Mở đầu về đường tròn

Ta có $OA=3<4$, $OB=4$, $OC=4{,}5>4$.

Vậy $A$ nằm trong, $B$ nằm trên, $C$ nằm ngoài đường tròn.

Đáp số. $A$ nằm trong, $B$ nằm trên, $C$ nằm ngoài đường tròn.

Ta có $AC=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$ (cm). Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, khi đó $OA=OB=OC=OD=\dfrac{AC}{2}=2\sqrt2\approx2{,}83$ (cm).

Vậy bốn đỉnh thuộc đường tròn $(O; 2\sqrt2\text{ cm})$, $R\approx2{,}83$ cm.

Đáp số. $R=2\sqrt2\approx2{,}83$ cm.

Vì $O$ là trung điểm của $AA'$ nên $OA'=OA=5$ cm, suy ra $A'$ thuộc đường tròn. Ta có $AA'=OA+OA'=10$ cm.

Vậy $A'$ thuộc đường tròn và $AA'=10$ cm.

Đáp số. $AA'=10$ cm.

Ta có

$$OH_1=\sqrt{18^2+24^2}=30,\quad OH_2=\sqrt{1025}\approx32{,}0>30,\quad OH_3=\sqrt{829}\approx28{,}8<30.$$

Vậy $H_3$ nghe rõ, $H_1$ ở đúng biên, $H_2$ ở ngoài vùng nghe rõ.

Đáp số. $H_3$ nghe rõ; $H_1$ ở đúng biên; $H_2$ ở ngoài vùng nghe rõ.

Vết cắt qua tâm nên là trục đối xứng, do đó hai phần trùng khít khi gấp lại. Vết cắt là đường kính, dài $30$ cm.

Vậy hai phần bằng nhau và vết cắt dài $30$ cm.

Đáp số. Hai phần bằng nhau; vết cắt dài $30$ cm.

Xét tam giác $OMA$ vuông tại $O$, ta có $\tan\widehat{OMA}=\dfrac{OA}{OM}$, suy ra

$$OM=\frac{6}{\tan30^\circ}=6\sqrt3\approx10{,}39\ \text{(cm)}>6\ \text{cm}.$$

Vậy $M$ nằm ngoài đường tròn.

Đáp số. $M$ nằm ngoài đường tròn ($OM=6\sqrt3\approx10{,}39$ cm).

a) Theo định lí Pythagore, $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ (cm).

b) Ta có $MB=MC=MA=\dfrac{BC}{2}=5$ cm (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). Do đó $A$, $B$, $C$ thuộc đường tròn $(M; 5\text{ cm})$.

c) Ta có $MD=MA=5$ cm ($D$ đối xứng với $A$ qua $M$), suy ra $D$ thuộc $(M; 5\text{ cm})$. Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD=BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên là hình chữ nhật.

Vậy $BC=10$ cm, $R=5$ cm và $ABDC$ là hình chữ nhật.

Đáp số. a) $BC=10$ cm; b) $R=5$ cm; c) $D$ thuộc $(M; 5\text{ cm})$, $ABDC$ là hình chữ nhật.

Nếu $A$ không nằm trên đường thẳng $OM$, xét tam giác $OMA$ ta có $2<MA<8$. Đường thẳng $OM$ cắt đường tròn tại $A_1$, $A_2$ với $M$ nằm giữa $O$ và $A_1$; khi đó $MA_1=2$ cm, $MA_2=8$ cm.

Vậy $MA$ lớn nhất bằng $8$ cm ($A$ trùng $A_2$), nhỏ nhất bằng $2$ cm ($A$ trùng $A_1$).

Đáp số. $MA$ lớn nhất bằng $8$ cm, nhỏ nhất bằng $2$ cm.