Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai là một trong những bài toán lâu đời nhất của loài người. Trên các tấm đất sét của người Babylon, có tấm đã khoảng $4000$ năm tuổi, đã có những bài toán kiểu "tìm cạnh của hình chữ nhật khi biết diện tích và hiệu hai cạnh". Khoảng năm $830$ , nhà toán học al-Khwarizmi ở Baghdad giải những phương trình như vậy bằng cách ghép hình để "đưa về hình vuông", và từ tên cuốn sách của ông (Hisab al-jabr w'al-muqabala) mà có chữ "algebra", tức đại số (theo MacTutor, Đại học St Andrews).

Bài toán của người xưa vẫn rất gần với ta. Giả sử nhà bạn có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều dài hơn chiều rộng $3$ m và diện tích là $40$ m². Chiều rộng của mảnh vườn là bao nhiêu? Gọi chiều rộng là $x$ (m), ta có $x(x+3)=40$ , tức là $x^2+3x-40=0$ . Thử từng số thì mất công, và không phải lúc nào nghiệm cũng là số nguyên. Bài này cho bạn một công thức giải được mọi phương trình như vậy.

Hiểu sâu hơn. Điều kiện $a\neq0$ là cốt lõi: nếu $a=0$ thì phương trình trở thành $bx+c=0$ , là phương trình bậc nhất mà bạn đã biết giải. Các hệ số $b$ , $c$ thì có thể bằng $0$ . Phương trình $x^3-2x=0$ (bậc ba) hay $\dfrac1x+x=2$ (ẩn ở mẫu) không phải là phương trình bậc hai, dù có thể biến đổi về những dạng quen thuộc.

Giải phương trình bậc hai dạng đặc biệt

Khi $c=0$ , ta đặt nhân tử chung $x$ để đưa về phương trình tích. Khi $b=0$ , ta đưa về dạng $x^2=k$ rồi dùng căn bậc hai.

Phương trình $x^2=k$ có bao nhiêu nghiệm? Đó chính là số giao điểm của parabol $y=x^2$ (bài hàm số $y=ax^2$ ) với đường thẳng nằm ngang $y=k$ : hai giao điểm khi $k>0$ , một khi $k=0$ , không có khi $k<0$ .

Số nghiệm của

x^2=k

Khám phá: đưa về bình phương

Câu c) gợi ý một ý tưởng: nếu viết được vế trái thành một bình phương thì ta giải được. Thử với $x^2-6x+5=0$ . Vì $(x-3)^2=x^2-6x+9$ , ta thêm $4$ vào hai vế:

$x^2-6x+5=0\Leftrightarrow x^2-6x+9=4\Leftrightarrow(x-3)^2=4\Leftrightarrow x-3=\pm2.$

Do đó $x=5$ hoặc $x=1$ . Đây cũng chính là cách al-Khwarizmi "ghép thành hình vuông". Làm như vậy với các hệ số bất kì, ta được công thức nghiệm.

Công thức nghiệm

Vì sao? Chia hai vế cho $a$ , rồi thêm bớt như ở phần khám phá, ta được

$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}=\frac{\Delta}{4a^2}.$

Vế phải có mẫu $4a^2>0$ , nên dấu của nó là dấu của $\Delta$ . Đây đúng là dạng $X^2=k$ ở trên: $\Delta>0$ cho hai nghiệm, $\Delta=0$ cho một nghiệm, $\Delta<0$ thì vô nghiệm (vì bình phương không âm). Chữ "biệt thức" nghĩa là biểu thức giúp phân biệt ba trường hợp.

Ví dụ Ba trường hợp của

\Delta

Giải các phương trình sau:

a) $2x^2-5x+2=0$ .

b) $4x^2-4x+1=0$ .

c) $x^2+x+3=0$ .

Lời giải. a) Ta có $\Delta=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9>0$ , $\sqrt\Delta=3$ . Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{5+3}{4}=2,\qquad x_2=\frac{5-3}{4}=\frac12.$

b) Ta có $\Delta=(-4)^2-4\cdot4\cdot1=0$ . Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{4}{2\cdot4}=\dfrac12$ .

c) Ta có $\Delta=1^2-4\cdot1\cdot3=-11<0$ . Phương trình vô nghiệm.

Vậy a) $x=2$ , $x=\dfrac12$ ; b) $x=\dfrac12$ ; c) vô nghiệm.

Bây giờ ta trả lời câu hỏi ở đầu bài, đi đủ bốn bước của việc giải một bài toán.

Ví dụ Mảnh vườn ở đầu bài

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng $3$ m và diện tích là $40$ m². Tính chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn.

Lời giải.

Hiểu đề. Biết hiệu hai cạnh ( $3$ m) và diện tích ( $40$ m²); cần tìm hai cạnh.

Tìm cách giải. Gọi chiều rộng là $x$ (m), $x>0$ ; chiều dài là $x+3$ (m). Diện tích cho phương trình $x(x+3)=40$ , tức $x^2+3x-40=0$ .

Giải. Ta có $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot(-40)=169>0$ , $\sqrt\Delta=13$ . Do đó

$x_1=\frac{-3+13}{2}=5,\qquad x_2=\frac{-3-13}{2}=-8.$

Vì $x>0$ nên $x=5$ . Vậy mảnh vườn rộng $5$ m và dài $8$ m.

Nhìn lại. Thử lại: $5\cdot8=40$ và $8-5=3$ . Nghiệm $-8$ không phải là độ dài nhưng không vô nghĩa: $x^2+3x-40=(x-5)(x+8)$ , nên $-8$ là "nghiệm thứ hai" của cùng phương trình. Có cách khác không? Ta có thể tìm hai số có tích $40$ và hơn kém nhau $3$ ; bài định lí Viète sẽ biến cách đoán này thành phương pháp.

Công thức nghiệm thu gọn

Khi $b$ là số chẵn, đặt $b=2b'$ . Khi đó $\Delta=4b'^2-4ac=4(b'^2-ac)$ , và các phân số trong công thức nghiệm rút gọn được cho $2$ .

Kết nối. Phương trình bậc hai nối liền nhiều điều bạn đã học: hằng đẳng thức (để đưa về bình phương), căn bậc hai (để lấy nghiệm), phương trình tích (khi $c=0$ ) và parabol $y=x^2$ (để "nhìn thấy" số nghiệm). Tiếp theo, định lí Viète cho biết tổng và tích hai nghiệm mà không cần giải, và bài giải bài toán bằng cách lập phương trình dùng công thức nghiệm cho nhiều tình huống thực tế.

Thuật ngữ

Tiếng Việt	English
phương trình bậc hai một ẩn	quadratic equation in one unknown
hệ số	coefficient
biệt thức	discriminant
công thức nghiệm	quadratic formula
biệt thức thu gọn	reduced discriminant
hai nghiệm phân biệt	two distinct roots
nghiệm kép	repeated root
vô nghiệm	no (real) solutions
đưa về bình phương	completing the square

Tóm tắt

Phương trình bậc hai: $ax^2+bx+c=0$ với $a\neq0$ .
$c=0$ : đặt nhân tử chung $x$ ; $b=0$ : đưa về $x^2=k$ .
$\Delta=b^2-4ac$ : $\Delta>0$ hai nghiệm $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; $\Delta=0$ nghiệm kép $-\dfrac{b}{2a}$ ; $\Delta<0$ vô nghiệm.
$b=2b'$ : $\Delta'=b'^2-ac$ , $x_{1,2}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$ .
$a$ , $c$ trái dấu thì luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài toán thực tế: đối chiếu nghiệm với điều kiện của ẩn.

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Giải các phương trình sau:

a) $5x^2-20=0$ .

b) $-2x^2+6x=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $b=0$ thì đưa về $x^2=k$ ; $c=0$ thì đặt nhân tử chung.

Gợi ý các bước:

a) Chuyển vế, chia cho $5$ .
b) Viết $-2x(x-3)=0$ .

Xem lời giải

a) Ta có $5x^2=20\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-2$ .

b) Ta có $-2x(x-3)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3$ .

Vậy a) $x=\pm2$ ; b) $x=0$ , $x=3$ .

Đáp số. a) $x=2$ , $x=-2$ ; b) $x=0$ , $x=3$ .

Bài 2

Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm:

a) $x^2-7x+10=0$ .

b) $2x^2+x-1=0$ .

c) $9x^2-6x+1=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $\Delta=b^2-4ac$ và công thức nghiệm.

Gợi ý các bước:

Xác định $a$ , $b$ , $c$ và tính $\Delta$ .
Xét dấu $\Delta$ rồi áp dụng công thức.

Xem lời giải

a) Ta có $\Delta=49-40=9$ , $\sqrt\Delta=3$ , nên $x_1=\dfrac{7+3}{2}=5$ , $x_2=\dfrac{7-3}{2}=2$ .

b) Ta có $\Delta=1+8=9$ , nên $x_1=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12$ , $x_2=\dfrac{-1-3}{4}=-1$ .

c) Ta có $\Delta=36-36=0$ , nên phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{6}{18}=\dfrac13$ .

Vậy a) $x=5$ , $x=2$ ; b) $x=\dfrac12$ , $x=-1$ ; c) $x=\dfrac13$ .

Đáp số. a) $5$ ; $2$ . b) $\dfrac12$ ; $-1$ . c) Nghiệm kép $\dfrac13$ .

Bài 3

Giải các phương trình sau bằng công thức nghiệm thu gọn:

a) $x^2-4x-1=0$ .

b) $5x^2+2x+1=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: $b=2b'$ , $\Delta'=b'^2-ac$ .

Gợi ý các bước:

Tìm $b'$ , tính $\Delta'$ .
Áp dụng $x_{1,2}=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}$ .

Xem lời giải

a) Ta có $b'=-2$ , $\Delta'=4+1=5>0$ , nên $x_{1,2}=2\pm\sqrt5$ .

b) Ta có $b'=1$ , $\Delta'=1-5=-4<0$ , nên phương trình vô nghiệm.

Vậy a) $x=2+\sqrt5$ , $x=2-\sqrt5$ ; b) vô nghiệm.

Đáp số. a) $x=2\pm\sqrt5$ ; b) vô nghiệm.

Bài 4

Giải các phương trình sau:

a) $(x+1)(x-3)=2x-7$ .

b) $x(x+2)=3(x+4)$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: khai triển, chuyển vế để đưa về dạng $ax^2+bx+c=0$ .

Gợi ý các bước:

Khai triển hai vế, chuyển tất cả sang vế trái.
Giải phương trình bậc hai nhận được.

Xem lời giải

a) Ta có $x^2-2x-3=2x-7\Leftrightarrow x^2-4x+4=0$ . Ta có $\Delta'=4-4=0$ , nên phương trình có nghiệm kép $x=2$ .

b) Ta có $x^2+2x=3x+12\Leftrightarrow x^2-x-12=0$ . Ta có $\Delta=1+48=49$ , nên $x_1=\dfrac{1+7}{2}=4$ , $x_2=\dfrac{1-7}{2}=-3$ .

Vậy a) $x=2$ ; b) $x=4$ , $x=-3$ .

Đáp số. a) $x=2$ ; b) $x=4$ , $x=-3$ .

Bài 5

Giả sử một quả bóng được đá thẳng lên từ mặt đất, độ cao của nó sau $t$ giây là $h=-5t^2+20t$ (mét). Hỏi sau bao nhiêu giây quả bóng ở độ cao $15$ m?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: giải phương trình $-5t^2+20t=15$ với $t\geq0$ .

Gợi ý các bước:

Chuyển vế và chia hai vế cho $-5$ .
Giải phương trình nhận được, rồi giải thích ý nghĩa của hai nghiệm.

Xem lời giải

Ta có $-5t^2+20t=15\Leftrightarrow t^2-4t+3=0$ . Ta có $\Delta'=4-3=1$ , nên $t_1=2+1=3$ , $t_2=2-1=1$ .

Vậy quả bóng ở độ cao $15$ m hai lần: sau $1$ giây (khi đang lên) và sau $3$ giây (khi đang rơi xuống).

Đáp số. Sau $1$ giây và sau $3$ giây.

Bài 6

Giả sử bác Lan gửi tiết kiệm $100$ triệu đồng với lãi suất $r$ mỗi năm, lãi của năm đầu được cộng vào gốc để tính lãi năm sau (lãi kép). Sau $2$ năm, bác nhận được $112{,}36$ triệu đồng. Tính lãi suất $r$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: sau mỗi năm, số tiền được nhân với $1+r$ .

Gợi ý các bước:

Lập phương trình $100(1+r)^2=112{,}36$ .
Giải dạng $X^2=k$ với $X=1+r>0$ .

Xem lời giải

Sau $2$ năm, số tiền là $100(1+r)^2$ (triệu đồng). Ta có

$100(1+r)^2=112{,}36\Leftrightarrow(1+r)^2=1{,}1236\Leftrightarrow 1+r=1{,}06\ \text{(vì }1+r>0).$

Suy ra $r=0{,}06$ .

Vậy lãi suất là $6\%$ một năm.

Đáp số. $r=6\%$ một năm.

Bài 7

Giải phương trình $\dfrac{x}{x-2}-\dfrac1x=\dfrac{2}{x(x-2)}$ . (Ôn lại phương trình chứa ẩn ở mẫu.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: tìm điều kiện xác định, quy đồng và khử mẫu, đối chiếu điều kiện.

Gợi ý các bước:

Điều kiện xác định: $x\neq0$ , $x\neq2$ .
Nhân hai vế với $x(x-2)$ .
Giải phương trình bậc hai nhận được rồi loại nghiệm không thoả mãn.

Xem lời giải

Điều kiện xác định: $x\neq0$ , $x\neq2$ . Quy đồng và khử mẫu, ta được

$x^2-(x-2)=2\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\ \text{ hoặc }\ x=1.$

Giá trị $x=0$ không thoả mãn điều kiện xác định, $x=1$ thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

Đáp số. $x=1$ .

Bài 8

(2,0 điểm)

a) Giải phương trình $2x^2-3x-5=0$ .

b) Tìm toạ độ giao điểm của parabol $(P): y=x^2$ và đường thẳng $(d): y=x+2$ .

c) Giải phương trình $x^2-2\sqrt2x-6=0$ .

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: công thức nghiệm; giao điểm của $(P)$ và $(d)$ có hoành độ là nghiệm của $x^2=x+2$ .

Gợi ý các bước:

a) Tính $\Delta$ .
b) Giải $x^2-x-2=0$ , rồi tính $y=x^2$ .
c) Dùng $b'=-\sqrt2$ .

Xem lời giải

a) Ta có $\Delta=9+40=49$ , nên $x_1=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac52$ , $x_2=\dfrac{3-7}{4}=-1$ .

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của $x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0$ . Ta có $\Delta=1+8=9$ , nên $x=2$ hoặc $x=-1$ . Với $x=2$ thì $y=4$ ; với $x=-1$ thì $y=1$ .

c) Ta có $b'=-\sqrt2$ , $\Delta'=2+6=8$ , $\sqrt{\Delta'}=2\sqrt2$ . Do đó $x_1=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$ , $x_2=\sqrt2-2\sqrt2=-\sqrt2$ .

Vậy a) $x=\dfrac52$ , $x=-1$ ; b) hai giao điểm là $(2; 4)$ và $(-1; 1)$ ; c) $x=3\sqrt2$ , $x=-\sqrt2$ .

Đáp số. a) $\dfrac52$ ; $-1$ . b) $(2; 4)$ , $(-1; 1)$ . c) $3\sqrt2$ ; $-\sqrt2$ .

Bài 9 Thử thách

Từ một tấm tôn hình chữ nhật dài $30$ cm, rộng $20$ cm, người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gập lên để được một chiếc hộp không nắp. Để đáy hộp có diện tích $336$ cm² thì cạnh hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu? Khi đó hộp chứa được bao nhiêu xăng-ti-mét khối?

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: đáy hộp là hình chữ nhật $(30-2x)\times(20-2x)$ , chiều cao hộp bằng $x$ .

Gợi ý các bước:

Gọi cạnh hình vuông là $x$ (cm), $0<x<10$ .
Lập và giải phương trình $(30-2x)(20-2x)=336$ .
Đối chiếu điều kiện, rồi tính thể tích.

Xem lời giải

Gọi cạnh hình vuông là $x$ (cm), $0<x<10$ . Theo đề bài ta có phương trình

$(30-2x)(20-2x)=336\Leftrightarrow4x^2-100x+264=0\Leftrightarrow x^2-25x+66=0.$

Ta có $\Delta=625-264=361$ , $\sqrt\Delta=19$ , nên $x_1=\dfrac{25+19}{2}=22$ (loại vì $22>10$ ), $x_2=\dfrac{25-19}{2}=3$ (thoả mãn điều kiện). Khi đó thể tích hộp là $336\cdot3=1008$ (cm³).

Vậy cạnh hình vuông là $3$ cm và hộp chứa được $1008$ cm³.

Đáp số. $3$ cm; $1008$ cm³.

Kiểm tra mini

Lời giải và đáp án

Hãy tự làm từng bài trước, rồi mới đối chiếu ở đây.

Bài 1.

a) Ta có $5x^2=20\Leftrightarrow x^2=4\Leftrightarrow x=2$ hoặc $x=-2$ .

b) Ta có $-2x(x-3)=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=3$ .

Vậy a) $x=\pm2$ ; b) $x=0$ , $x=3$ .

Đáp số. a) $x=2$ , $x=-2$ ; b) $x=0$ , $x=3$ .

Bài 2.

a) Ta có $\Delta=49-40=9$ , $\sqrt\Delta=3$ , nên $x_1=\dfrac{7+3}{2}=5$ , $x_2=\dfrac{7-3}{2}=2$ .

b) Ta có $\Delta=1+8=9$ , nên $x_1=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac12$ , $x_2=\dfrac{-1-3}{4}=-1$ .

c) Ta có $\Delta=36-36=0$ , nên phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=\dfrac{6}{18}=\dfrac13$ .

Vậy a) $x=5$ , $x=2$ ; b) $x=\dfrac12$ , $x=-1$ ; c) $x=\dfrac13$ .

Đáp số. a) $5$ ; $2$ . b) $\dfrac12$ ; $-1$ . c) Nghiệm kép $\dfrac13$ .

Bài 3.

a) Ta có $b'=-2$ , $\Delta'=4+1=5>0$ , nên $x_{1,2}=2\pm\sqrt5$ .

b) Ta có $b'=1$ , $\Delta'=1-5=-4<0$ , nên phương trình vô nghiệm.

Vậy a) $x=2+\sqrt5$ , $x=2-\sqrt5$ ; b) vô nghiệm.

Đáp số. a) $x=2\pm\sqrt5$ ; b) vô nghiệm.

Bài 4.

a) Ta có $x^2-2x-3=2x-7\Leftrightarrow x^2-4x+4=0$ . Ta có $\Delta'=4-4=0$ , nên phương trình có nghiệm kép $x=2$ .

b) Ta có $x^2+2x=3x+12\Leftrightarrow x^2-x-12=0$ . Ta có $\Delta=1+48=49$ , nên $x_1=\dfrac{1+7}{2}=4$ , $x_2=\dfrac{1-7}{2}=-3$ .

Vậy a) $x=2$ ; b) $x=4$ , $x=-3$ .

Đáp số. a) $x=2$ ; b) $x=4$ , $x=-3$ .

Bài 5.

Ta có $-5t^2+20t=15\Leftrightarrow t^2-4t+3=0$ . Ta có $\Delta'=4-3=1$ , nên $t_1=2+1=3$ , $t_2=2-1=1$ .

Vậy quả bóng ở độ cao $15$ m hai lần: sau $1$ giây (khi đang lên) và sau $3$ giây (khi đang rơi xuống).

Đáp số. Sau $1$ giây và sau $3$ giây.

Bài 6.

Sau $2$ năm, số tiền là $100(1+r)^2$ (triệu đồng). Ta có

$100(1+r)^2=112{,}36\Leftrightarrow(1+r)^2=1{,}1236\Leftrightarrow 1+r=1{,}06\ \text{(vì }1+r>0).$

Suy ra $r=0{,}06$ .

Vậy lãi suất là $6\%$ một năm.

Đáp số. $r=6\%$ một năm.

Bài 7.

Điều kiện xác định: $x\neq0$ , $x\neq2$ . Quy đồng và khử mẫu, ta được

$x^2-(x-2)=2\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow x(x-1)=0\Leftrightarrow x=0\ \text{ hoặc }\ x=1.$

Giá trị $x=0$ không thoả mãn điều kiện xác định, $x=1$ thoả mãn.

Vậy phương trình có nghiệm $x=1$ .

Đáp số. $x=1$ .

Bài 8.

a) Ta có $\Delta=9+40=49$ , nên $x_1=\dfrac{3+7}{4}=\dfrac52$ , $x_2=\dfrac{3-7}{4}=-1$ .

b) Hoành độ giao điểm là nghiệm của $x^2=x+2\Leftrightarrow x^2-x-2=0$ . Ta có $\Delta=1+8=9$ , nên $x=2$ hoặc $x=-1$ . Với $x=2$ thì $y=4$ ; với $x=-1$ thì $y=1$ .

c) Ta có $b'=-\sqrt2$ , $\Delta'=2+6=8$ , $\sqrt{\Delta'}=2\sqrt2$ . Do đó $x_1=\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$ , $x_2=\sqrt2-2\sqrt2=-\sqrt2$ .

Vậy a) $x=\dfrac52$ , $x=-1$ ; b) hai giao điểm là $(2; 4)$ và $(-1; 1)$ ; c) $x=3\sqrt2$ , $x=-\sqrt2$ .

Đáp số. a) $\dfrac52$ ; $-1$ . b) $(2; 4)$ , $(-1; 1)$ . c) $3\sqrt2$ ; $-\sqrt2$ .

Bài 9.

Gọi cạnh hình vuông là $x$ (cm), $0<x<10$ . Theo đề bài ta có phương trình

$(30-2x)(20-2x)=336\Leftrightarrow4x^2-100x+264=0\Leftrightarrow x^2-25x+66=0.$

Vậy cạnh hình vuông là $3$ cm và hộp chứa được $1008$ cm³.

Đáp số. $3$ cm; $1008$ cm³.

Kiểm tra mini: đáp án

Phần I, câu 1: C. $a=-1\neq0$ , $b=0$ , $c=5$ . A và D (có $a=0$ ) là phương trình bậc nhất, B là phương trình bậc ba.
Phần I, câu 2: A. $\Delta=9-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25$ . B sai dấu của $c$ , C dùng $2ac$ thay cho $4ac$ , D viết $b^2=-9$ .
Phần I, câu 3: B. $\Delta'=9-9=0$ , nghiệm kép $x=-\dfrac{b'}{a}=3$ . A nhầm với phương trình $x^2=9$ , C sai dấu của $b'$ , D tính nhầm $\Delta'=-9-9<0$ .
Phần I, câu 4: A. $b'=-2$ , $\Delta'=4-3\cdot(-1)=7$ . B sai dấu của $c$ , C là $\Delta$ , D dùng $b^2$ thay cho $b'^2$ .
Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Sai. a) Đúng. b) Đúng: $\Delta'=1+8=9$ . c) Sai: $x=1\pm3$ , tức $x=4$ , $x=-2$ . d) Sai: $\Delta'>0$ .
Phần III, câu 1: 3. $\Delta=1+48=49$ , $x=\dfrac{-1\pm7}{2}$ , tức $x=3$ hoặc $x=-4$ .
Phần III, câu 2: -0,5. $\Delta=25+24=49$ , $x=\dfrac{5\pm7}{4}$ , tức $x=3$ hoặc $x=-0{,}5$ .

Phương trình bậc hai một ẩn