Lemonmath
English

Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 2.1 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Bạn An giải phương trình x2=3xx^2=3x như sau: "Chia hai vế cho xx, được x=3x=3." Bạn Bình nói: "Còn thiếu một nghiệm." Thay x=0x=0 vào, ta thấy 02=3⋅00^2=3\cdot0, đúng là 00 cũng là nghiệm. An sai ở đâu, và làm thế nào để không bỏ sót nghiệm?

Phương trình x2=3xx^2=3x không phải là phương trình bậc nhất, nhưng ta có thể quy về các phương trình bậc nhất. Bài này học hai dạng như vậy.

Phương trình tích

Khám phá: khi nào một tích bằng 00?

Ta có 5⋅0=05\cdot0=0, 0⋅(−7)=00\cdot(-7)=0, còn 2⋅3=6≠02\cdot3=6\neq0. Một tích bằng 00 chỉ khi có ít nhất một thừa số bằng 00. Đây là chìa khoá để giải phương trình mà vế trái là một tích và vế phải bằng 00 (gọi là phương trình tích).

Khi phương trình chưa có dạng tích, ta chuyển mọi số hạng sang vế trái rồi phân tích thành nhân tử (như ở lớp 8).

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Hai bạn Hoà và Bình đạp xe cùng một lúc. Hoà đi được 1212 km, Bình đi được 1818 km trong cùng khoảng thời gian, và Bình đi nhanh hơn Hoà 44 km/h. Gọi vận tốc của Hoà là xx (km/h), thời gian bằng nhau cho ta phương trình 12x=18x+4.\frac{12}{x}=\frac{18}{x+4}. Ẩn nằm ở mẫu. Một phân thức chỉ có nghĩa khi mẫu khác 00, nên trước hết ta phải tìm điều kiện của ẩn.

Bước đối chiếu điều kiện không phải là hình thức: có khi phương trình sau khi khử mẫu cho một giá trị làm mẫu bằng 00.

-2-1134x021
Điều kiện xác định và nghiệm trên trục số

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • A⋅B=0  ⟺  A=0A\cdot B=0\iff A=0 hoặc B=0B=0. Đưa phương trình về dạng tích: chuyển hết sang một vế, phân tích thành nhân tử.
  • Không chia hai vế cho biểu thức chứa ẩn.
  • Phương trình chứa ẩn ở mẫu: tìm điều kiện xác định, quy đồng và khử mẫu, giải, rồi đối chiếu điều kiện.
  • Một phương trình có thể vô nghiệm nếu mọi giá trị tìm được đều bị loại.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Giải phương trình (x−5)(3x+6)=0(x-5)(3x+6)=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: A⋅B=0  ⟺  A=0A\cdot B=0\iff A=0 hoặc B=0B=0.

Gợi ý các bước:

  1. Cho x−5=0x-5=0.
  2. Cho 3x+6=03x+6=0.
Xem lời giải

x−5=0  ⟺  x=5x-5=0\iff x=5; 3x+6=0  ⟺  x=−23x+6=0\iff x=-2.

Đáp số. x=5x=5 hoặc x=−2x=-2.

Bài 2

Giải phương trình 2x2+7x=02x^2+7x=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích.

Gợi ý các bước:

  1. Viết 2x2+7x=x(2x+7)2x^2+7x=x(2x+7).
  2. Giải từng phương trình bậc nhất.
Xem lời giải

x(2x+7)=0  ⟺  x=0x(2x+7)=0\iff x=0 hoặc 2x+7=0  ⟺  x=−722x+7=0\iff x=-\dfrac72.

Đáp số. x=0x=0 hoặc x=−72x=-\dfrac72.

Bài 3

Giải phương trình (2x−1)2−(x+4)2=0(2x-1)^2-(x+4)^2=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hằng đẳng thức A2−B2=(A−B)(A+B)A^2-B^2=(A-B)(A+B).

Gợi ý các bước:

  1. Phân tích vế trái thành tích của (2x−1)−(x+4)(2x-1)-(x+4) và (2x−1)+(x+4)(2x-1)+(x+4).
  2. Rút gọn từng thừa số rồi giải.
Xem lời giải

(2x−1−x−4)(2x−1+x+4)=0  ⟺  (x−5)(3x+3)=0  ⟺  x=5(2x-1-x-4)(2x-1+x+4)=0\iff(x-5)(3x+3)=0\iff x=5 hoặc x=−1x=-1.

Đáp số. x=5x=5 hoặc x=−1x=-1.

Bài 4

Giải phương trình 3x−2=5x+2\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{5}{x+2}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Gợi ý các bước:

  1. Điều kiện: x≠2x\neq2, x≠−2x\neq-2.
  2. Nhân hai vế với (x−2)(x+2)(x-2)(x+2).
  3. Giải và đối chiếu điều kiện.
Xem lời giải

3(x+2)=5(x−2)  ⟺  3x+6=5x−10  ⟺  2x=16  ⟺  x=83(x+2)=5(x-2)\iff 3x+6=5x-10\iff 2x=16\iff x=8 (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. x=8x=8.

Bài 5

Giải phương trình x+1x−3=2+4x−3\dfrac{x+1}{x-3}=2+\dfrac{4}{x-3}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khi khử mẫu, nhân mọi số hạng với mẫu chung.

Gợi ý các bước:

  1. Điều kiện: x≠3x\neq3.
  2. Nhân hai vế với x−3x-3.
  3. Đối chiếu điều kiện.
Xem lời giải

x+1=2(x−3)+4  ⟺  x+1=2x−2  ⟺  x=3x+1=2(x-3)+4\iff x+1=2x-2\iff x=3. Giá trị này không thoả mãn điều kiện x≠3x\neq3.

Đáp số. Phương trình vô nghiệm.

Bài 6

Giải phương trình 2x+1−1x−1=3x−11x2−1\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{3x-11}{x^2-1}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1) là mẫu chung.

Gợi ý các bước:

  1. Điều kiện: x≠1x\neq1, x≠−1x\neq-1.
  2. Nhân hai vế với (x−1)(x+1)(x-1)(x+1).
  3. Giải và đối chiếu.
Xem lời giải

2(x−1)−(x+1)=3x−11  ⟺  x−3=3x−11  ⟺  2x=8  ⟺  x=42(x-1)-(x+1)=3x-11\iff x-3=3x-11\iff 2x=8\iff x=4 (thoả mãn).

Đáp số. x=4x=4.

Bài 7

Với 120120 nghìn đồng, bạn Linh mua được số vở loại I bằng số vở loại II mà bạn mua được với 9090 nghìn đồng. Mỗi quyển vở loại I đắt hơn mỗi quyển loại II là 22 nghìn đồng. Tính giá mỗi quyển vở loại II.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: số quyển vở == số tiền :: giá một quyển.

Gợi ý các bước:

  1. Gọi giá vở loại II là xx nghìn đồng (x>0x>0), loại I là x+2x+2.
  2. Lập phương trình 120x+2=90x\dfrac{120}{x+2}=\dfrac{90}{x} và giải.
Xem lời giải

Điều kiện x>0x>0. 120x=90(x+2)  ⟺  30x=180  ⟺  x=6120x=90(x+2)\iff 30x=180\iff x=6. Kiểm tra: 120:8=15120:8=15 và 90:6=1590:6=15.

Đáp số. 66 nghìn đồng.

Bài 8

Cho biểu thức A=xx+3+2x−3−12x2−9A=\dfrac{x}{x+3}+\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{12}{x^2-9}.

a) Tìm điều kiện xác định của AA.

b) Rút gọn AA.

c) Tìm xx để A=12A=\dfrac12.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9=(x-3)(x+3); phân tích x2−x−6x^2-x-6 bằng cách tách −x=−3x+2x-x=-3x+2x.

Gợi ý các bước:

  1. a) Mọi mẫu khác 00.
  2. b) Quy đồng với mẫu chung (x−3)(x+3)(x-3)(x+3) rồi rút gọn.
  3. c) Giải x+2x+3=12\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac12, đối chiếu điều kiện.
Xem lời giải

a) x≠3x\neq3 và x≠−3x\neq-3.

b) A=x(x−3)+2(x+3)−12(x−3)(x+3)=x2−x−6(x−3)(x+3)=(x−3)(x+2)(x−3)(x+3)=x+2x+3A=\dfrac{x(x-3)+2(x+3)-12}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x^2-x-6}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+2}{x+3}.

c) 2(x+2)=x+3  ⟺  x=−12(x+2)=x+3\iff x=-1 (thoả mãn điều kiện).

Đáp số. a) x≠±3x\neq\pm3; b) A=x+2x+3A=\dfrac{x+2}{x+3}; c) x=−1x=-1.

Bài 9 Thử thách

Giải phương trình x3+2x2−x−2=0x^3+2x^2-x-2=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: nhóm hạng tử để đặt nhân tử chung; phương trình tích có thể có ba thừa số.

Gợi ý các bước:

  1. Nhóm (x3+2x2)−(x+2)(x^3+2x^2)-(x+2).
  2. Đặt nhân tử chung x+2x+2, rồi dùng x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1=(x-1)(x+1).
Xem lời giải

x2(x+2)−(x+2)=0  ⟺  (x+2)(x2−1)=0  ⟺  (x+2)(x−1)(x+1)=0x^2(x+2)-(x+2)=0\iff(x+2)(x^2-1)=0\iff(x+2)(x-1)(x+1)=0.

Đáp số. x=−2x=-2, x=1x=1 hoặc x=−1x=-1.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình (x−2)(3x+9)=0(x-2)(3x+9)=0 là
Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình xx+1+3x−4=2\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{3}{x-4}=2 là
Câu 3. Phương trình x2=5xx^2=5x có tập nghiệm là
Câu 4. Phương trình x+1x−2=3x−2\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{3}{x-2}

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho phương trình 4x+1=3x−2\dfrac{4}{x+1}=\dfrac{3}{x-2}.
a) Điều kiện xác định là x≠−1x\neq-1 và x≠2x\neq2.
b) Khử mẫu được 4(x−2)=3(x+1)4(x-2)=3(x+1).
c) Phương trình có nghiệm x=−11x=-11.
d) Phương trình có hai nghiệm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Tính tổng các nghiệm của phương trình (2x−8)(x+7)=0(2x-8)(x+7)=0.

Câu 2. Giải phương trình 5x+2=3x−2\dfrac{5}{x+2}=\dfrac{3}{x-2}.

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: A. x−2=0  ⟺  x=2x-2=0\iff x=2; 3x+9=0  ⟺  x=−33x+9=0\iff x=-3. B sai dấu cả hai; D quên chia cho 33.
  2. Phần I, câu 2: A. Cả hai mẫu x+1x+1 và x−4x-4 phải khác 00. B sai dấu; C, D chỉ xét một mẫu.
  3. Phần I, câu 3: B. x(x−5)=0x(x-5)=0. Phương án A là kết quả khi chia hai vế cho xx và mất nghiệm 00.
  4. Phần I, câu 4: C. Khử mẫu được x+1=3x+1=3, x=2x=2, nhưng x=2x=2 làm mẫu bằng 00 nên bị loại. Phương án A quên đối chiếu điều kiện; D chuyển 11 sang vế phải mà không đổi dấu (x=3+1x=3+1).
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. a) Đúng. b) Đúng. c) Sai: 4x−8=3x+3  ⟺  x=114x-8=3x+3\iff x=11. d) Sai: chỉ có một nghiệm x=11x=11.
  6. Phần III, câu 1: -3. Hai nghiệm là 44 và −7-7, tổng bằng −3-3.
  7. Phần III, câu 2: 8. Điều kiện x≠±2x\neq\pm2. 5(x−2)=3(x+2)  ⟺  2x=16  ⟺  x=85(x-2)=3(x+2)\iff 2x=16\iff x=8 (thoả mãn).