x≥1,5x\ge1{,}5.
  2. Khi đó x>0x>0 nên ∣x∣=x|x|=x; giải x=2x−3x=2x-3.
Xem lời giải

Vì x2=∣x∣≥0\sqrt{x^2}=|x|\ge0 nên cần 2x−3≥02x-3\ge0, tức là x≥1,5x\ge1{,}5. Khi đó x>0x>0 nên ∣x∣=x|x|=x. Suy ra x=2x−3  ⟺  x=3x=2x-3\iff x=3 (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. x=3x=3.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Căn bậc hai số học của 4949 là
Câu 2. (−8)2\sqrt{(-8)^2} bằng
Câu 3. Căn thức 6−3x\sqrt{6-3x} xác định khi
Câu 4. (5−3)2\sqrt{\left(\sqrt5-3\right)^2} bằng

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho biểu thức A=2x+10A=\sqrt{2x+10}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) AA xác định khi x≥−5x\ge-5.
b) Khi x=3x=3 thì A=4A=4.
c) Khi x=−3x=-3 thì A=−2A=-2.
d) A=0A=0 khi x=5x=5.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính 0,81+(−1,2)2\sqrt{0{,}81}+\sqrt{(-1{,}2)^2}.

Câu 2. Thời gian tt (giây) để một vật rơi tự do từ độ cao hh mét chạm đất được tính bởi công thức t=h5t=\sqrt{\dfrac{h}{5}}. Một vật rơi tự do từ độ cao 61,2561{,}25 m. Hỏi sau bao nhiêu giây vật chạm đất?

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: A. Ta có 7≥07\ge0 và 72=497^2=49 nên căn bậc hai số học của 4949 là 77. Phương án C là các căn bậc hai của 4949, còn D lấy 4949 chia 22.
  2. Phần I, câu 2: B. Ta có (−8)2=∣−8∣=8\sqrt{(-8)^2}=|-8|=8. Phương án A quên giá trị tuyệt đối, C quên khai căn.
  3. Phần I, câu 3: B. Căn thức xác định khi 6−3x≥0  ⟺  −3x≥−6  ⟺  x≤26-3x\ge0\iff -3x\ge-6\iff x\le2 (chia hai vế cho −3-3 thì đổi chiều). Phương án A quên đổi chiều.
  4. Phần I, câu 4: B. Vì 5<9=3\sqrt5<\sqrt9=3 nên 5−3<0\sqrt5-3<0. Do đó (5−3)2=∣5−3∣=3−5\sqrt{\left(\sqrt5-3\right)^2}=\left|\sqrt5-3\right|=3-\sqrt5. Phương án A quên xét dấu, D bình phương thay vì khai căn.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. a) Đúng. AA xác định khi 2x+10≥0  ⟺  x≥−52x+10\ge0\iff x\ge-5. b) Đúng. Khi x=3x=3 ta có A=16=4A=\sqrt{16}=4. c) Sai. Khi x=−3x=-3 ta có A=4=2A=\sqrt4=2 (căn bậc hai số học không âm). d) Sai. Ta có A=0  ⟺  2x+10=0  ⟺  x=−5A=0\iff 2x+10=0\iff x=-5.
  6. Phần III, câu 1: 2,1. Ta có 0,81=0,9\sqrt{0{,}81}=0{,}9 và (−1,2)2=∣−1,2∣=1,2\sqrt{(-1{,}2)^2}=|-1{,}2|=1{,}2. Do đó tổng bằng 0,9+1,2=2,10{,}9+1{,}2=2{,}1.
  7. Phần III, câu 2: 3,5. Thay h=61,25h=61{,}25 vào công thức, ta được t=61,255=12,25=3,5t=\sqrt{\dfrac{61{,}25}{5}}=\sqrt{12{,}25}=3{,}5 (giây).