Lemonmath
English

Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1.1 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

Bạn Lan có 6060 nghìn đồng để mua đồ dùng học tập. Mỗi chiếc bút giá 55 nghìn đồng, mỗi quyển vở giá 88 nghìn đồng, và Lan muốn tiêu vừa hết số tiền. Lan có thể mua bao nhiêu bút, bao nhiêu vở? Nếu Lan muốn mua đúng 99 món đồ thì sao?

Bài toán có hai số chưa biết: số bút và số vở. Ta cần một loại phương trình mới, có hai ẩn.

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khám phá: những cách mua vừa hết tiền

Gọi xx là số bút, yy là số vở. Tổng số tiền là 5x+8y5x+8y (nghìn đồng), nên điều kiện "vừa hết tiền" là 5x+8y=605x+8y=60. Ta thử vài giá trị của xx và tính y=60−5x8y=\dfrac{60-5x}{8}:

xx 00 44 88 1212
yy 7,57{,}5 55 2,52{,}5 00

Mỗi giá trị của xx cho một giá trị của yy, nên có rất nhiều cặp số thoả mãn. Nhưng số bút, số vở phải là số tự nhiên, nên chỉ có hai cách mua: 44 bút và 55 vở, hoặc 1212 bút.

Biểu diễn tập nghiệm bằng đường thẳng

Phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Mỗi nghiệm (x0;y0)(x_0; y_0) là một điểm trong mặt phẳng toạ độ, và tất cả các điểm đó nằm trên một đường thẳng.

  • Nếu b≠0b\neq 0: ta viết y=−abx+cby=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}. Đây là đồ thị của hàm số bậc nhất (hoặc hàm hằng khi a=0a=0) mà bạn đã học ở lớp 8.
  • Nếu b=0b=0 (khi đó a≠0a\neq0): phương trình trở thành x=cax=\dfrac{c}{a}, là một đường thẳng song song với trục tung (hoặc trùng với trục tung khi c=0c=0).
-3-2-112356-2-112345xyO(0; 2)(4; 0)y = 3x = −1
Ba đường thẳng biểu diễn tập nghiệm

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Quay lại bài toán của Lan. Nếu Lan muốn mua đúng 99 món đồ thì xx và yy phải thoả mãn cùng lúc hai phương trình: 5x+8y=605x+8y=60 và x+y=9x+y=9.

Về hình học, nghiệm của hệ là toạ độ giao điểm của hai đường thẳng biểu diễn hai phương trình.

Bây giờ ta trả lời câu hỏi thứ hai ở đầu bài.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax+by=cax+by=c với a≠0a\neq0 hoặc b≠0b\neq0.
  • (x0;y0)(x_0; y_0) là nghiệm khi ax0+by0=cax_0+by_0=c; phương trình có vô số nghiệm.
  • Tập nghiệm là một đường thẳng: y=−abx+cby=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b} nếu b≠0b\neq0; x=cax=\dfrac{c}{a} nếu b=0b=0.
  • Nghiệm của hệ hai phương trình là cặp số thoả mãn cả hai phương trình, tức là giao điểm của hai đường thẳng.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn? a) 3x−y=23x-y=2; b) 0x+5y=−100x+5y=-10; c) x+y2=4x+y^2=4; d) 0x+0y=70x+0y=7.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: ax+by=cax+by=c là phương trình bậc nhất hai ẩn khi a≠0a\neq0 hoặc b≠0b\neq0, và xx, yy không có số mũ khác 11.

Gợi ý các bước:

  1. Đọc hệ số của xx và yy trong từng phương trình.
  2. Loại phương trình có y2y^2 và phương trình có cả hai hệ số bằng 00.
Xem lời giải

a) a=3a=3, b=−1b=-1: đúng dạng. b) a=0a=0, b=5≠0b=5\neq0: đúng dạng. c) có y2y^2: không phải. d) a=b=0a=b=0: không phải.

Đáp số. a) và b).

Bài 2

Cặp số nào là nghiệm của phương trình 3x+2y=83x+2y=8: (2;1)(2; 1), (0;4)(0; 4), (4;−2)(4; -2), (1;3)(1; 3)?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: (x0;y0)(x_0; y_0) là nghiệm khi 3x0+2y0=83x_0+2y_0=8.

Gợi ý các bước:

  1. Thay từng cặp vào 3x+2y3x+2y.
  2. So sánh kết quả với 88.
Xem lời giải

3⋅2+2⋅1=83\cdot2+2\cdot1=8; 3⋅0+2⋅4=83\cdot0+2\cdot4=8; 3⋅4+2⋅(−2)=83\cdot4+2\cdot(-2)=8; 3⋅1+2⋅3=9≠83\cdot1+2\cdot3=9\neq8.

Đáp số. (2;1)(2; 1), (0;4)(0; 4) và (4;−2)(4; -2).

Bài 3

Tìm xx để (x;−1)(x; -1) là nghiệm của phương trình 4x+3y=94x+3y=9.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: thay giá trị đã biết vào phương trình, ta được một phương trình bậc nhất một ẩn.

Gợi ý các bước:

  1. Thay y=−1y=-1.
  2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được.
Xem lời giải

4x−3=9  ⟺  4x=12  ⟺  x=34x-3=9\iff 4x=12\iff x=3.

Đáp số. x=3x=3.

Bài 4

Biểu diễn tập nghiệm của mỗi phương trình: a) 2x−y=12x-y=1; b) 0x+2y=60x+2y=6.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khi b≠0b\neq0, viết yy theo xx rồi vẽ đường thẳng qua hai điểm.

Gợi ý các bước:

  1. Đưa về dạng y=…y=\dots.
  2. Tìm hai điểm của đường thẳng (ví dụ với x=0x=0 và x=1x=1).
Xem lời giải

a) y=2x−1y=2x-1: đường thẳng đi qua (0;−1)(0; -1) và (1;1)(1; 1). b) 2y=6  ⟺  y=32y=6\iff y=3: đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại (0;3)(0; 3).

Đáp số. a) Đường thẳng y=2x−1y=2x-1; b) đường thẳng y=3y=3.

Bài 5

Một nhóm 77 người đi xem phim. Vé học sinh giá 4545 nghìn đồng, vé người lớn giá 7070 nghìn đồng, cả nhóm trả 365365 nghìn đồng. Gọi xx là số học sinh, yy là số người lớn. Lập hệ phương trình, rồi cho biết cặp nào trong (5;2)(5; 2) và (4;3)(4; 3) là nghiệm của hệ.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: mỗi điều kiện của đề cho một phương trình; nghiệm của hệ thoả mãn cả hai.

Gợi ý các bước:

  1. Số người cho x+y=7x+y=7.
  2. Số tiền cho 45x+70y=36545x+70y=365.
  3. Thay từng cặp vào cả hai phương trình.
Xem lời giải

Hệ: x+y=7x+y=7 và 45x+70y=36545x+70y=365. Với (5;2)(5; 2): 5+2=75+2=7, 225+140=365225+140=365. Với (4;3)(4; 3): 4+3=74+3=7 nhưng 180+210=390≠365180+210=390\neq365.

Đáp số. (5;2)(5; 2): nhóm có 55 học sinh và 22 người lớn.

Bài 6 Ôn tập

Viết phương trình 3x+y=53x+y=5 dưới dạng y=ax+by=ax+b. Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm có hệ số góc bằng bao nhiêu và cắt trục tung tại điểm nào?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đường thẳng y=ax+by=ax+b có hệ số góc aa và cắt trục tung tại (0;b)(0; b) (lớp 8).

Gợi ý các bước:

  1. Chuyển 3x3x sang vế phải.
  2. Đọc aa và bb.
Xem lời giải

3x+y=5  ⟺  y=−3x+53x+y=5\iff y=-3x+5, nên a=−3a=-3, b=5b=5.

Đáp số. Hệ số góc −3-3; cắt trục tung tại (0;5)(0; 5).

Bài 7

Cho phương trình x−2y=4x-2y=4.

a) Tìm nghiệm của phương trình có x=0x=0 và nghiệm có y=0y=0.

b) Vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình.

c) Trong hai nghiệm (6;1)(6; 1) và (2;−1)(2; -1) của phương trình, nghiệm nào cũng là nghiệm của phương trình 2x+y=32x+y=3?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hai nghiệm cho hai điểm của đường thẳng; nghiệm chung của hai phương trình là nghiệm của hệ.

Gợi ý các bước:

  1. Thay x=0x=0, rồi y=0y=0.
  2. Vẽ đường thẳng qua hai điểm vừa tìm.
  3. Thay từng cặp vào 2x+y2x+y.
Xem lời giải

a) x=0x=0: −2y=4  ⟺  y=−2-2y=4\iff y=-2. y=0y=0: x=4x=4. Hai nghiệm là (0;−2)(0; -2) và (4;0)(4; 0).

b) Đường thẳng đi qua (0;−2)(0; -2) và (4;0)(4; 0), tức là y=12x−2y=\dfrac12x-2.

c) 2⋅6+1=13≠32\cdot6+1=13\neq3; 2⋅2+(−1)=32\cdot2+(-1)=3.

Đáp số. a) (0;−2)(0; -2), (4;0)(4; 0); b) đường thẳng qua hai điểm đó; c) (2;−1)(2; -1).

Bài 8 Thử thách

Một cửa hàng bán nhãn dán giá 33 nghìn đồng một tờ và 55 nghìn đồng một tờ. Bạn Hùng muốn mua mỗi loại ít nhất một tờ và tiêu vừa hết 4040 nghìn đồng. Hãy tìm tất cả các cách mua.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: cách mua là nghiệm (x;y)(x; y) của 3x+5y=403x+5y=40 với xx, yy là số nguyên dương.

Gợi ý các bước:

  1. Viết 5y=40−3x5y=40-3x; vì 4040 và 5y5y chia hết cho 55, nên 3x3x chia hết cho 55.
  2. Suy ra xx chia hết cho 55; thử x=5,10,15x=5, 10, 15.
Xem lời giải

xx phải chia hết cho 55 và 3x<403x<40, nên x∈{5;10}x\in\{5; 10\}. Với x=5x=5: 5y=255y=25, y=5y=5. Với x=10x=10: 5y=105y=10, y=2y=2. (Với x=15x=15 thì 3x=45>403x=45>40.)

Đáp số. Hai cách: 55 tờ loại 33 nghìn và 55 tờ loại 55 nghìn, hoặc 1010 tờ loại 33 nghìn và 22 tờ loại 55 nghìn.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?
Câu 2. Cặp số nào là nghiệm của phương trình x−3y=2x-3y=2?
Câu 3. Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của phương trình 0x+2y=−40x+2y=-4 là
Câu 4. Cặp số nào là nghiệm của hệ {x+y=52x−y=1\begin{cases} x+y=5\\ 2x-y=1 \end{cases}?

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho phương trình 2x+y=72x+y=7.
a) (3;1)(3; 1) là một nghiệm của phương trình.
b) Phương trình có đúng một nghiệm.
c) Đường thẳng biểu diễn tập nghiệm đi qua điểm (0;7)(0; 7).
d) (3;1)(3; 1) cũng là nghiệm của hệ {2x+y=7x−y=1\begin{cases} 2x+y=7\\ x-y=1 \end{cases}.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Cho phương trình 3x−2y=123x-2y=12. Tìm yy để (2;y)(2; y) là nghiệm của phương trình.

Câu 2. Phương trình x+2y=9x+2y=9 có bao nhiêu nghiệm (x;y)(x; y) mà xx và yy đều là số nguyên dương?

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: C. Hệ số của xx khác 00. B có cả hai hệ số bằng 00; A, D có số hạng bậc hai.
  2. Phần I, câu 2: A. 5−3⋅1=25-3\cdot1=2. Phương án B đảo thứ tự xx, yy; D cho −1−3=−4-1-3=-4 (nếu tính sai dấu sẽ ra −1+3=2-1+3=2).
  3. Phần I, câu 3: A. 2y=−4  ⟺  y=−22y=-4\iff y=-2. Phương án B nhầm xx với yy; D quên chia cho 22.
  4. Phần I, câu 4: A. 2+3=52+3=5 và 4−3=14-3=1. Các phương án B, C chỉ thoả mãn phương trình thứ nhất, D chỉ thoả mãn phương trình thứ hai.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai. a) Đúng: 6+1=76+1=7. b) Sai: phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm. c) Đúng: 0+7=70+7=7. d) Sai: 3−1=2≠13-1=2\neq1.
  6. Phần III, câu 1: -3. 6−2y=12  ⟺  −2y=6  ⟺  y=−36-2y=12\iff -2y=6\iff y=-3.
  7. Phần III, câu 2: 4. x=9−2y>0x=9-2y>0 nên y∈{1;2;3;4}y\in\{1; 2; 3; 4\}, cho các nghiệm (7;1)(7; 1), (5;2)(5; 2), (3;3)(3; 3), (1;4)(1; 4).