Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Gọi số nhỏ là $x$ ($x$ là số tự nhiên chẵn). Ta có phương trình $x(x+2)=224\Leftrightarrow x^2+2x-224=0$. Ta có $\Delta'=1+224=225$, nên $x=-1+15=14$ (thoả mãn) hoặc $x=-1-15=-16$ (loại).

Vậy hai số cần tìm là $14$ và $16$.

Đáp số. $14$ và $16$.

Gọi cạnh góc vuông ngắn hơn là $x$ (cm), $x>0$. Theo định lí Pythagore ta có

$$x^2+(x+7)^2=169\Leftrightarrow2x^2+14x-120=0\Leftrightarrow x^2+7x-60=0.$$

Ta có $\Delta=49+240=289$, nên $x=\dfrac{-7+17}{2}=5$ (thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{-7-17}{2}=-12$ (loại).

Vậy hai cạnh góc vuông dài $5$ cm và $12$ cm.

Đáp số. $5$ cm và $12$ cm.

Gọi số sản phẩm mỗi ngày theo kế hoạch là $x$ ($x\in\mathbb{N}^*$). Theo đề bài ta có phương trình

$$\frac{600}{x}-\frac{600}{x+10}=2\Leftrightarrow6000=2x(x+10)\Leftrightarrow x^2+10x-3000=0.$$

Ta có $\Delta'=25+3000=3025$, $\sqrt{\Delta'}=55$, nên $x=-5+55=50$ (thoả mãn) hoặc $x=-60$ (loại).

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ phải làm $50$ sản phẩm.

Đáp số. $50$ sản phẩm.

Gọi vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $x$ (km/h), $x>2$. Theo đề bài ta có phương trình

$$\frac{35}{x+2}+\frac{35}{x-2}=6\Leftrightarrow35(x-2)+35(x+2)=6(x^2-4)\Leftrightarrow3x^2-35x-12=0.$$

Ta có $\Delta=1225+144=1369$, $\sqrt\Delta=37$, nên $x=\dfrac{35+37}{6}=12$ (thoả mãn) hoặc $x=\dfrac{35-37}{6}=-\dfrac13$ (loại).

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là $12$ km/h.

Đáp số. $12$ km/h.

Gọi tỉ lệ giảm mỗi lần là $r$ ($0<r<1$). Theo đề bài ta có phương trình

$$5(1-r)^2=4{,}05\Leftrightarrow(1-r)^2=0{,}81\Leftrightarrow1-r=0{,}9\ \text{(vì }1-r>0).$$

Suy ra $r=0{,}1$.

Vậy mỗi lần giá giảm $10\%$.

Đáp số. $10\%$.

Gọi chiều rộng viền là $x$ (cm), $x>0$. Ta có phương trình

$$(12+2x)(8+2x)=140\Leftrightarrow4x^2+40x-44=0\Leftrightarrow x^2+10x-11=0.$$

Ta có $a+b+c=1+10-11=0$ nên $x_1=1$ (thoả mãn), $x_2=-11$ (loại).

Vậy viền khung rộng $1$ cm.

Đáp số. $1$ cm.

a) Ta có $\Delta'=1+35=36$, nên $x=1+6=7$ hoặc $x=1-6=-5$.

b) Gọi số bạn lúc đầu là $x$ ($x\in\mathbb{N}^*$). Đơn vị tiền là nghìn đồng. Theo đề bài ta có phương trình

$$\frac{4200}{x}-\frac{4200}{x+2}=10\Leftrightarrow8400=10x(x+2)\Leftrightarrow x^2+2x-840=0.$$

Ta có $\Delta'=1+840=841$, $\sqrt{\Delta'}=29$, nên $x=-1+29=28$ (thoả mãn) hoặc $x=-30$ (loại).

c) Thực tế có $30$ bạn, mỗi bạn trả $4200:30=140$ (nghìn đồng).

Vậy a) $x=7$, $x=-5$; b) lúc đầu nhóm có $28$ bạn; c) mỗi bạn trả $140$ nghìn đồng.

Đáp số. a) $7$; $-5$. b) $28$ bạn. c) $140$ nghìn đồng.

Gọi số lần giảm giá $5$ nghìn đồng là $x$ ($x\in\mathbb{N}$, $x<12$). Khi đó giá vé là $60-5x$ (nghìn đồng), số vé bán được là $300+50x$. Theo đề bài ta có phương trình

$$(60-5x)(300+50x)=20\,000\Leftrightarrow250x^2-1500x+2000=0\Leftrightarrow x^2-6x+8=0.$$

Ta có $\Delta'=9-8=1$, nên $x=4$ hoặc $x=2$ (đều thoả mãn). Với $x=2$: giá $50$ nghìn đồng, bán $400$ vé; với $x=4$: giá $40$ nghìn đồng, bán $500$ vé. Rạp chọn phương án bán được nhiều vé hơn nên $x=4$.

Vậy giá vé mới là $40$ nghìn đồng.

Nhận xét. Với $x=3$ (giá $45$ nghìn đồng, $450$ vé), doanh thu là $20{,}25$ triệu đồng, lớn hơn; hàm số bậc hai ở lớp 10 sẽ giúp tìm mức giá tốt nhất.

Đáp số. $40$ nghìn đồng.