Lemonmath
English

Định lí Viète và ứng dụng

Bài 6.3 · 20 phút đọc · Cập nhật

🖨 In phiếu tự học Vì sao nên in?

François Viète (1540–1603) là một luật sư, cố vấn của vua Pháp Henri III rồi làm việc cho vua Henri IV. Ông đã giải mã những bức thư mật gửi vua Tây Ban Nha Philip II, giúp Henri IV biết trước kế hoạch quân sự của đối phương. Trong toán học, ông đưa ra hệ thống kí hiệu đại số đầu tiên: dùng nguyên âm để kí hiệu ẩn và phụ âm để kí hiệu các số đã biết, nhờ đó viết được những quy luật chung cho mọi phương trình (theo MacTutor, Đại học St Andrews). Mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số mà ta học hôm nay mang tên ông.

Bạn Minh nói với cả lớp: "Phương trình x2−7x+12=0x^2-7x+12=0 có nghiệm 33 và 44, mình biết ngay mà không cần tính Δ\Delta, vì 3+4=73+4=7 và 3⋅4=123\cdot4=12." Minh đoán may mắn, hay có một quy luật đằng sau? Nếu có, quy luật ấy giúp ta làm được những gì?

Định lí Viète

Khám phá: tổng và tích của hai nghiệm

Ta giải vài phương trình (bằng công thức nghiệm) rồi tính tổng và tích hai nghiệm:

Phương trình Nghiệm x1+x2x_1+x_2 x1x2x_1x_2
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0 22; 33 55 66
2x2−7x+3=02x^2-7x+3=0 33; 12\frac12 72\frac72 32\frac32
x2+2x−8=0x^2+2x-8=0 22; −4-4 −2-2 −8-8

Ở dòng thứ hai, tổng là 72=−(−7)2\dfrac72=\dfrac{-(-7)}{2} và tích là 32\dfrac32: tổng luôn bằng −ba-\dfrac{b}{a}, tích luôn bằng ca\dfrac{c}{a}.

Vì sao? Khi Δ≥0\Delta\geq0, cộng và nhân hai nghiệm −b±Δ2a\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} (bài phương trình bậc hai), các căn triệt tiêu nhau:

x1+x2=−2b2a=−ba,x1x2=(−b)2−(Δ)24a2=b2−(b2−4ac)4a2=ca.x_1+x_2=\frac{-2b}{2a}=-\frac ba,\qquad x_1x_2=\frac{(-b)^2-(\sqrt\Delta)^2}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac ca.

Hiểu sâu hơn. Nếu x1x_1, x2x_2 là hai nghiệm thì (x−x1)(x−x2)=x2−(x1+x2)x+x1x2(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2. So sánh với x2+bax+cax^2+\dfrac bax+\dfrac ca (chia phương trình cho aa), ta thấy định lí Viète là điều rất tự nhiên. Nhưng định lí chỉ nói về nghiệm khi nghiệm tồn tại: luôn kiểm tra Δ≥0\Delta\geq0 (hoặc aa, cc trái dấu) trước khi dùng.

Từ tổng SS và tích PP, ta tính được nhiều biểu thức "đối xứng" (đổi chỗ x1x_1, x2x_2 không đổi giá trị), chẳng hạn x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=S2−2Px_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=S^2-2P.

Tính nhẩm nghiệm

Thay x=1x=1 vào ax2+bx+cax^2+bx+c ta được a+b+ca+b+c; thay x=−1x=-1 ta được a−b+ca-b+c. Kết hợp với tích x1x2=cax_1x_2=\dfrac ca, ta tìm ngay nghiệm còn lại.

Câu c) cho thấy sức mạnh của cách nhẩm: dùng công thức nghiệm, bạn phải tính Δ=20272−4⋅2026=20252\Delta=2027^2-4\cdot2026=2025^2.

Tìm hai số biết tổng và tích

Đảo lại định lí Viète: nếu hai số uu, vv có u+v=Su+v=S và uv=Puv=P thì (x−u)(x−v)=x2−Sx+P(x-u)(x-v)=x^2-Sx+P, nên uu, vv là hai nghiệm của x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0.

12 m5 m60 m²ABCD
Mảnh vườn 1212 m ×\times 55 m

Xét dấu các nghiệm

Không cần giải, từ SS và PP ta biết được dấu của hai nghiệm (khi phương trình có nghiệm):

  • P<0P<0: hai nghiệm trái dấu (khi đó aa, cc trái dấu nên phương trình chắc chắn có hai nghiệm);
  • Δ≥0\Delta\geq0, P>0P>0, S>0S>0: hai nghiệm cùng dương;
  • Δ≥0\Delta\geq0, P>0P>0, S<0S<0: hai nghiệm cùng âm.

Lí do: tích âm thì hai số khác dấu; tích dương thì cùng dấu, và tổng cho biết dấu chung đó.

Kết nối. Định lí Viète được suy ra trực tiếp từ công thức nghiệm, và cho ta một cách nhìn mới: thay vì tìm từng nghiệm, ta làm việc với cặp (S;P)(S; P). Cách nhìn này dùng nhiều trong giải bài toán bằng cách lập phương trình (các bài toán hình chữ nhật), trong phân tích ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2), và là dạng bài quen thuộc của đề thi vào lớp 10.

Thuật ngữ

Tóm tắt

  • Nếu Δ≥0\Delta\geq0: x1+x2=−bax_1+x_2=-\dfrac ba, x1x2=cax_1x_2=\dfrac ca.
  • a+b+c=0a+b+c=0: nghiệm 11 và ca\dfrac ca; a−b+c=0a-b+c=0: nghiệm −1-1 và −ca-\dfrac ca.
  • Hai số có tổng SS, tích PP là nghiệm của x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0 (cần S2−4P≥0S^2-4P\geq0).
  • x12+x22=S2−2Px_1^2+x_2^2=S^2-2P; 1x1+1x2=SP\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=\dfrac SP.
  • P<0P<0: trái dấu; P>0P>0, S>0S>0: cùng dương; P>0P>0, S<0S<0: cùng âm (khi Δ≥0\Delta\geq0).

Luyện tập

Mỗi bài có phần kiến thức và gợi ý các bước. Hãy tự làm trước, rồi mới bấm xem lời giải.

Bài 1

Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

a) x2−6x+2=0x^2-6x+2=0.

b) 3x2+5x−4=03x^2+5x-4=0.

c) x2+x+1=0x^2+x+1=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: định lí Viète, chỉ dùng khi phương trình có nghiệm.

Gợi ý các bước:

  1. Kiểm tra Δ≥0\Delta\geq0 hoặc aa, cc trái dấu.
  2. Tính −ba-\dfrac ba và ca\dfrac ca.
Xem lời giải

a) Ta có Δ′=9−2=7>0\Delta'=9-2=7>0, nên x1+x2=6x_1+x_2=6, x1x2=2x_1x_2=2.

b) Ta có a=3a=3, c=−4c=-4 trái dấu nên phương trình có hai nghiệm, và x1+x2=−53x_1+x_2=-\dfrac53, x1x2=−43x_1x_2=-\dfrac43.

c) Ta có Δ=1−4=−3<0\Delta=1-4=-3<0 nên phương trình vô nghiệm.

Vậy a) S=6S=6, P=2P=2; b) S=−53S=-\dfrac53, P=−43P=-\dfrac43; c) không có nghiệm.

Đáp số. a) 66 và 22; b) −53-\dfrac53 và −43-\dfrac43; c) phương trình vô nghiệm.

Bài 2

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau:

a) 5x2−3x−2=05x^2-3x-2=0.

b) x2+9x+8=0x^2+9x+8=0.

c) 7x2+4x−3=07x^2+4x-3=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: kiểm tra a+b+ca+b+c hoặc a−b+ca-b+c.

Gợi ý các bước:

  1. Tính a+b+ca+b+c; nếu khác 00, tính a−b+ca-b+c.
  2. Viết nghiệm còn lại ca\dfrac ca hoặc −ca-\dfrac ca.
Xem lời giải

a) Ta có 5−3−2=05-3-2=0 nên x1=1x_1=1, x2=−25x_2=-\dfrac25.

b) Ta có 1−9+8=01-9+8=0 nên x1=−1x_1=-1, x2=−8x_2=-8.

c) Ta có 7−4−3=07-4-3=0 nên x1=−1x_1=-1, x2=37x_2=\dfrac37.

Vậy a) 11; −25-\dfrac25. b) −1-1; −8-8. c) −1-1; 37\dfrac37.

Đáp số. a) 11; −25-\dfrac25. b) −1-1; −8-8. c) −1-1; 37\dfrac37.

Bài 3

Biết phương trình x2−4x+1=0x^2-4x+1=0 có một nghiệm là x1=2+3x_1=2+\sqrt3. Tìm nghiệm còn lại. (Ôn lại trục căn thức ở mẫu.)

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: x1+x2=4x_1+x_2=4 (hoặc x1x2=1x_1x_2=1).

Gợi ý các bước:

  1. Tính x2=4−x1x_2=4-x_1.
  2. Kiểm tra lại bằng tích: x2=12+3x_2=\dfrac1{2+\sqrt3}.
Xem lời giải

Theo định lí Viète, x1+x2=4x_1+x_2=4, suy ra x2=4−(2+3)=2−3x_2=4-(2+\sqrt3)=2-\sqrt3. Kiểm tra bằng tích: (2+3)(2−3)=4−3=1=ca(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=4-3=1=\dfrac ca.

Vậy nghiệm còn lại là x2=2−3x_2=2-\sqrt3.

Đáp số. x2=2−3x_2=2-\sqrt3.

Bài 4

Tìm hai số uu, vv trong mỗi trường hợp sau:

a) u+v=10u+v=10, uv=21uv=21.

b) u+v=−3u+v=-3, uv=−40uv=-40.

c) u+v=6u+v=6, uv=10uv=10.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: uu, vv là nghiệm của x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0, cần S2−4P≥0S^2-4P\geq0.

Gợi ý các bước:

  1. Lập phương trình x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0.
  2. Giải phương trình (hoặc chỉ ra nó vô nghiệm).
Xem lời giải

a) uu, vv là nghiệm của x2−10x+21=0x^2-10x+21=0. Ta có Δ′=25−21=4\Delta'=25-21=4, nên x=5±2x=5\pm2, tức x=7x=7 hoặc x=3x=3.

b) uu, vv là nghiệm của x2+3x−40=0x^2+3x-40=0. Ta có Δ=9+160=169\Delta=9+160=169, nên x=−3±132x=\dfrac{-3\pm13}{2}, tức x=5x=5 hoặc x=−8x=-8.

c) Ta có S2−4P=36−40=−4<0S^2-4P=36-40=-4<0, nên không có hai số như vậy.

Vậy a) {u;v}={7;3}\{u; v\}=\{7; 3\}; b) {u;v}={5;−8}\{u; v\}=\{5; -8\}; c) không tồn tại.

Đáp số. a) 77 và 33; b) 55 và −8-8; c) không có.

Bài 5

Gọi x1x_1, x2x_2 là hai nghiệm của phương trình x2−3x−5=0x^2-3x-5=0. Không giải phương trình, tính:

a) x12+x22x_1^2+x_2^2.

b) 1x1+1x2\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}.

c) x12x2+x1x22x_1^2x_2+x_1x_2^2.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: S=x1+x2S=x_1+x_2, P=x1x2P=x_1x_2; viết mỗi biểu thức theo SS, PP.

Gợi ý các bước:

  1. Kiểm tra phương trình có hai nghiệm, tính SS, PP.
  2. Dùng S2−2PS^2-2P, SP\dfrac SP và x1x2(x1+x2)=PSx_1x_2(x_1+x_2)=PS.
Xem lời giải

Ta có a=1a=1, c=−5c=-5 trái dấu nên phương trình có hai nghiệm, với S=3S=3, P=−5P=-5. Do đó

x12+x22=9+10=19,1x1+1x2=3−5=−35,x12x2+x1x22=PS=−15.x_1^2+x_2^2=9+10=19,\qquad \frac1{x_1}+\frac1{x_2}=\frac{3}{-5}=-\frac35,\qquad x_1^2x_2+x_1x_2^2=PS=-15.

Vậy a) 1919; b) −35-\dfrac35; c) −15-15.

Đáp số. a) 1919; b) −35-\dfrac35; c) −15-15.

Bài 6

Không giải phương trình, xét dấu các nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 2x2+5x−9=02x^2+5x-9=0.

b) x2−10x+7=0x^2-10x+7=0.

c) x2+8x+3=0x^2+8x+3=0.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: P<0P<0: trái dấu; Δ≥0\Delta\geq0, P>0P>0: cùng dấu với SS.

Gợi ý các bước:

  1. Tính PP; nếu P>0P>0 thì kiểm tra Δ′\Delta' và tính SS.
Xem lời giải

a) Ta có P=−92<0P=-\dfrac92<0 nên hai nghiệm trái dấu.

b) Ta có Δ′=25−7=18>0\Delta'=25-7=18>0, P=7>0P=7>0, S=10>0S=10>0 nên hai nghiệm cùng dương.

c) Ta có Δ′=16−3=13>0\Delta'=16-3=13>0, P=3>0P=3>0, S=−8<0S=-8<0 nên hai nghiệm cùng âm.

Vậy a) trái dấu; b) cùng dương; c) cùng âm.

Đáp số. a) Trái dấu; b) hai nghiệm dương; c) hai nghiệm âm.

Bài 7

Giả sử một sân bóng rổ ngoài trời kèm khu khán đài hình chữ nhật có chu vi 120120 m và diện tích 875875 m². Tính chiều dài và chiều rộng của sân.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: hai cạnh có tổng S=60S=60 và tích P=875P=875.

Gợi ý các bước:

  1. Lập phương trình x2−60x+875=0x^2-60x+875=0.
  2. Giải bằng công thức nghiệm thu gọn.
Xem lời giải

Hai cạnh của sân là nghiệm của x2−60x+875=0x^2-60x+875=0. Ta có Δ′=900−875=25\Delta'=900-875=25, nên x=30±5x=30\pm5, tức x=35x=35 hoặc x=25x=25.

Vậy sân dài 3535 m và rộng 2525 m.

Đáp số. 3535 m và 2525 m.

Bài 8

(1,5 điểm) Cho phương trình x2−5x+2=0x^2-5x+2=0.

a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x_1, x2x_2.

b) Không giải phương trình, tính x12+x22x_1^2+x_2^2.

c) Tính giá trị của biểu thức A=x1x2+x2x1A=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: Δ>0\Delta>0; x12+x22=S2−2Px_1^2+x_2^2=S^2-2P; quy đồng A=x12+x22x1x2A=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}.

Gợi ý các bước:

  1. Tính Δ\Delta.
  2. Tính SS, PP rồi S2−2PS^2-2P.
  3. Dùng kết quả câu b) cho câu c).
Xem lời giải

a) Ta có Δ=25−8=17>0\Delta=25-8=17>0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète, S=5S=5, P=2P=2. Do đó x12+x22=25−4=21x_1^2+x_2^2=25-4=21.

c) Ta có A=x12+x22x1x2=212A=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\dfrac{21}{2}.

Vậy b) x12+x22=21x_1^2+x_2^2=21; c) A=212A=\dfrac{21}2.

Đáp số. a) Δ=17>0\Delta=17>0; b) 2121; c) 212\dfrac{21}{2}.

Bài 9 Thử thách

Gọi x1x_1, x2x_2 là hai nghiệm của phương trình x2−6x+4=0x^2-6x+4=0. Chứng minh rằng hai nghiệm đều dương, rồi tính x1+x2\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}.

Kiến thức và gợi ý cách làm

Kiến thức: xét dấu nghiệm; (x1+x2)2=x1+x2+2x1x2(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}.

Gợi ý các bước:

  1. Tính Δ′\Delta', SS, PP.
  2. Bình phương biểu thức cần tính và dùng SS, PP.
  3. Lấy căn bậc hai, nhớ biểu thức dương.
Xem lời giải

Ta có Δ′=9−4=5>0\Delta'=9-4=5>0, S=6>0S=6>0, P=4>0P=4>0 nên hai nghiệm cùng dương. Đặt T=x1+x2>0T=\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}>0, ta có

T2=x1+x2+2x1x2=6+24=10.T^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=6+2\sqrt4=10.

Vì T>0T>0 nên T=10T=\sqrt{10}.

Vậy x1+x2=10\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{10}.

Đáp số. 10\sqrt{10}.

Kiểm tra mini

Kiểm tra mini

Chấm như đề thi tốt nghiệp THPT: Phần I mỗi câu 0,25 điểm; Phần II mỗi câu tối đa 1 điểm (đúng 1, 2, 3, 4 ý được 0,1; 0,25; 0,5; 1 điểm); Phần III mỗi câu 0,5 điểm.

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Tổng hai nghiệm của phương trình 2x2−6x−5=02x^2-6x-5=0 là
Câu 2. Tích hai nghiệm của phương trình 3x2+7x−6=03x^2+7x-6=0 là
Câu 3. Phương trình 4x2−9x+5=04x^2-9x+5=0 có hai nghiệm là
Câu 4. Hai số có tổng bằng 99 và tích bằng 2020 là hai nghiệm của phương trình

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho phương trình x2−3x−10=0x^2-3x-10=0 có hai nghiệm x1x_1, x2x_2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu.
b) x1+x2=−3x_1+x_2=-3.
c) x1x2=−10x_1x_2=-10.
d) x12+x22=29x_1^2+x_2^2=29.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Gọi x1x_1, x2x_2 là hai nghiệm của phương trình x2−7x+2=0x^2-7x+2=0. Tính x12+x22x_1^2+x_2^2.

Câu 2. Tính nhẩm nghiệm lớn hơn của phương trình 2x2−11x+9=02x^2-11x+9=0 (viết dưới dạng số thập phân).

Xem đáp án và giải thích
  1. Phần I, câu 1: A. aa, cc trái dấu nên có hai nghiệm; S=−−62=3S=-\dfrac{-6}{2}=3. B sai dấu, C là tích, D quên chia cho aa.
  2. Phần I, câu 2: A. P=ca=−63=−2P=\dfrac ca=\dfrac{-6}{3}=-2. B sai dấu, C là tổng, D quên chia cho aa.
  3. Phần I, câu 3: A. a+b+c=4−9+5=0a+b+c=4-9+5=0 nên x1=1x_1=1, x2=ca=54x_2=\dfrac ca=\dfrac54. B dùng nhầm trường hợp a−b+c=0a-b+c=0, C sai dấu của ca\dfrac ca, D quên chia cho aa.
  4. Phần I, câu 4: A. Phương trình x2−Sx+P=0x^2-Sx+P=0 với S=9S=9, P=20P=20. B sai dấu của SS, C đổi chỗ SS và PP, D sai dấu cả SS lẫn PP.
  5. Phần II, câu 1: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng. a) Đúng: P=−10<0P=-10<0. b) Sai: S=3S=3. c) Đúng. d) Đúng: 9+20=299+20=29.
  6. Phần III, câu 1: 45. Δ=41>0\Delta=41>0, S=7S=7, P=2P=2, nên x12+x22=49−4=45x_1^2+x_2^2=49-4=45.
  7. Phần III, câu 2: 4,5. a+b+c=2−11+9=0a+b+c=2-11+9=0 nên hai nghiệm là 11 và 92=4,5\dfrac92=4{,}5.