Bất đẳng thức và tính chất

Bạn An cao hơn bạn Bình. Một năm sau, cả hai đều cao thêm $5$ cm. An có còn cao hơn Bình không? Chắc chắn có. Nhưng nếu biết $a>b$ thì $-2a$ và $-2b$, số nào lớn hơn? Câu trả lời làm nhiều bạn bất ngờ.

Bài này giúp ta trả lời những câu hỏi như vậy một cách chắc chắn, không cần đoán.

Bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a<b$ (hay $a>b$, $a\le b$, $a\ge b$) là một bất đẳng thức; $a$ là vế trái, $b$ là vế phải.

• $a\le b$ đọc là "$a$ nhỏ hơn hoặc bằng $b$", hay "$a$ không lớn hơn $b$".
• $a\ge b$ đọc là "$a$ lớn hơn hoặc bằng $b$", hay "$a$ không nhỏ hơn $b$".

Trên trục số, $a<b$ nghĩa là điểm $a$ nằm bên trái điểm $b$. Nếu $a$ ở bên trái $b$ và $b$ ở bên trái $c$ thì $a$ ở bên trái $c$.

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khám phá: dịch chuyển trên trục số

Ta có $2<3$. Cộng $4$ vào hai vế: $6<7$. Cộng $-5$: $-3<-2$. Cộng một số vào hai vế giống như dịch cả hai điểm đi cùng một đoạn trên trục số, nên thứ tự không đổi.

Tính chất cũng đúng với $>$, $\le$, $\ge$, và với phép trừ (vì trừ $c$ là cộng $-c$).

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

Khám phá: nhân với số âm

Ta có $2<3$. Nhân hai vế với $4$: $8<12$, chiều giữ nguyên. Nhân hai vế với $-1$: $-2$ và $-3$, mà $-2>-3$, chiều bị đổi. Trên trục số, nhân với $-1$ là lấy đối xứng qua điểm $0$, nên điểm ở bên trái trở thành điểm ở bên phải.

Phép chia cho $c\neq0$ là nhân với $\dfrac1c$, nên cũng theo quy tắc này.

Kết hợp các tính chất, ta chứng minh được nhiều bất đẳng thức.

Để chứng minh một bất đẳng thức có chữ, ta thường dùng sự thật đơn giản: bình phương của mọi số đều không âm.

Thuật ngữ

Tóm tắt

• Bất đẳng thức: $a<b$, $a>b$, $a\le b$, $a\ge b$.
• Bắc cầu: $a<b$, $b<c\Rightarrow a<c$.
• Cộng (trừ) cùng một số vào hai vế: giữ nguyên chiều.
• Nhân (chia) cùng một số dương: giữ chiều; số âm: đổi chiều.
• Chứng minh: đưa về $(\dots)^2\ge0$.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Kiểm tra mini