Lemonmath
English

Căn bậc ba và căn thức bậc ba

Bài 3.4 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Một khối Rubik lớn được ghép từ 2727 khối lập phương nhỏ giống nhau. Mỗi cạnh của khối lớn có mấy khối nhỏ? Một hộp quà hình lập phương có thể tích 22 lít, tức 20002000 cm³. Cạnh hộp dài bao nhiêu xăng-ti-mét?

Câu hỏi thứ nhất: 3⋅3⋅3=273\cdot3\cdot3=27, nên mỗi cạnh có 33 khối. Câu hỏi thứ hai cần một số mà lập phương lên bằng 20002000. Đó là căn bậc ba.

aABCDA'B'C'D'
Hình lập phương cạnh aa, thể tích a3a^3

Căn bậc ba của một số thực

Khám phá: lập phương của vài số

xx −3-3 −2-2 −1-1 00 11 22 33
x3x^3 −27-27 −8-8 −1-1 00 11 88 2727

Khác với bình phương, lập phương của một số âm là số âm. Mỗi giá trị trong hàng dưới xuất hiện đúng một lần. Chẳng hạn, chỉ có một số lập phương bằng −8-8, đó là −2-2.

Ghi nhớ: căn bậc ba của số dương là số dương, của số âm là số âm, của 00 là 00. Hơn nữa −a3=−a3\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}.

Với số như 20002000, không có số nguyên nào lập phương bằng 20002000 (vì 123=172812^3=1728, 133=219713^3=2197). Ta dùng máy tính.

Hai đẳng thức (a3)3=a\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a và a33=a\sqrt[3]{a^3}=a giúp tính nhanh nhiều biểu thức.

So sánh căn bậc ba

Lập phương giữ nguyên thứ tự: số lớn hơn có lập phương lớn hơn. Vì thế, với mọi số thực aa, bb: a<b  ⟺  a3<b3.a<b\iff\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}.

Căn thức bậc ba

So với căn bậc hai: A2=∣A∣\sqrt{A^2}=|A|, còn A33=A\sqrt[3]{A^3}=A, không cần giá trị tuyệt đối, và không cần điều kiện A≥0A\ge0.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • x=a3  ⟺  x3=ax=\sqrt[3]{a}\iff x^3=a. Mọi số thực đều có đúng một căn bậc ba.
  • (a3)3=a\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a, a33=a\sqrt[3]{a^3}=a, −a3=−a3\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}.
  • a<b  ⟺  a3<b3a<b\iff\sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}; để so sánh, đưa về cùng dạng căn bậc ba hoặc so sánh lập phương.
  • A3\sqrt[3]{A} xác định khi AA xác định; A33=A\sqrt[3]{A^3}=A (không có giá trị tuyệt đối).
  • Hình lập phương thể tích VV có cạnh V3\sqrt[3]{V}.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Tính: a) 3433\sqrt[3]{343}; b) −0,0273\sqrt[3]{-0{,}027}; c) 641253\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: a3=x  ⟺  x3=a\sqrt[3]{a}=x\iff x^3=a.

Gợi ý các bước:

  1. Nhớ bảng lập phương 131^3 đến 10310^3.
  2. Với số âm, căn bậc ba là số âm.
Xem lời giải

a) Vì 73=3437^3=343 nên 3433=7\sqrt[3]{343}=7. b) Vì (−0,3)3=−0,027(-0{,}3)^3=-0{,}027 nên −0,0273=−0,3\sqrt[3]{-0{,}027}=-0{,}3. c) Vì (45)3=64125\left(\dfrac45\right)^3=\dfrac{64}{125} nên 641253=45\sqrt[3]{\dfrac{64}{125}}=\dfrac45.

Đáp số. a) 77; b) −0,3-0{,}3; c) 45\dfrac45.

Bài 2

Tính −2163+10003−(73)3\sqrt[3]{-216}+\sqrt[3]{1000}-\left(\sqrt[3]{7}\right)^3.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: (a3)3=a\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a.

Gợi ý các bước:

  1. Tính từng căn.
  2. Cộng, trừ.
Xem lời giải

Ta có −2163+10003−(73)3=−6+10−7=−3\sqrt[3]{-216}+\sqrt[3]{1000}-\left(\sqrt[3]{7}\right)^3=-6+10-7=-3.

Đáp số. −3-3.

Bài 3

Dùng máy tính cầm tay, tính (làm tròn đến hàng phần trăm): a) 503\sqrt[3]{50}; b) −123\sqrt[3]{-12}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: máy tính có phím căn bậc ba; căn bậc ba của số âm là số âm.

Gợi ý các bước:

  1. Bấm máy.
  2. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai.
Xem lời giải

Dùng máy tính cầm tay, ta được: a) 503≈3,68\sqrt[3]{50}\approx3{,}68; b) −123≈−2,29\sqrt[3]{-12}\approx-2{,}29.

Đáp số. a) 3,683{,}68; b) −2,29-2{,}29.

Bài 4

So sánh: a) 55 và 1243\sqrt[3]{124}; b) −2-2 và −93\sqrt[3]{-9}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: a<b  ⟺  a3<b3a<b\iff\sqrt[3]a<\sqrt[3]b.

Gợi ý các bước:

  1. Viết 5=12535=\sqrt[3]{125}, −2=−83-2=\sqrt[3]{-8}.
  2. So sánh các số dưới dấu căn.
Xem lời giải

a) Ta có 5=12535=\sqrt[3]{125}. Vì 125>124125>124 nên 5>12435>\sqrt[3]{124}. b) Ta có −2=−83-2=\sqrt[3]{-8}. Vì −8>−9-8>-9 nên −2>−93-2>\sqrt[3]{-9}.

Đáp số. a) 5>12435>\sqrt[3]{124}; b) −2>−93-2>\sqrt[3]{-9}.

Bài 5

Tìm xx, biết: a) x3=−64x^3=-64; b) 3x+13=−2\sqrt[3]{3x+1}=-2.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x3=a  ⟺  x=a3x^3=a\iff x=\sqrt[3]a; A3=b  ⟺  A=b3\sqrt[3]A=b\iff A=b^3.

Gợi ý các bước:

  1. Câu a: lấy căn bậc ba.
  2. Câu b: lập phương hai vế, giải phương trình bậc nhất.
Xem lời giải

a) Ta có x3=−64  ⟺  x=−643=−4x^3=-64\iff x=\sqrt[3]{-64}=-4. b) Ta có 3x+13=−2  ⟺  3x+1=(−2)3=−8  ⟺  3x=−9  ⟺  x=−3\sqrt[3]{3x+1}=-2\iff 3x+1=(-2)^3=-8\iff 3x=-9\iff x=-3.

Đáp số. a) x=−4x=-4; b) x=−3x=-3.

Bài 6

Rút gọn các biểu thức sau: a) 27x33−2x\sqrt[3]{27x^3}-2x; b) x3+6x2+12x+83\sqrt[3]{x^3+6x^2+12x+8}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: A33=A\sqrt[3]{A^3}=A; hằng đẳng thức (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.

Gợi ý các bước:

  1. Viết 27x3=(3x)327x^3=(3x)^3.
  2. Nhận ra x3+6x2+12x+8=(x+2)3x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3.
Xem lời giải

a) Ta có 27x33−2x=(3x)33−2x=3x−2x=x\sqrt[3]{27x^3}-2x=\sqrt[3]{(3x)^3}-2x=3x-2x=x. b) Ta có x3+6x2+12x+83=(x+2)33=x+2\sqrt[3]{x^3+6x^2+12x+8}=\sqrt[3]{(x+2)^3}=x+2.

Đáp số. a) xx; b) x+2x+2.

Bài 7

Một bể nước hình lập phương chứa được 33753375 lít nước khi đầy.

a) Tính cạnh của bể theo mét.

b) Tính diện tích đáy bể.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: 11 lít =1=1 dm³; cạnh hình lập phương là V3\sqrt[3]{V}.

Gợi ý các bước:

  1. Tính 33753\sqrt[3]{3375} (dm), đổi ra mét.
  2. Diện tích đáy bằng bình phương cạnh.
Xem lời giải

a) Ta có 33753375 lít =3375=3375 dm³. Do đó cạnh bể dài 33753=15\sqrt[3]{3375}=15 (dm) =1,5=1{,}5 (m).

b) Diện tích đáy bể là 1,52=2,251{,}5^2=2{,}25 (m²).

Đáp số. a) 1,51{,}5 m; b) 2,252{,}25 m².

Bài 8

Một khối lập phương lớn được ghép từ 512512 khối lập phương nhỏ giống nhau, rồi sơn màu toàn bộ mặt ngoài.

a) Mỗi cạnh của khối lớn có bao nhiêu khối nhỏ?

b) Có bao nhiêu khối nhỏ không có mặt nào được sơn?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: số khối trên một cạnh là 5123\sqrt[3]{512}.

Gợi ý các bước:

  1. Tính 5123\sqrt[3]{512}.
  2. Các khối không được sơn tạo thành một khối lập phương bên trong, mỗi cạnh ít hơn 22 khối.
Xem lời giải

a) Số khối nhỏ trên mỗi cạnh là 5123=8\sqrt[3]{512}=8.

b) Các khối nhỏ không được sơn tạo thành một khối lập phương bên trong, mỗi cạnh có 8−2=68-2=6 khối. Do đó có 63=2166^3=216 khối nhỏ không được sơn.

Đáp số. a) 88; b) 216216.

Bài 9

Tính 16+−273+(−2)2\sqrt{16}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{(-2)^2}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: a2=∣a∣\sqrt{a^2}=|a| (xem căn bậc hai và căn thức bậc hai) và a33=a\sqrt[3]{a^3}=a.

Gợi ý các bước:

  1. Tính từng số hạng; chú ý dấu.
  2. Cộng lại.
Xem lời giải

Ta có 16+−273+(−2)2=4+(−3)+∣−2∣=4−3+2=3\sqrt{16}+\sqrt[3]{-27}+\sqrt{(-2)^2}=4+(-3)+|-2|=4-3+2=3.

Đáp số. 33.

Bài 10 Thử thách

Có bao nhiêu số nguyên xx thoả mãn −2<x3<3-2<\sqrt[3]{x}<3?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: a<b  ⟺  a3<b3a<b\iff\sqrt[3]a<\sqrt[3]b, nên có thể lập phương các vế mà giữ nguyên chiều.

Gợi ý các bước:

  1. Viết −2=−83-2=\sqrt[3]{-8}, 3=2733=\sqrt[3]{27}.
  2. Đếm các số nguyên trong khoảng tìm được.
Xem lời giải

Ta có −2=−83-2=\sqrt[3]{-8} và 3=2733=\sqrt[3]{27}. Do đó −2<x3<3  ⟺  −8<x<27-2<\sqrt[3]{x}<3\iff -8<x<27. Suy ra các số nguyên xx cần tìm là −7,−6,…,26-7, -6, \ldots, 26, gồm 26−(−7)+1=3426-(-7)+1=34 số.

Đáp số. 3434 số.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. −273\sqrt[3]{-27} bằng
Câu 2. Căn thức nào sau đây xác định với mọi số thực xx?
Câu 3. (−5)33\sqrt[3]{(-5)^3} bằng
Câu 4. Một thùng hình lập phương có thể tích 0,2160{,}216 m³. Cạnh thùng dài

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho biểu thức A=x−73A=\sqrt[3]{x-7}. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) AA xác định khi và chỉ khi x≥7x\ge7.
b) Khi x=−1x=-1 thì A=−2A=-2.
c) A=3A=3 khi x=34x=34.
d) A<0A<0 khi x<7x<7.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính 1253−−83+0,0013\sqrt[3]{125}-\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{0{,}001}.

Câu 2. Một hộp quà hình lập phương có thể tích 33 lít. Tính độ dài cạnh hộp theo xăng-ti-mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: A. Vì (−3)3=−27(-3)^3=-27 nên −273=−3\sqrt[3]{-27}=-3. Phương án D nhầm với căn bậc hai, C lấy −27-27 chia 33.
  2. Phần I, câu 2: B. Căn bậc ba xác định với mọi biểu thức lấy căn. Các căn bậc hai ở A, C, D cần biểu thức lấy căn không âm.
  3. Phần I, câu 3: B. Ta có (−5)33=−5\sqrt[3]{(-5)^3}=-5 (vì a33=a\sqrt[3]{a^3}=a). Phương án A dùng nhầm giá trị tuyệt đối như với căn bậc hai.
  4. Phần I, câu 4: A. Cạnh thùng dài 0,2163=0,6\sqrt[3]{0{,}216}=0{,}6 (m) (vì 0,63=0,2160{,}6^3=0{,}216). Phương án B chia thể tích cho 33; C và D đặt sai dấu phẩy.
  5. Phần II, câu 1: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng. a) Sai. Căn bậc ba xác định với mọi xx. b) Đúng. Khi x=−1x=-1 ta có A=−83=−2A=\sqrt[3]{-8}=-2. c) Đúng. Khi x=34x=34 ta có A=273=3A=\sqrt[3]{27}=3. d) Đúng. Khi x<7x<7 thì x−7<0x-7<0, do đó A=x−73<0A=\sqrt[3]{x-7}<0.
  6. Phần III, câu 1: 7,1. Ta có 1253−−83+0,0013=5−(−2)+0,1=7,1\sqrt[3]{125}-\sqrt[3]{-8}+\sqrt[3]{0{,}001}=5-(-2)+0{,}1=7{,}1.
  7. Phần III, câu 2: 14,4. Ta có 33 lít =3000=3000 cm³. Do đó cạnh hộp dài 30003≈14,4\sqrt[3]{3000}\approx14{,}4 (cm).