Lemonmath
English

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1.2 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Ở căng tin trường, bạn Mai mua 22 cốc trà sữa và 11 chiếc bánh hết 6565 nghìn đồng. Bạn Tú mua 11 cốc trà sữa và 11 chiếc bánh hết 4040 nghìn đồng. Mỗi cốc trà sữa giá bao nhiêu, mỗi chiếc bánh giá bao nhiêu?

Đặt giá trà sữa là xx, giá bánh là yy (nghìn đồng), ta có hệ 2x+y=652x+y=65, x+y=40x+y=40. Bài trước ta chỉ kiểm tra được nghiệm; bài này ta học cách tìm nghiệm.

Ý tưởng: bớt đi một ẩn

Khám phá: so sánh hai hoá đơn

Hai hoá đơn chỉ khác nhau đúng 11 cốc trà sữa, và chênh nhau 65−40=2565-40=25 nghìn đồng. Vậy một cốc trà sữa giá 2525 nghìn đồng. Khi đó bánh giá 40−25=1540-25=15 nghìn đồng.

Ta đã làm mất ẩn yy bằng cách trừ hai phương trình, để còn lại một phương trình một ẩn. Mọi cách giải hệ đều theo ý tưởng này: biến đổi để được một phương trình chỉ còn một ẩn. Có hai cách làm: phương pháp thế và phương pháp cộng đại số.

Phương pháp thế

-1123456-2-112345xyO(3; 1)
Hai đường thẳng cắt nhau tại (3;1)(3; 1)

Không phải hệ nào cũng có đúng một nghiệm. Khi thế, có thể cả hai ẩn cùng biến mất.

Về hình học: ở câu a), hai đường thẳng y=2−xy=2-x và y=2,5−xy=2{,}5-x song song; ở câu b), hai phương trình cùng biểu diễn một đường thẳng.

Phương pháp cộng đại số

Khi hệ số của cùng một ẩn trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta trừ hoặc cộng hai phương trình để ẩn đó biến mất.

Nếu hệ số chưa bằng hoặc đối nhau, ta nhân trước. Nhớ nhân cả hai vế, kể cả vế phải.

Bây giờ ta giải bài toán ở căng tin bằng phương pháp vừa học.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Ý tưởng chung: biến đổi để được phương trình một ẩn.
  • Phương pháp thế: rút một ẩn theo ẩn kia, thế vào phương trình còn lại.
  • Phương pháp cộng đại số: làm cho hệ số của một ẩn bằng nhau (thì trừ) hoặc đối nhau (thì cộng); nhân cả hai vế khi cần.
  • Gặp 0x=c0x=c với c≠0c\neq0: hệ vô nghiệm. Gặp 0x=00x=0: hệ có vô số nghiệm.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Giải hệ {x=2yx+y=9\begin{cases} x=2y\\ x+y=9 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: phương pháp thế.

Gợi ý các bước:

  1. Thế x=2yx=2y vào phương trình thứ hai.
  2. Tìm yy, rồi tìm xx.
Xem lời giải

2y+y=9  ⟺  y=32y+y=9\iff y=3, nên x=6x=6.

Đáp số. (6;3)(6; 3).

Bài 2

Giải hệ {2x−y=3x+2y=4\begin{cases} 2x-y=3\\ x+2y=4 \end{cases} bằng phương pháp thế.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nên rút ẩn có hệ số 11 hoặc −1-1.

Gợi ý các bước:

  1. Từ phương trình thứ nhất: y=2x−3y=2x-3.
  2. Thế vào phương trình thứ hai và giải.
Xem lời giải

x+2(2x−3)=4  ⟺  5x=10  ⟺  x=2x+2(2x-3)=4\iff 5x=10\iff x=2, nên y=2⋅2−3=1y=2\cdot2-3=1.

Đáp số. (2;1)(2; 1).

Bài 3

Giải hệ {x+y=7x−y=1\begin{cases} x+y=7\\ x-y=1 \end{cases} bằng phương pháp cộng đại số.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hệ số của yy đối nhau thì cộng hai phương trình.

Gợi ý các bước:

  1. Cộng từng vế để tìm xx.
  2. Thay vào x+y=7x+y=7 để tìm yy.
Xem lời giải

2x=8  ⟺  x=42x=8\iff x=4; 4+y=7  ⟺  y=34+y=7\iff y=3.

Đáp số. (4;3)(4; 3).

Bài 4

Giải hệ {3x+4y=52x−3y=−8\begin{cases} 3x+4y=5\\ 2x-3y=-8 \end{cases}

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nhân hai vế để hệ số của một ẩn bằng nhau.

Gợi ý các bước:

  1. Nhân phương trình thứ nhất với 22, phương trình thứ hai với 33.
  2. Trừ từng vế để mất xx.
Xem lời giải

6x+8y=106x+8y=10 và 6x−9y=−246x-9y=-24. Trừ từng vế: 17y=34  ⟺  y=217y=34\iff y=2. Khi đó 3x+8=5  ⟺  x=−13x+8=5\iff x=-1.

Đáp số. (−1;2)(-1; 2).

Bài 5

Mỗi hệ sau có bao nhiêu nghiệm? a) {2x−4y=6x−2y=3\begin{cases} 2x-4y=6\\ x-2y=3 \end{cases} b) {x−2y=1−2x+4y=5\begin{cases} x-2y=1\\ -2x+4y=5 \end{cases}

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: sau khi thế, 0x=00x=0 cho vô số nghiệm, 0x=c0x=c (c≠0c\neq0) cho vô nghiệm.

Gợi ý các bước:

  1. Rút x=2y+…x=2y+\dots từ phương trình có hệ số của xx bằng 11.
  2. Thế vào phương trình còn lại.
Xem lời giải

a) x=3+2yx=3+2y: 2(3+2y)−4y=6  ⟺  0y=02(3+2y)-4y=6\iff 0y=0. b) x=1+2yx=1+2y: −2(1+2y)+4y=5  ⟺  0y=7-2(1+2y)+4y=5\iff 0y=7.

Đáp số. a) Vô số nghiệm; b) vô nghiệm.

Bài 6

Gọi xx, yy (nghìn đồng) lần lượt là giá một quyển vở và giá một chiếc bút. Mua 33 vở và 22 bút hết 3434 nghìn đồng; mua 22 vở và 33 bút hết 3131 nghìn đồng. Giải hệ {3x+2y=342x+3y=31\begin{cases} 3x+2y=34\\ 2x+3y=31 \end{cases} để tìm giá mỗi loại.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: phương pháp cộng đại số (hoặc mẹo: cộng hai phương trình rồi trừ hai phương trình).

Gợi ý các bước:

  1. Cộng từng vế: 5x+5y=655x+5y=65, nên x+y=13x+y=13.
  2. Trừ từng vế: x−y=3x-y=3.
  3. Giải hệ mới.
Xem lời giải

x+y=13x+y=13 và x−y=3x-y=3, nên 2x=162x=16, x=8x=8, y=5y=5.

Đáp số. Vở 88 nghìn đồng, bút 55 nghìn đồng.

Bài 7 Ôn tập

Tìm aa và bb để đồ thị hàm số y=ax+by=ax+b đi qua hai điểm A(1;3)A(1; 3) và B(2;5)B(2; 5).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: điểm (x0;y0)(x_0; y_0) thuộc đồ thị khi y0=ax0+by_0=ax_0+b (lớp 8). Mỗi điểm cho một phương trình với ẩn aa, bb.

Gợi ý các bước:

  1. Thay toạ độ AA và BB để được hệ.
  2. Trừ hai phương trình để tìm aa.
Xem lời giải

a+b=3a+b=3 và 2a+b=52a+b=5. Trừ từng vế: a=2a=2, nên b=1b=1.

Đáp số. a=2a=2, b=1b=1, tức y=2x+1y=2x+1.

Bài 8

Cho hệ {x+2y=53x−y=1\begin{cases} x+2y=5\\ 3x-y=1 \end{cases}

a) Giải hệ bằng phương pháp thế.

b) Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số và so sánh kết quả.

c) Chứng tỏ đường thẳng y=x+1y=x+1 đi qua giao điểm của hai đường thẳng x+2y=5x+2y=5 và 3x−y=13x-y=1.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nghiệm của hệ là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng.

Gợi ý các bước:

  1. a) Rút x=5−2yx=5-2y.
  2. b) Nhân phương trình thứ hai với 22 rồi cộng.
  3. c) Thay toạ độ giao điểm vào y=x+1y=x+1.
Xem lời giải

a) 3(5−2y)−y=1  ⟺  15−7y=1  ⟺  y=23(5-2y)-y=1\iff 15-7y=1\iff y=2, x=1x=1.

b) x+2y=5x+2y=5 và 6x−2y=26x-2y=2; cộng: 7x=77x=7, x=1x=1, y=2y=2. Hai cách cho cùng kết quả.

c) Giao điểm là (1;2)(1; 2) và 2=1+12=1+1.

Đáp số. a), b) (1;2)(1; 2); c) (1;2)(1; 2) thuộc y=x+1y=x+1.

Bài 9 Thử thách

Giải hệ {2(x+y)+3(x−y)=133(x+y)−2(x−y)=13\begin{cases} 2(x+y)+3(x-y)=13\\ 3(x+y)-2(x-y)=13 \end{cases}

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: có thể đặt u=x+yu=x+y, v=x−yv=x-y để được một hệ đơn giản hơn, hoặc phá ngoặc rồi rút gọn.

Gợi ý các bước:

  1. Giải hệ 2u+3v=132u+3v=13, 3u−2v=133u-2v=13.
  2. Từ x+y=ux+y=u, x−y=vx-y=v tìm xx, yy.
Xem lời giải

Nhân phương trình thứ nhất với 22, phương trình thứ hai với 33 rồi cộng: 13u=6513u=65, u=5u=5; khi đó 3v=33v=3, v=1v=1. Từ x+y=5x+y=5, x−y=1x-y=1: x=3x=3, y=2y=2. (Phá ngoặc cũng được hệ 5x−y=135x-y=13, x+5y=13x+5y=13 với cùng nghiệm.)

Đáp số. (3;2)(3; 2).

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Nghiệm của hệ {x+y=5x−y=3\begin{cases} x+y=5\\ x-y=3 \end{cases} là
Câu 2. Để khử ẩn yy trong hệ {2x+3y=75x−2y=8\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-2y=8 \end{cases}, ta nên
Câu 3. Hệ {x−2y=3−2x+4y=1\begin{cases} x-2y=3\\ -2x+4y=1 \end{cases}
Câu 4. Mua 22 ổ bánh mì và 11 hộp sữa hết 3131 nghìn đồng; mua 11 ổ bánh mì và 22 hộp sữa hết 2626 nghìn đồng. Giá một ổ bánh mì là

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hệ {3x+y=7x−y=1\begin{cases} 3x+y=7\\ x-y=1 \end{cases}
a) Cộng từng vế hai phương trình ta được 4x=84x=8.
b) Hệ có nghiệm (2;1)(2; 1).
c) Từ phương trình thứ hai, y=x+1y=x+1.
d) Nghiệm của hệ thoả mãn x+y=3x+y=3.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Giải hệ {2x+y=13x−y=9\begin{cases} 2x+y=1\\ 3x-y=9 \end{cases} rồi tính x+yx+y.

Câu 2. Đồ thị hàm số y=ax+by=ax+b đi qua (1;4)(1; 4) và (3;0)(3; 0). Tìm bb.

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: A. Cộng hai phương trình: 2x=82x=8, x=4x=4, y=1y=1. B đảo thứ tự; C chỉ thoả mãn phương trình đầu; D quên chia 2x=82x=8 cho 22 (được x=8x=8, rồi y=5−8=−3y=5-8=-3).
  2. Phần I, câu 2: A. Được 6y6y và −6y-6y, đối nhau nên cộng: 19x=3819x=38. C trừ nên yy không mất; D khử xx chứ không khử yy.
  3. Phần I, câu 3: B. Thế x=3+2yx=3+2y: −6−4y+4y=1  ⟺  0y=7-6-4y+4y=1\iff 0y=7, vô nghiệm. (3;0)(3; 0) chỉ thoả mãn phương trình thứ nhất.
  4. Phần I, câu 4: A. Cộng: 3(x+y)=573(x+y)=57, x+y=19x+y=19; trừ: x−y=5x-y=5; nên x=12x=12, y=7y=7. B là giá sữa, C là tổng, D là hiệu.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Đúng. b) Đúng: 6+1=76+1=7, 2−1=12-1=1. c) Sai: y=x−1y=x-1. d) Đúng: 2+1=32+1=3.
  6. Phần III, câu 1: -1. Cộng: 5x=105x=10, x=2x=2, y=1−4=−3y=1-4=-3, nên x+y=−1x+y=-1.
  7. Phần III, câu 2: 6. a+b=4a+b=4, 3a+b=03a+b=0; trừ: 2a=−42a=-4, a=−2a=-2, b=6b=6.