Lemonmath
English

Vị trí tương đối của hai đường tròn

Bài 5.5 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Hai trạm phát sóng OO và O′O' cách nhau 77 km, phủ sóng trong bán kính lần lượt 55 km và 33 km. Hai vùng phủ sóng có chồng lên nhau không? Nếu dời trạm O′O' ra xa để hai trạm cách nhau 88 km thì sao?

Số điểm chung của hai đường tròn

Khám phá: kéo hai đường tròn ra xa nhau

Cho (O;R)(O; R) và (O′;r)(O'; r) với R≥rR\geq r, d=OO′d=OO'. Đặt đường tròn nhỏ trong đường tròn lớn rồi kéo dần ra: chúng chạm nhau từ bên trong khi d=R−rd=R-r, rồi cắt nhau, chạm nhau từ bên ngoài khi d=R+rd=R+r, cuối cùng rời xa nhau.

Đường thẳng OO′OO' gọi là đường nối tâm. Vì mỗi đường thẳng qua tâm là trục đối xứng của đường tròn, đường nối tâm là trục đối xứng chung của cả hai đường tròn.

Hai đường tròn cắt nhau

Vì sao? Ta có OA=OBOA=OB và O′A=O′BO'A=O'B, nên OO và O′O' cùng nằm trên đường trung trực của ABAB.

Nếu hai đường tròn tiếp xúc tại TT mà TT không nằm trên OO′OO' thì điểm đối xứng với TT qua OO′OO' cũng là một điểm chung (vì OO′OO' là trục đối xứng chung). Khi đó hai đường tròn có hai điểm chung, vô lí.

OO'ABH
Hai đường tròn cắt nhau tại AA và BB

Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại TT, điểm TT nằm giữa OO và O′O', nên OO′=OT+TO′=R+rOO'=OT+TO'=R+r. Đường thẳng qua TT vuông góc với OO′OO' là tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại TT.

OO'T
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại TT

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Cắt nhau: R−r<d<R+rR-r<d<R+r; tiếp xúc ngoài: d=R+rd=R+r; tiếp xúc trong: d=R−rd=R-r; ở ngoài nhau: d>R+rd>R+r; đựng nhau: d<R−rd<R-r.
  • Đường nối tâm là trục đối xứng, là trung trực của dây chung và đi qua tiếp điểm.
  • Tính dây chung: đặt OH=xOH=x, viết AH2AH^2 theo hai cách.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Cho hai đường tròn (O;6 cm)(O; 6\text{ cm}) và (O′;4 cm)(O'; 4\text{ cm}). Xác định vị trí tương đối của chúng khi OO′OO' bằng: a) 1111 cm; b) 1010 cm; c) 55 cm; d) 22 cm; e) 11 cm.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: so sánh dd với R+r=10R+r=10 và R−r=2R-r=2.

Gợi ý các bước:

  1. Tính R+rR+r và R−rR-r, rồi so sánh với từng giá trị.
Xem lời giải

Ta có R+r=10R+r=10, R−r=2R-r=2. Do đó: a) 11>1011>10; b) 10=R+r10=R+r; c) 2<5<102<5<10; d) 2=R−r2=R-r; e) 1<21<2.

Vậy a) ở ngoài nhau; b) tiếp xúc ngoài; c) cắt nhau; d) tiếp xúc trong; e) đựng nhau.

Đáp số. a) ở ngoài nhau; b) tiếp xúc ngoài; c) cắt nhau; d) tiếp xúc trong; e) đựng nhau.

Bài 2

Hai đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và (O′;5 cm)(O'; 5\text{ cm}) cắt nhau tại AA, BB, với OO′=8OO'=8 cm. Tính ABAB.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: OO′OO' là trung trực của ABAB; HH là trung điểm của OO′OO'.

Gợi ý các bước:

  1. Tính OH=4OH=4 cm, rồi AHAH theo định lí Pythagore.
Xem lời giải

Gọi HH là giao điểm của OO′OO' và ABAB. Vì hai đường tròn có bán kính bằng nhau nên HH là trung điểm của OO′OO', suy ra OH=4OH=4 cm. Xét tam giác AHOAHO vuông tại HH, ta có AH=52−42=3AH=\sqrt{5^2-4^2}=3 (cm), nên AB=6AB=6 cm.

Vậy AB=6AB=6 cm.

Đáp số. AB=6AB=6 cm.

Bài 3

Đường tròn (O;9 cm)(O; 9\text{ cm}) tiếp xúc trong với đường tròn (O′;r)(O'; r), r<9r<9 cm, và OO′=4OO'=4 cm. Tính rr.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tiếp xúc trong thì d=R−rd=R-r.

Gợi ý các bước:

  1. Giải phương trình 9−r=49-r=4.
Xem lời giải

Hai đường tròn tiếp xúc trong nên 9−r=49-r=4, suy ra r=5r=5 (cm).

Vậy r=5r=5 cm.

Đáp số. r=5r=5 cm.

Bài 4

Hai đường tròn (O;7 cm)(O; 7\text{ cm}) và (O′;3 cm)(O'; 3\text{ cm}) tiếp xúc nhau. Tính OO′OO'.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tiếp xúc ngoài: d=R+rd=R+r; tiếp xúc trong: d=R−rd=R-r.

Gợi ý các bước:

  1. Xét hai trường hợp.
Xem lời giải

Nếu tiếp xúc ngoài thì OO′=7+3=10OO'=7+3=10 (cm). Nếu tiếp xúc trong thì OO′=7−3=4OO'=7-3=4 (cm).

Vậy OO′=10OO'=10 cm hoặc OO′=4OO'=4 cm.

Đáp số. OO′=10OO'=10 cm hoặc OO′=4OO'=4 cm.

Bài 5

Một logo gồm hai đường tròn bán kính 33 cm và 44 cm, tâm cách nhau 55 cm. Bạn Minh cần kẻ dây chung của hai đường tròn. Tính độ dài dây chung. (Ôn lại phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đặt OH=xOH=x và viết AH2AH^2 theo hai cách.

Gợi ý các bước:

  1. Lập phương trình 32−x2=42−(5−x)23^2-x^2=4^2-(5-x)^2.
  2. Tính AHAH, rồi AB=2AHAB=2AH.
Xem lời giải

Gọi OO, O′O' là tâm các đường tròn bán kính 33 cm, 44 cm; HH là giao điểm của OO′OO' và dây chung ABAB, OH=xOH=x. Ta có

9−x2=16−(5−x)2⇒9=−9+10x⇒x=1,8.9-x^2=16-(5-x)^2\Rightarrow 9=-9+10x\Rightarrow x=1{,}8.

Do đó AH=9−1,82=5,76=2,4AH=\sqrt{9-1{,}8^2}=\sqrt{5{,}76}=2{,}4 (cm), suy ra AB=4,8AB=4{,}8 cm.

Vậy dây chung dài 4,84{,}8 cm.

Đáp số. 4,84{,}8 cm.

Bài 6

Ba đường tròn tâm AA, BB, CC đôi một tiếp xúc ngoài nhau, với AB=7AB=7 cm, BC=8BC=8 cm, CA=9CA=9 cm. Tính bán kính mỗi đường tròn. (Ôn lại giải hệ phương trình.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tiếp xúc ngoài thì khoảng cách hai tâm bằng tổng hai bán kính.

Gợi ý các bước:

  1. Lập ba phương trình với ẩn aa, bb, cc, rồi cộng lại.
Xem lời giải

Gọi aa, bb, cc (cm) là bán kính các đường tròn tâm AA, BB, CC (aa, bb, c>0c>0). Theo đề bài ta có a+b=7a+b=7, b+c=8b+c=8, c+a=9c+a=9. Cộng ba phương trình được 2(a+b+c)=242(a+b+c)=24, nên a+b+c=12a+b+c=12. Suy ra

c=12−7=5,a=12−8=4,b=12−9=3 (thoả ma˜n đieˆˋu kiện).c=12-7=5,\qquad a=12-8=4,\qquad b=12-9=3\ \text{(thoả mãn điều kiện)}.

Vậy bán kính các đường tròn tâm AA, BB, CC lần lượt là 44 cm, 33 cm, 55 cm.

Đáp số. 44 cm, 33 cm, 55 cm (tâm AA, BB, CC).

Bài 7

(1,5 điểm) Cho hai đường tròn (O;4 cm)(O; 4\text{ cm}) và (O′;2 cm)(O'; 2\text{ cm}) tiếp xúc ngoài tại AA. Đường thẳng aa đi qua AA và vuông góc với OO′OO'.

a) Tính OO′OO'.

b) Chứng minh rằng aa là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

c) Lấy điểm MM trên aa với MA=3MA=3 cm. Tính MOMO và MO′MO' (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tiếp điểm nằm trên đường nối tâm; dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến.

Gợi ý các bước:

  1. Dùng OO′=R+rOO'=R+r.
  2. Chỉ ra a⊥OAa\perp OA và a⊥O′Aa\perp O'A tại AA.
  3. Dùng định lí Pythagore trong các tam giác vuông tại AA.
Xem lời giải

a) Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên OO′=4+2=6OO'=4+2=6 (cm).

b) Điểm AA nằm trên OO′OO' nên a⊥OAa\perp OA và a⊥O′Aa\perp O'A tại AA. Theo dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, aa là tiếp tuyến của cả (O)(O) và (O′)(O') tại AA.

c) Xét các tam giác MAOMAO, MAO′MAO' vuông tại AA, ta có

MO=32+42=5 (cm),MO′=32+22=13≈3,61 (cm).MO=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \text{(cm)},\qquad MO'=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}\approx3{,}61\ \text{(cm)}.

Vậy OO′=6OO'=6 cm, MO=5MO=5 cm, MO′≈3,61MO'\approx3{,}61 cm.

Đáp số. a) OO′=6OO'=6 cm; b) xem chứng minh; c) MO=5MO=5 cm, MO′=13≈3,61MO'=\sqrt{13}\approx3{,}61 cm.

Bài 8 Thử thách

Hai đường tròn (O;9 cm)(O; 9\text{ cm}) và (O′;4 cm)(O'; 4\text{ cm}) tiếp xúc ngoài. Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với (O)(O) tại BB và với (O′)(O') tại CC, không đi qua tiếp điểm của hai đường tròn. Tính BCBC.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: OB⊥BCOB\perp BC, O′C⊥BCO'C\perp BC (tính chất tiếp tuyến).

Gợi ý các bước:

  1. Kẻ O′K⊥OBO'K\perp OB tại KK; chỉ ra BCO′KBCO'K là hình chữ nhật.
  2. Tính OKOK, OO′OO', rồi O′KO'K theo định lí Pythagore.
Xem lời giải

Ta có OB⊥BCOB\perp BC và O′C⊥BCO'C\perp BC, nên OB∥O′COB\parallel O'C. Kẻ O′K⊥OBO'K\perp OB tại KK, tứ giác BCO′KBCO'K có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Suy ra BC=O′KBC=O'K và BK=O′C=4BK=O'C=4 cm, nên OK=9−4=5OK=9-4=5 cm. Hai đường tròn tiếp xúc ngoài nên OO′=9+4=13OO'=9+4=13 cm. Xét tam giác OKO′OKO' vuông tại KK, ta có

O′K=132−52=12 (cm).O'K=\sqrt{13^2-5^2}=12\ \text{(cm)}.

Vậy BC=12BC=12 cm.

Đáp số. BC=12BC=12 cm.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Cho hai đường tròn (O;8 cm)(O; 8\text{ cm}) và (O′;3 cm)(O'; 3\text{ cm}) với OO′=5OO'=5 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Câu 2. Cho hai đường tròn (O;6 cm)(O; 6\text{ cm}) và (O′;2 cm)(O'; 2\text{ cm}) với OO′=3OO'=3 cm. Vị trí tương đối của hai đường tròn là
Câu 3. Hai đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và (O′;5 cm)(O'; 5\text{ cm}) cắt nhau tại AA, BB, với OO′=6OO'=6 cm. Độ dài dây chung ABAB là
Câu 4. Hai đường tròn (O;7 cm)(O; 7\text{ cm}) và (O′;2 cm)(O'; 2\text{ cm}) tiếp xúc ngoài. Khoảng cách OO′OO' là

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho hai đường tròn (O;5 cm)(O; 5\text{ cm}) và (O′;3 cm)(O'; 3\text{ cm}) với OO′=4OO'=4 cm. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Hai đường tròn cắt nhau.
b) Đường nối tâm OO′OO' vuông góc với dây chung.
c) Hai đường tròn tiếp xúc trong.
d) Dây chung dài 66 cm.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Đường tròn (O;10 cm)(O; 10\text{ cm}) tiếp xúc trong với đường tròn (O′;r)(O'; r), r<10r<10 cm, và OO′=3,5OO'=3{,}5 cm. Tính rr (đơn vị: cm).

Câu 2. Hai đường tròn (O;8 cm)(O; 8\text{ cm}) và (O′;2 cm)(O'; 2\text{ cm}) tiếp xúc ngoài. Một tiếp tuyến chung tiếp xúc với hai đường tròn tại BB và CC, không đi qua tiếp điểm của hai đường tròn. Tính BCBC (đơn vị: cm).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: C. OO′=8−3=R−rOO'=8-3=R-r nên hai đường tròn tiếp xúc trong. B nhầm với R+r=11R+r=11.
  2. Phần I, câu 2: D. OO′=3<R−r=4OO'=3<R-r=4 nên (O)(O) đựng (O′)(O'). A chỉ so sánh với R+rR+r.
  3. Phần I, câu 3: B. OH=3OH=3 cm nên AH=25−9=4AH=\sqrt{25-9}=4 cm và AB=8AB=8 cm. A quên nhân đôi, D cộng dưới dấu căn.
  4. Phần I, câu 4: B. Tiếp xúc ngoài nên OO′=R+r=9OO'=R+r=9 cm. A là trường hợp tiếp xúc trong.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng. a) Đúng: 2<4<82<4<8. b) Đúng: OO′OO' là trung trực của dây chung. c) Sai: 4≠R−r4\neq R-r. d) Đúng: 25−x2=9−(4−x)225-x^2=9-(4-x)^2 cho x=4x=4, nên HH trùng O′O', AH=3AH=3.
  6. Phần III, câu 1: 6,5. Tiếp xúc trong nên 10−r=3,510-r=3{,}5, suy ra r=6,5r=6{,}5 cm.
  7. Phần III, câu 2: 8. OO′=10OO'=10 cm, OK=8−2=6OK=8-2=6 cm, nên BC=102−62=8BC=\sqrt{10^2-6^2}=8 cm.