Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bác Tư dựng một chiếc thang dài $5$ m vào tường, chân thang cách chân tường $3$ m. Theo hướng dẫn an toàn, góc giữa thang và mặt đất nên vào khoảng $75^\circ$ . Thang của bác Tư có đủ dốc không?

Ta biết hai cạnh của tam giác vuông nhưng cần một góc. Công cụ nối cạnh với góc là các tỉ số lượng giác.

Chiếc thang dựa vào tường

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khám phá: tỉ số không phụ thuộc vào kích thước tam giác

Xét hai tam giác vuông có cùng góc nhọn $\alpha$ ở đỉnh $B$ : tam giác thứ nhất có các cạnh $3$ , $4$ , $5$ ; tam giác thứ hai có các cạnh $6$ , $8$ , $10$ (gấp đôi). Ta lập tỉ số giữa cạnh đối diện góc $\alpha$ và cạnh huyền:

Tam giác	cạnh đối	cạnh huyền	cạnh đối : cạnh huyền
thứ nhất	$3$	$5$	$0{,}6$
thứ hai	$6$	$10$	$0{,}6$

Hai tam giác đồng dạng (lớp 8) nên tỉ số giống nhau. Tỉ số chỉ phụ thuộc vào góc $\alpha$ , không phụ thuộc vào tam giác lớn hay nhỏ.

Cạnh đối, cạnh kề và cạnh huyền của góc

\alpha

Vì cạnh huyền dài nhất, ta luôn có $0<\sin\alpha<1$ và $0<\cos\alpha<1$ . Mẹo nhớ quen thuộc: "sin đi học, cos không hư, tan đoàn kết, cot kết đoàn" (sin = đối : huyền, cos = kề : huyền, tan = đối : kề, cot = kề : đối).

Ví dụ Tính bốn tỉ số

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=8$ cm, $AC=6$ cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$ .

Lời giải. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $BC^2=AB^2+AC^2$ (định lí Pythagore). Với góc $B$ , cạnh đối là $AC$ , cạnh kề là $AB$ . Do đó

$BC=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10;\qquad \sin B=\frac{6}{10}=\frac35,\quad \cos B=\frac{8}{10}=\frac45,\quad \tan B=\frac68=\frac34,\quad \cot B=\frac86=\frac43.$

Vậy $\sin B=\dfrac35$ , $\cos B=\dfrac45$ , $\tan B=\dfrac34$ , $\cot B=\dfrac43$ .

Cạnh đối và cạnh kề thay đổi khi ta xét góc nhọn còn lại, nên luôn xác định lại trước khi lập tỉ số.

Ví dụ Tỉ số của góc còn lại

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=5$ , $AC=12$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Lời giải. Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $BC^2=AB^2+AC^2$ (định lí Pythagore). Với góc $C$ , cạnh đối là $AB$ , cạnh kề là $AC$ . Do đó

$BC=\sqrt{5^2+12^2}=13;\qquad \sin C=\frac{5}{13},\quad \cos C=\frac{12}{13},\quad \tan C=\frac{5}{12},\quad \cot C=\frac{12}{5}.$

Vậy $\sin C=\dfrac5{13}$ , $\cos C=\dfrac{12}{13}$ , $\tan C=\dfrac5{12}$ , $\cot C=\dfrac{12}5$ .

Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Nửa hình vuông cạnh $1$ là tam giác vuông cân có hai góc $45^\circ$ , cạnh huyền $\sqrt2$ . Nửa tam giác đều cạnh $2$ là tam giác vuông có các góc $30^\circ$ , $60^\circ$ và các cạnh $1$ , $\sqrt3$ , $2$ . Từ hai tam giác này ta được bảng sau.

$\alpha$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\alpha$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$
$\cos\alpha$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac12$
$\tan\alpha$	$\dfrac{\sqrt3}3$	$1$	$\sqrt3$
$\cot\alpha$	$\sqrt3$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}3$

Chẳng hạn $\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$ (trục căn thức ở mẫu như ở chương trước).

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , hai góc $B$ và $C$ phụ nhau: $\widehat{B}+\widehat{C}=90^\circ$ . Cạnh đối của góc $B$ chính là cạnh kề của góc $C$ , nên $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\cos C$ .

Ví dụ Dùng góc phụ nhau

a) Viết $\sin72^\circ$ và $\tan65^\circ$ thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^\circ$ .

b) Không dùng máy tính, tính $\dfrac{\sin25^\circ}{\cos65^\circ}$ và $\tan40^\circ\cdot\tan50^\circ$ .

Lời giải. Ta có $72^\circ+18^\circ=90^\circ$ , $65^\circ+25^\circ=90^\circ$ , $25^\circ+65^\circ=90^\circ$ , $40^\circ+50^\circ=90^\circ$ (các cặp góc phụ nhau) và $\tan40^\circ\cdot\cot40^\circ=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}\cdot\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}=1$ . Do đó

$\sin72^\circ=\cos18^\circ,\quad \tan65^\circ=\cot25^\circ;\qquad \frac{\sin25^\circ}{\cos65^\circ}=\frac{\sin25^\circ}{\sin25^\circ}=1,\quad \tan40^\circ\cdot\tan50^\circ=\tan40^\circ\cdot\cot40^\circ=1.$

Vậy a) $\cos18^\circ$ và $\cot25^\circ$ ; b) cả hai biểu thức đều bằng $1$ .

Với góc bất kì, ta dùng máy tính cầm tay (để ở chế độ độ, kí hiệu D). Phím sin, cos, tan cho tỉ số; tổ hợp SHIFT + sin (hoặc cos, tan) cho góc khi biết tỉ số. Không có phím cot, nên ta dùng $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}$ .

Chú ý Những sai lầm thường gặp

Nhầm cạnh đối và cạnh kề. Sai: trong tam giác vuông tại $A$ , $\sin C=\dfrac{AC}{BC}$ . Lí do sai: cạnh đối diện góc $C$ là $AB$ . Đúng: $\sin C=\dfrac{AB}{BC}$ .
Lập tỉ số với cạnh huyền ở tử. Sai: $\cos B=\dfrac{BC}{AB}$ . Lí do sai: tỉ số này lớn hơn $1$ , mà $\cos B<1$ . Đúng: $\cos B=\dfrac{AB}{BC}$ .
Nhầm giá trị đặc biệt. Sai: $\sin60^\circ=\dfrac12$ . Lí do sai: đó là $\sin30^\circ$ (cạnh đối góc $30^\circ$ ngắn nhất). Đúng: $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ .
Để máy tính sai chế độ. Sai: bấm $\sin30$ được $-0{,}988$ . Lí do sai: máy đang ở chế độ radian. Đúng: chuyển sang chế độ độ, được $0{,}5$ .

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
tỉ số lượng giác	trigonometric ratio
góc nhọn	acute angle
cạnh huyền	hypotenuse
cạnh đối	opposite side
cạnh kề	adjacent side
sin, côsin, tang, côtang	sine, cosine, tangent, cotangent
hai góc phụ nhau	complementary angles
tam giác vuông cân	right-angled isosceles triangle

Tóm tắt

$\sin\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{huyền}}$ , $\cos\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{huyền}}$ , $\tan\alpha=\dfrac{\text{đối}}{\text{kề}}$ , $\cot\alpha=\dfrac{\text{kề}}{\text{đối}}$ .
Tỉ số chỉ phụ thuộc vào góc; $0<\sin\alpha<1$ , $0<\cos\alpha<1$ ; $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ .
$\sin30^\circ=\cos60^\circ=\dfrac12$ , $\sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2$ , $\sin60^\circ=\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ , $\tan45^\circ=1$ , $\tan60^\circ=\sqrt3$ , $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3$ .
Hai góc phụ nhau: sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
Máy tính: chế độ độ; SHIFT + sin/cos/tan để tìm góc.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=3$ , $AC=4$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $B$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: định nghĩa bốn tỉ số; định lí Pythagore.

Gợi ý các bước:

Tính $BC$ .
Với góc $B$ : đối là $AC$ , kề là $AB$ .

Xem lời giải

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{9+16}=5$ (định lí Pythagore). Do đó $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$ , $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac35$ , $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac43$ , $\cot B=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac34$ .

Đáp số. $\dfrac45$ ; $\dfrac35$ ; $\dfrac43$ ; $\dfrac34$ .

Bài 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=17$ , $AB=8$ . Tính các tỉ số lượng giác của góc $C$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $AC^2=BC^2-AB^2$ ; với góc $C$ , cạnh đối là $AB$ .

Gợi ý các bước:

Tính $AC$ .
Lập bốn tỉ số.

Xem lời giải

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{289-64}=15$ (định lí Pythagore). Do đó $\sin C=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac8{17}$ , $\cos C=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{15}{17}$ , $\tan C=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac8{15}$ , $\cot C=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}8$ .

Đáp số. $\dfrac8{17}$ ; $\dfrac{15}{17}$ ; $\dfrac8{15}$ ; $\dfrac{15}8$ .

Bài 3

Tính: a) $\sin45^\circ\cdot\cos45^\circ$ ; b) $\tan60^\circ-\cot30^\circ+\tan45^\circ$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: bảng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt.

Gợi ý các bước:

Thay giá trị.
Tính.

Xem lời giải

a) $\sin45^\circ\cdot\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt2}2\cdot\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac24=\dfrac12$ . b) $\tan60^\circ-\cot30^\circ+\tan45^\circ=\sqrt3-\sqrt3+1=1$ .

Đáp số. a) $\dfrac12$ ; b) $1$ .

Bài 4

Viết thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn $45^\circ$ : $\sin70^\circ$ , $\cos58^\circ$ , $\tan80^\circ$ , $\cot47^\circ$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nếu $\alpha+\beta=90^\circ$ thì $\sin\alpha=\cos\beta$ , $\tan\alpha=\cot\beta$ .

Gợi ý các bước:

Tính góc phụ của mỗi góc.
Đổi sin ↔ cos, tan ↔ cot.

Xem lời giải

Vì các cặp góc $70^\circ$ và $20^\circ$ , $58^\circ$ và $32^\circ$ , $80^\circ$ và $10^\circ$ , $47^\circ$ và $43^\circ$ phụ nhau nên $\sin70^\circ=\cos20^\circ$ , $\cos58^\circ=\sin32^\circ$ , $\tan80^\circ=\cot10^\circ$ , $\cot47^\circ=\tan43^\circ$ .

Đáp số. $\cos20^\circ$ ; $\sin32^\circ$ ; $\cot10^\circ$ ; $\tan43^\circ$ .

Bài 5

Không dùng máy tính, tính $M=\dfrac{\sin32^\circ}{\cos58^\circ}+\tan17^\circ\cdot\tan73^\circ$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: góc phụ nhau và $\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1$ .

Gợi ý các bước:

Viết $\cos58^\circ=\sin32^\circ$ .
Viết $\tan73^\circ=\cot17^\circ$ .

Xem lời giải

Vì $58^\circ+32^\circ=90^\circ$ và $73^\circ+17^\circ=90^\circ$ nên $\cos58^\circ=\sin32^\circ$ và $\tan73^\circ=\cot17^\circ$ . Do đó $M=\dfrac{\sin32^\circ}{\sin32^\circ}+\tan17^\circ\cdot\cot17^\circ=1+1=2$ .

Đáp số. $M=2$ .

Bài 6

Dùng máy tính cầm tay:

a) Tính $\sin54^\circ$ và $\tan20^\circ$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

b) Tìm góc nhọn $\alpha$ (làm tròn đến độ), biết $\tan\alpha=2$ ; biết $\sin\alpha=0{,}25$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chế độ độ; SHIFT + tan (hoặc sin) để tìm góc.

Gợi ý các bước:

Kiểm tra máy ở chế độ D.
Bấm và làm tròn.

Xem lời giải

a) Dùng máy tính cầm tay, ta được $\sin54^\circ\approx0{,}8090$ và $\tan20^\circ\approx0{,}3640$ .

b) Từ $\tan\alpha=2$ suy ra $\alpha\approx63^\circ$ . Từ $\sin\alpha=0{,}25$ suy ra $\alpha\approx14^\circ$ .

Đáp số. a) $0{,}8090$ ; $0{,}3640$ ; b) $63^\circ$ ; $14^\circ$ .

Bài 7

Biển báo "dốc $10\%$ " nghĩa là cứ đi ngang $100$ m thì đường lên cao $10$ m. Theo quy chuẩn, lối đi cho xe lăn nên có độ dốc không quá $1:12$ (lên cao $1$ m trên $12$ m chiều ngang). Tính góc nghiêng so với phương ngang của mỗi con dốc (làm tròn đến độ).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: góc nghiêng $\alpha$ có $\tan\alpha=\dfrac{\text{độ cao}}{\text{chiều ngang}}$ .

Gợi ý các bước:

Lập $\tan\alpha$ cho mỗi dốc.
Bấm SHIFT tan.

Xem lời giải

Gọi $\alpha$ , $\beta$ lần lượt là góc nghiêng của con dốc $10\%$ và của lối đi cho xe lăn. Ta có $\tan\alpha=\dfrac{10}{100}=0{,}1$ , suy ra $\alpha\approx6^\circ$ ; $\tan\beta=\dfrac1{12}$ , suy ra $\beta\approx5^\circ$ .

Đáp số. Khoảng $6^\circ$ và $5^\circ$ .

Bài 8

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC=10$ cm và $\sin B=0{,}6$ .

a) Tính $AC$ .

b) Tính $AB$ .

c) Tính $\tan B$ và $\cos C$ .

d) Tìm số đo góc $B$ (làm tròn đến độ).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$ ; định lí Pythagore; $\cos C=\sin B$ vì hai góc phụ nhau.

Gợi ý các bước:

$AC=BC\cdot\sin B$ .
$AB=\sqrt{BC^2-AC^2}$ .
Lập các tỉ số; bấm SHIFT sin $0{,}6$ .

Xem lời giải

a) Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $\sin B=\dfrac{AC}{BC}$ , suy ra $AC=BC\cdot\sin B=10\cdot0{,}6=6$ (cm).

b) $AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{100-36}=8$ (cm) (định lí Pythagore).

c) $\tan B=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac68=0{,}75$ ; $\cos C=\sin B=0{,}6$ (hai góc phụ nhau).

d) Từ $\sin B=0{,}6$ suy ra $\widehat{B}\approx37^\circ$ .

Đáp số. a) $6$ cm; b) $8$ cm; c) $0{,}75$ và $0{,}6$ ; d) $37^\circ$ .

Bài 9

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=1$ , $AC=2$ . Tính $\sin B$ và $\cos B$ , viết kết quả với mẫu không chứa căn.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trục căn thức ở mẫu (xem biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn).

Gợi ý các bước:

Tính $BC=\sqrt5$ .
Lập tỉ số rồi trục căn thức ở mẫu.

Xem lời giải

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , ta có $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt5$ (định lí Pythagore). Do đó $\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac2{\sqrt5}=\dfrac{2\sqrt5}5$ và $\cos B=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}5$ .

Đáp số. $\sin B=\dfrac{2\sqrt5}5$ , $\cos B=\dfrac{\sqrt5}5$ .

Bài 10 Thử thách

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=12$ cm và $\widehat{B}=30^\circ$ . Kẻ đường cao $AH$ . Tính $AH$ và $AB$ (viết dạng gọn).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đường cao của tam giác cân cũng là đường trung tuyến, nên $BH=6$ cm; $\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt3}3$ , $\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ .

Gợi ý các bước:

Trong tam giác vuông $ABH$ : $\tan B=\dfrac{AH}{BH}$ .
$\cos B=\dfrac{BH}{AB}$ , suy ra $AB$ ; trục căn thức ở mẫu.

Xem lời giải

Vì tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường cao $AH$ cũng là đường trung tuyến, do đó $BH=\dfrac{BC}2=6$ cm.

Xét tam giác $ABH$ vuông tại $H$ , ta có $AH=BH\cdot\tan B=6\cdot\dfrac{\sqrt3}3=2\sqrt3$ (cm) và $AB=\dfrac{BH}{\cos B}=\dfrac{6\cdot2}{\sqrt3}=\dfrac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3$ (cm).

Đáp số. $AH=2\sqrt3$ cm, $AB=4\sqrt3$ cm.

Các tỉ số lượng giác của góc nhọn

Khám phá: tỉ số không phụ thuộc vào kích thước tam giác

Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

a) $BC=2$ .	Đúng	Sai
b) $\sin B=\dfrac12$ .	Đúng	Sai
c) $\tan B=\sqrt3$ .	Đúng	Sai
d) $\widehat{C}=60^\circ$ .	Đúng	Sai