Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Một trạm phát sóng điện thoại phủ sóng trong bán kính $5$ km. Một đường quốc lộ thẳng cách trạm $3$ km, một đường khác cách trạm $7$ km. Trên mỗi đường, đoạn có sóng dài bao nhiêu?

Ba vị trí của đường thẳng và đường tròn

Khám phá: dịch đường thẳng ra xa tâm

Gọi $d=OH$ là khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $a$ ( $OH\perp a$ ). Dịch dần $a$ ra xa tâm: lúc đầu có hai giao điểm, chúng nhập làm một khi $d=R$ , rồi biến mất khi $d>R$ .

Khi $a$ tiếp xúc với $(O)$ , $a$ gọi là tiếp tuyến, điểm chung là tiếp điểm. Khi cắt nhau, hai giao điểm tạo thành một dây dài $2\sqrt{R^2-d^2}$ (bài Cung và dây).

Đường thẳng

a

cắt,

b

tiếp xúc,

c

không giao với

(O)

Tiếp tuyến của đường tròn

Thật vậy, $a\perp OA$ tại $A$ khi và chỉ khi khoảng cách từ $O$ đến $a$ là $d=OA=R$ .

Nhờ góc vuông ở tiếp điểm, ta tính độ dài tiếp tuyến bằng định lí Pythagore.

Hai tiếp tuyến cắt nhau

Vì sao? Hai tam giác $OAM$ và $OBM$ vuông tại $A$ , $B$ , có chung cạnh huyền $OM$ và $OA=OB$ , nên bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông). Suy ra $MA=MB$ , $\widehat{AMO}=\widehat{BMO}$ và $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ .

Hai tiếp tuyến

MA

MB

của đường tròn

(O)

Ví dụ Hai tiếp tuyến từ một điểm

Từ điểm $M$ với $OM=10$ cm, kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ của đường tròn $(O; 5\text{ cm})$ . Tính $MA$ , góc $\widehat{AMB}$ và $AB$ .

Lời giải. Xét tam giác $OAM$ vuông tại $A$ , ta có

$MA=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt3\approx8{,}66\ \text{(cm)},\qquad \sin\widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\frac12\Rightarrow\widehat{AMO}=30^\circ.$

Vì $MO$ là tia phân giác của $\widehat{AMB}$ nên $\widehat{AMB}=60^\circ$ . Tam giác $MAB$ cân tại $M$ có góc $60^\circ$ nên là tam giác đều, suy ra $AB=MA$ .

Vậy $MA=AB=5\sqrt3\approx8{,}66$ cm, $\widehat{AMB}=60^\circ$ .

Thuật ngữ

Tóm tắt

$d<R$ : cắt nhau (dây dài $2\sqrt{R^2-d^2}$ ); $d=R$ : tiếp xúc; $d>R$ : không giao nhau.
Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm, và ngược lại.
Độ dài tiếp tuyến: $MA=\sqrt{OM^2-R^2}$ .
Hai tiếp tuyến từ $M$ : $MA=MB$ , $MO$ và $OM$ là các tia phân giác.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Ba đường thẳng cách tâm của đường tròn $(O; 6\text{ cm})$ lần lượt $4$ cm, $6$ cm, $7{,}5$ cm. Xác định vị trí của mỗi đường thẳng đối với đường tròn.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: so sánh $d$ với $R$ .

Gợi ý các bước:

So sánh từng khoảng cách với $6$ .

Xem lời giải

Ta có $4<6$ , $6=6$ , $7{,}5>6$ .

Vậy đường thứ nhất cắt, đường thứ hai tiếp xúc, đường thứ ba không giao với đường tròn.

Đáp số. Đường thứ nhất cắt, đường thứ hai tiếp xúc, đường thứ ba không giao với đường tròn.

Bài 2

Đường thẳng $a$ cách tâm của đường tròn $(O; 10\text{ cm})$ một khoảng $8$ cm. Chứng minh rằng $a$ cắt đường tròn tại hai điểm $A$ , $B$ và tính $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $d<R$ thì cắt nhau; dây dài $2\sqrt{R^2-d^2}$ .

Gợi ý các bước:

So sánh $8$ với $10$ , rồi tính dây.

Xem lời giải

Ta có $d=8<10=R$ nên $a$ cắt đường tròn tại hai điểm. Khi đó $AB=2\sqrt{10^2-8^2}=2\cdot6=12$ (cm).

Vậy $AB=12$ cm.

Đáp số. $AB=12$ cm.

Bài 3

Từ điểm $M$ cách tâm $O$ là $15$ cm, kẻ tiếp tuyến $MA$ của đường tròn $(O; 9\text{ cm})$ . Tính $MA$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $OA\perp MA$ , tam giác $OAM$ vuông tại $A$ .

Gợi ý các bước:

Dùng định lí Pythagore với cạnh huyền $OM$ .

Xem lời giải

Xét tam giác $OAM$ vuông tại $A$ , ta có $MA=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12$ (cm).

Vậy $MA=12$ cm.

Đáp số. $MA=12$ cm.

Bài 4

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , có $AB=3$ cm, $AC=4$ cm. Chứng minh rằng $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(C; CA)$ và điểm $B$ nằm ngoài đường tròn này.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.

Gợi ý các bước:

Chỉ ra $A\in(C; CA)$ và $AB\perp CA$ .
So sánh $CB$ với $4$ .

Xem lời giải

Ta có $A\in(C; CA)$ và $AB\perp CA$ tại $A$ , nên $AB$ là tiếp tuyến. Theo định lí Pythagore, $CB=\sqrt{3^2+4^2}=5>4$ , nên $B$ nằm ngoài đường tròn.

Vậy $AB$ là tiếp tuyến và $B$ nằm ngoài $(C; CA)$ .

Đáp số. $AB$ là tiếp tuyến của $(C; CA)$ ; $B$ nằm ngoài đường tròn vì $CB=5$ cm $>4$ cm.

Bài 5

Từ đỉnh $M$ của một tháp cao $80$ m, ta nhìn ra biển đến đường chân trời tại $A$ , với $MA$ tiếp xúc với Trái Đất. Coi mặt cắt Trái Đất là đường tròn tâm $O$ bán kính $6400$ km. Tính $MA$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của ki-lô-mét).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $OA\perp MA$ ; đổi $80$ m $=0{,}08$ km.

Gợi ý các bước:

Tính $OM=6400+0{,}08$ (km).
Dùng định lí Pythagore trong tam giác $OAM$ vuông tại $A$ .

Xem lời giải

Ta có $OM=6400{,}08$ km, tam giác $OAM$ vuông tại $A$ , nên

$MA=\sqrt{6400{,}08^2-6400^2}\approx\sqrt{1024}=32\ \text{(km)}.$

Vậy từ đỉnh tháp có thể nhìn xa khoảng $32$ km.

Đáp số. Khoảng $32$ km.

Bài 6

Từ điểm $M$ với $OM=8$ cm, kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ của đường tròn $(O; 4\text{ cm})$ . Tính góc $\widehat{AMB}$ và số đo cung nhỏ $AB$ . (Ôn lại cung và dây.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\sin\widehat{AMO}=\dfrac{OA}{OM}$ ; tổng các góc của tứ giác là $360^\circ$ .

Gợi ý các bước:

Tính $\widehat{AMO}$ , suy ra $\widehat{AMB}$ , rồi $\widehat{AOB}$ .

Xem lời giải

Xét tam giác $OAM$ vuông tại $A$ , ta có $\sin\widehat{AMO}=\dfrac48=\dfrac12$ , suy ra $\widehat{AMO}=30^\circ$ , $\widehat{AMB}=60^\circ$ . Tứ giác $OAMB$ có hai góc vuông tại $A$ , $B$ , nên $\widehat{AOB}=360^\circ-90^\circ-90^\circ-60^\circ=120^\circ$ .

Vậy $\widehat{AMB}=60^\circ$ và cung nhỏ $AB$ có số đo $120^\circ$ .

Đáp số. $\widehat{AMB}=60^\circ$ ; cung nhỏ $AB$ có số đo $120^\circ$ .

Bài 7

(2,0 điểm) Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O; 3\text{ cm})$ với $OM=5$ cm, kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ ( $A$ , $B$ là các tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$ .

a) Chứng minh rằng bốn điểm $M$ , $A$ , $O$ , $B$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh rằng $OM\perp AB$ tại $H$ .

c) Tính $MA$ và $AB$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; tính chất đường trung trực.

Gợi ý các bước:

Gọi $I$ là trung điểm của $OM$ , chứng minh $IA=IB=IO=IM$ .
Chỉ ra $OM$ là trung trực của $AB$ .
Tính $AH$ qua diện tích tam giác $OAM$ .

Xem lời giải

a) Các tam giác $OAM$ , $OBM$ vuông tại $A$ , $B$ (tính chất tiếp tuyến). Gọi $I$ là trung điểm của $OM$ , ta có $IA=IB=IO=IM=\dfrac{OM}{2}$ (trung tuyến ứng với cạnh huyền). Do đó $M$ , $A$ , $O$ , $B$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$ .

b) Ta có $MA=MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OA=OB$ , nên $OM$ là trung trực của $AB$ . Suy ra $OM\perp AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$ .

c) Ta có $MA=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm). Diện tích tam giác $OAM$ bằng $\dfrac12\cdot OA\cdot MA=\dfrac12\cdot OM\cdot AH$ , suy ra $AH=\dfrac{3\cdot4}{5}=2{,}4$ (cm). Do đó $AB=2AH=4{,}8$ cm.

Vậy $MA=4$ cm và $AB=4{,}8$ cm.

Đáp số. a), b) Xem chứng minh; c) $MA=4$ cm, $AB=4{,}8$ cm.

Bài 8 Thử thách

Từ điểm $M$ ngoài đường tròn $(O)$ , kẻ hai tiếp tuyến $MA$ , $MB$ với $MA=10$ cm. Tiếp tuyến tại điểm $C$ trên cung nhỏ $AB$ cắt $MA$ , $MB$ lần lượt tại $D$ , $E$ . Tính chu vi tam giác $MDE$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $D$ và tại $E$ .

Gợi ý các bước:

Chỉ ra $DC=DA$ , $EC=EB$ , rồi viết chu vi theo $MA$ , $MB$ .

Xem lời giải

Ta có $DC=DA$ (hai tiếp tuyến từ $D$ ) và $EC=EB$ (hai tiếp tuyến từ $E$ ). Do đó

$MD+DE+EM=MD+DC+CE+EM=(MD+DA)+(EB+EM)=MA+MB=20\ \text{(cm)}.$

Vậy chu vi tam giác $MDE$ bằng $20$ cm.

Đáp số. $20$ cm.

Tiếng Việt	English
cắt nhau	intersect
tiếp xúc	touch (be tangent)
không giao nhau	do not meet
tiếp tuyến	tangent
tiếp điểm	point of contact
tia phân giác	angle bisector

a) $MA=6\sqrt3$ cm.	Đúng	Sai
b) $\widehat{AMO}=30^\circ$ .	Đúng	Sai
c) $\widehat{AMB}=30^\circ$ .	Đúng	Sai
d) $MA=MB$ .	Đúng	Sai

Ba vị trí của đường thẳng và đường tròn

Khám phá: dịch đường thẳng ra xa tâm

Tiếp tuyến của đường tròn

Hai tiếp tuyến cắt nhau

Thuật ngữ

Tóm tắt

Luyện tập

Kiểm tra mini

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn