Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Bạn Minh có $200$ nghìn đồng. Minh mua một hộp bút giá $50$ nghìn đồng và muốn mua thêm vở, mỗi quyển $12$ nghìn đồng. Minh mua được nhiều nhất bao nhiêu quyển vở?

Gọi $x$ là số vở. Số tiền phải trả là $50+12x$ và không được vượt quá $200$ , nên $50+12x\le200$ . Đây không phải phương trình mà là một bất phương trình.

Khám phá: thử vài giá trị

$x$	$10$	$12$	$13$
$50+12x$	$170$	$194$	$206$
$\le200$ ?	có	có	không

Mua $12$ quyển thì vẫn đủ tiền, mua $13$ quyển thì thiếu. Nhưng thử từng số rất chậm; ta cần một cách giải giống như giải phương trình.

Cách giải

Ta biến đổi bất phương trình nhờ các tính chất của bất đẳng thức ở bài trước.

Hai quy tắc này đúng vì cộng cùng một số vào hai vế không làm đổi chiều, còn nhân với số âm thì đổi chiều (ví dụ $2<3$ nhưng $-2>-3$ ).

Khi hệ số của $x$ âm, bước chia cần chú ý nhất.

Nghiệm

x>2

(trên) và

x\le3

(dưới) trên trục số

Điểm rỗng nghĩa là số đó không là nghiệm (dấu $>$ hoặc $<$ ), điểm tô đậm nghĩa là số đó là nghiệm (dấu $\ge$ hoặc $\le$ ).

Bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất

Nhiều bất phương trình có ngoặc hoặc phân số. Ta phá ngoặc, khử mẫu, chuyển các hạng tử chứa $x$ sang một vế và các số sang vế kia.

Bây giờ ta trả lời câu hỏi của Minh.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
bất phương trình	inequality (to be solved)
bất phương trình bậc nhất một ẩn	linear inequality in one unknown
nghiệm của bất phương trình	solution of the inequality
quy tắc chuyển vế	rule for moving a term to the other side
quy tắc nhân	rule for multiplying both sides
đổi chiều	reverse the inequality sign
trục số	number line
giải bất phương trình	solve an inequality

Tóm tắt

Bất phương trình bậc nhất một ẩn: $ax+b<0$ (hoặc $>$ , $\le$ , $\ge$ ), $a\neq0$ .
Chuyển vế thì đổi dấu hạng tử.
Nhân, chia với số dương: giữ chiều; với số âm: đổi chiều.
Có ngoặc, có mẫu: phá ngoặc, nhân với mẫu chung dương, đưa về $ax<c$ rồi chia cho $a$ .
Bài thực tế: đối chiếu điều kiện (số tự nhiên…) rồi chọn đáp số.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Trong các số $-1$ , $0$ , $3$ , số nào là nghiệm của bất phương trình $2x+1>0$ ?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $x_0$ là nghiệm nếu thay vào được khẳng định đúng.

Gợi ý các bước:

Thay từng số vào $2x+1$ .
So sánh với $0$ .

Xem lời giải

$x=-1$ : $-1>0$ sai. $x=0$ : $1>0$ đúng. $x=3$ : $7>0$ đúng.

Đáp số. $0$ và $3$ .

Bài 2

Giải bất phương trình $4x-8<0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chuyển vế, rồi chia cho số dương (giữ chiều).

Gợi ý các bước:

Chuyển $-8$ sang vế phải.
Chia cho $4$ .

Xem lời giải

$4x<8\iff x<2$ .

Đáp số. $x<2$ .

Bài 3

Giải bất phương trình $-3x+9\le0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: chia cho số âm thì đổi chiều.

Gợi ý các bước:

Chuyển $9$ sang vế phải.
Chia hai vế cho $-3$ và đổi chiều.

Xem lời giải

$-3x\le-9\iff x\ge3$ .

Đáp số. $x\ge3$ .

Bài 4

Giải bất phương trình $2(x+3)>5x-6$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: phá ngoặc, chuyển vế, chú ý dấu của hệ số $x$ .

Gợi ý các bước:

Phá ngoặc: $2x+6>5x-6$ .
Chuyển vế được $-3x>-12$ .
Chia cho $-3$ và đổi chiều.

Xem lời giải

$2x+6>5x-6\iff -3x>-12\iff x<4$ .

Đáp số. $x<4$ .

Bài 5

Giải bất phương trình $\dfrac{2x-1}{3}\ge\dfrac{x+2}{4}$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nhân hai vế với mẫu chung dương $12$ , chiều không đổi.

Gợi ý các bước:

Nhân hai vế với $12$ .
Phá ngoặc, chuyển vế, chia cho hệ số của $x$ .

Xem lời giải

$4(2x-1)\ge3(x+2)\iff 8x-4\ge3x+6\iff 5x\ge10\iff x\ge2$ .

Đáp số. $x\ge2$ .

Bài 6

Một hãng taxi tính phí mở cửa $10$ nghìn đồng và $14$ nghìn đồng cho mỗi ki-lô-mét. Với $150$ nghìn đồng, bạn đi được tối đa bao nhiêu ki-lô-mét (tính theo số nguyên ki-lô-mét)?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: số tiền phải trả không vượt quá số tiền có.

Gợi ý các bước:

Gọi $x$ là số ki-lô-mét; lập $10+14x\le150$ .
Giải và chọn số nguyên lớn nhất.

Xem lời giải

$14x\le140\iff x\le10$ .

Đáp số. Tối đa $10$ km.

Bài 7

Bạn Nam đã có ba bài kiểm tra được $7$ , $8$ và $6$ điểm. Bài thứ tư Nam cần được ít nhất bao nhiêu điểm để điểm trung bình bốn bài không dưới $7{,}5$ ?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: "không dưới" là $\ge$ ; trung bình $=$ tổng $:$ số bài.

Gợi ý các bước:

Gọi $x$ là điểm bài thứ tư ( $0\le x\le10$ ).
Lập $\dfrac{7+8+6+x}{4}\ge7{,}5$ và nhân hai vế với $4$ .

Xem lời giải

$21+x\ge30\iff x\ge9$ .

Đáp số. Ít nhất $9$ điểm.

Bài 8 Ôn tập

Tìm các nghiệm của phương trình $(x-4)(2x+1)=0$ thoả mãn bất phương trình $3x-2>0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: phương trình tích (bài 4) và kiểm tra nghiệm của bất phương trình.

Gợi ý các bước:

Giải phương trình tích.
Thay từng nghiệm vào $3x-2$ .

Xem lời giải

Phương trình có nghiệm $x=4$ và $x=-\dfrac12$ . Với $x=4$ : $10>0$ , thoả mãn. Với $x=-\dfrac12$ : $-\dfrac72<0$ , không thoả mãn.

Đáp số. $x=4$ .

Bài 9

Cho hai biểu thức $A=3(x-1)$ và $B=x+5$ .

a) Tìm $x$ để $A=B$ .

b) Tìm $x$ để $A>B$ .

c) Tìm số nguyên $x$ nhỏ nhất để $A>B$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Gợi ý các bước:

a) Giải $3x-3=x+5$ .
b) Giải $3x-3>x+5$ .
c) Chọn số nguyên nhỏ nhất thoả mãn câu b).

Xem lời giải

a) $2x=8\iff x=4$ . b) $2x>8\iff x>4$ . c) Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $4$ là $5$ .

Đáp số. a) $x=4$ ; b) $x>4$ ; c) $x=5$ .

Bài 10 Thử thách

Gói cước A tính $3$ nghìn đồng mỗi phút gọi. Gói cước B tính $45$ nghìn đồng mỗi tháng cộng thêm $1$ nghìn đồng mỗi phút. Trong một tháng, phải gọi ít nhất bao nhiêu phút (số nguyên) thì gói B rẻ hơn gói A?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: "B rẻ hơn A" nghĩa là tiền gói B $<$ tiền gói A.

Gợi ý các bước:

Gọi $x$ là số phút; tiền gói A là $3x$ , gói B là $45+x$ .
Giải $45+x<3x$ .
Chọn số nguyên nhỏ nhất.

Xem lời giải

$45+x<3x\iff -2x<-45\iff x>22{,}5$ . Số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $22{,}5$ là $23$ . Kiểm tra: $23$ phút, gói A $69$ , gói B $68$ nghìn đồng.

Đáp số. Ít nhất $23$ phút.

a) $x=3$ là một nghiệm.	Đúng	Sai
b) Chuyển vế ta được $-3x\ge-9$ .	Đúng	Sai
c) Nghiệm của bất phương trình là $x\ge3$ .	Đúng	Sai
d) Có đúng $4$ số tự nhiên thoả mãn bất phương trình.	Đúng	Sai

Bất phương trình bậc nhất một ẩn