Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $AB=BC\sin C=8\sin30^\circ=4$ (cm) và $AC=BC\cos C=8\cos30^\circ=4\sqrt3\approx6{,}93$ (cm).

Đáp số. $AB=4$ cm, $AC=4\sqrt3\approx6{,}93$ cm.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $AB=AC\tan C=10\tan42^\circ\approx9{,}00$ (cm). Vì $AC=BC\cos C$ nên $BC=\dfrac{AC}{\cos C}=\dfrac{10}{\cos42^\circ}\approx13{,}46$ (cm).

Đáp số. $AB\approx9{,}00$ cm, $BC\approx13{,}46$ cm.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{225-81}=12$ (cm) (định lí Pythagore). Ta có $\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac9{15}=0{,}6$, suy ra $\widehat{C}\approx37^\circ$. Do đó $\widehat{B}\approx90^\circ-37^\circ=53^\circ$.

Đáp số. $AC=12$ cm, $\widehat{C}\approx37^\circ$, $\widehat{B}\approx53^\circ$.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $\widehat{C}=90^\circ-50^\circ=40^\circ$. Vì $AC=AB\tan B$ nên $AB=\dfrac{AC}{\tan B}=\dfrac{4}{\tan50^\circ}\approx3{,}36$ (cm). Vì $AC=BC\sin B$ nên $BC=\dfrac{AC}{\sin B}=\dfrac{4}{\sin50^\circ}\approx5{,}22$ (cm).

Đáp số. $\widehat{C}=40^\circ$, $AB\approx3{,}36$ cm, $BC\approx5{,}22$ cm.

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có $AC=AB\tan B=2\sqrt3\cdot\sqrt3=6$ (cm). Vì $AB=BC\cos B$ nên $BC=\dfrac{AB}{\cos B}=\dfrac{2\sqrt3}{1/2}=4\sqrt3$ (cm).

Đáp số. $AC=6$ cm, $BC=4\sqrt3$ cm.

Thang, tường và mặt đất tạo thành một tam giác vuông có cạnh huyền là thang dài $6$ m. Khoảng cách từ chân thang đến tường là $6\cos70^\circ\approx2{,}05$ (m). Độ cao của đỉnh thang là $6\sin70^\circ\approx5{,}64$ (m).

Đáp số. Khoảng $2{,}05$ m và $5{,}64$ m.

Gọi $d$ (m) là khoảng cách từ thuyền đến chân hải đăng. Góc giữa tia nhìn và mặt biển bằng $12^\circ$ (hai góc so le trong). Trong tam giác vuông tạo bởi hải đăng, mặt biển và tia nhìn, ta có $40=d\tan12^\circ$, suy ra $d=\dfrac{40}{\tan12^\circ}\approx188$ (m).

Đáp số. Khoảng $188$ m.

Cây, bóng cây và tia nắng tạo thành một tam giác vuông. Chiều cao của cây là $9\tan52^\circ\approx11{,}5$ (m).

Đáp số. Khoảng $11{,}5$ m.

a) Độ cao của diều so với tay Hà là $50\sin38^\circ\approx30{,}78$ (m). Do đó độ cao của diều so với mặt đất là khoảng $30{,}78+1{,}2\approx32{,}0$ (m).

b) Khoảng cách theo phương ngang là $50\cos38^\circ\approx39{,}4$ (m).

c) Diều lên cao thêm $60\sin38^\circ-50\sin38^\circ=10\sin38^\circ\approx6{,}2$ (m).

Đáp số. a) $32{,}0$ m; b) $39{,}4$ m; c) $6{,}2$ m.

Gọi $h$ (m) là chiều cao toà nhà ($h>0$). Khoảng cách từ hai bạn đến chân toà nhà lần lượt là $h\cot45^\circ=h$ và $h\cot30^\circ=h\sqrt3$. Theo đề bài ta có phương trình $h\sqrt3-h=20$. Suy ra $h=\dfrac{20}{\sqrt3-1}=\dfrac{20\left(\sqrt3+1\right)}{2}=10\left(\sqrt3+1\right)\approx27{,}32$ (m) (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. $10\left(\sqrt3+1\right)\approx27{,}32$ m.